专题41 圆锥曲线中的对称问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题41 圆锥曲线中的对称问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 判别式法 使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题 解题模板：第一步 假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方 程；‎ 第二步 联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；‎ 第三步 把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；‎ 第四步 利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.‎ 例1. 【2018湖南省邵阳市洞口县第一中学模拟】在中，顶点所对三边分别是已知,且成等差数列.‎ ‎(I )求顶点的轨迹方程；‎ ‎(II) 设顶点A的轨迹与直线相交于不同的两点，如果存在过点的直线,使得点关于对称，求实数的取值范围 ‎ ‎ ‎【点晴】第（II）题的关键是理解求实数的取值范围，其实是要解关于的不等式，所以要通过已知条件找到该不等式.而通过直线与椭圆有两个交点可得判别式大于，即可得包含的不等式，而通过该不等式结合对称的条件得到的与的关系式即可求出的取值范围.‎ 例2、已知椭圆的离心率是，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点、，又点，当时，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】过点,‎ ‎,‎ 椭圆的方程为 ‎ ‎ 当时， ， 则解得 综上所述， 的取值范围是 ‎【变式演练1】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围．‎ ‎【解析】设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则 ‎ ‎∵点在直线上，∴‎ ‎∴，代入，得，即，解得。‎ ‎【变式演练2】求证：抛物线=－1上不存在关于直线=对称的两点。‎ 证明 如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(、)、Q(，)且≠，、∈R，则：‎ 两式相减得：+=－2，=－2－，再代入前一式得+2+2=0，其判别式△=4－8<0。所以R 这与题设矛盾。‎ ‎∴PQ两点不存在。‎ ‎ ‎ 方法二 点差法 使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题 解题模板：第一步 设出两点和中点坐标（x，y）；‎ 第二步 用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；‎ 第三步 联立直线方程，求出交点，即中点；‎ 第四步 由中点位置及对应范围求出参数取值范围.‎ 例3、若抛物线y=-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．‎ ‎ ‎ ‎【变式演练3】如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值．‎ 解析如下 ‎（I）解：设抛物线的标准方程为，则，从而．‎ 因此焦点的坐标为，‎ 又准线方程的一般式为．‎ 从而所求准线的方程为．‎ ‎ ‎ 解法二：设，，直线的斜率为，则直线方程为．‎ 将此式代入得，故．‎ 记直线与的交点为，则，，‎ 故直线的方程为，‎ 令，得点的横坐标，故．‎ 从而为定值．‎ ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.‎ ‎（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.‎ 由，得.‎ 则，.‎ 因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.‎ 直线ON的方程为，点B的坐标为.‎ 因为 ‎，‎ 所以.‎ 故A为线段BM的中点.‎ ‎【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系 ‎【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整 体代换到后面的计算中去，从而减少计算量. ‎ ‎2. 【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.‎ ‎（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】 （1）， .（2），或.‎ ‎ 【考点】直线与椭圆综合问题 ‎【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.‎ ‎3. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：‎ 若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A.‎ ‚单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.‎ ƒ若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称 ‎④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.‎ 其中的真命题是 .‎ ‎【答案】②③‎ ‎ 4. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.‎ ‎【答案】（I）2（II）没有 ‎ ‎【解答】‎ 试题分析：先确定,的方程为,代入整理得,解得,,得,由此可得为的中点,即.（II）‎ 把直线的方程,与联立得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点.‎ 考点：直线与抛物线 ‎【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1. 【2018云南昆明一中一模】已知动点满足： ‎ ‎.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线过定点 ，证明见解析. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）动点到点， 的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，从而可求动点的轨迹的方程；（2）直线的方程为： ，由 得，，根据韦达定理可得 ‎，直线的方程为，即可证明其过定点.‎ 试题解析：（1）由已知，动点到点， 的距离之和为，‎ 且，所以动点的轨迹为椭圆，而， ，所以，‎ 所以，动点的轨迹的方程： . ‎ ‎ 2．【2018江西宜春六校联考】椭圆： 的离心率为，过右焦点垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点且，又过左焦点任作直线交椭圆于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）椭圆上两点， 关于直线对称，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）依题意直线不垂直轴，当直线的斜率时，可设直线的方程为（），则直线的方程为．‎ 由得，‎ ‎，即，①‎ 设的中点为，则， ，‎ 点在直线上，∴，故，②‎ 此时与①矛盾，故时不成立．‎ 当直线的斜率时， ， （， ），‎ 的面积，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴面积的最大值为，当且仅当时取等号．‎ ‎3．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，两个焦点分别为， ，四边形的面积是四边形的面积的2倍.‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点， 是椭圆上位于直线两侧的两点.若直线过点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）易知点的坐标分別为.‎ 因为，所以直线的斜率之和为0. ‎ 设直线的斜率为，则直线的斜率为， ，‎ 直线的方程为，由 ‎ 可得，‎ ‎∴，‎ 同理直线的方程为， ‎ 可得，‎ ‎∴，‎ ‎ ，‎ ‎∴满足条件的直线的方程为，‎ 即为.‎ ‎4．【2018江西宜春六校联考】已知点，点在轴上，动点满足，且直线与轴交于点， 是线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点是曲线的焦点，过的两条直线， 关于轴对称，且交曲线于、两点， 交曲线于、两点， 、在第一象限，若四边形的面积等于，求直线， 的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）， ．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设直线： ，则得，‎ ‎， ，‎ 依题意可知，四边形是等腰梯形，‎ ‎，‎ 由，即，∴，‎ ‎∴，‎ 所以．‎ 直线， 的方程分别为， ．‎ ‎ ‎ ‎5．【2018天津市耀华中学模拟】中心在原点，焦点在轴上的椭圆，下顶点，且离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点且斜率为的直线交椭圆于， 两点.在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由于对任意恒成立，因此 ‎∴恒成立 ‎∴恒成立 即恒成立，因此 综上，存在点满足题意.‎ ‎6．【2018浙东北联盟】已知， 为抛物线上的两个动点，其中，且 ‎（1）求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点坐标；‎ ‎（2）求面积的最大值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7. 已知椭圆（）的离心率是，过点的动直线与椭圆相交 于， 两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当时，求直线的方程；‎ ‎（3）记椭圆的右顶点为，点（）在椭圆上，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问： 轴上是否存在点，使得（为坐标原点）？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】（1）由已知，点在椭圆上，‎ 因此解得 所以椭圆的方程为． ‎ ‎（3）假设轴上存在点，使得，‎ ‎“存在点使得”等价于“存在点使得”‎ 即满足，‎ 因为，所以，‎ 直线的方程为，‎ 所以，即，‎ 因为点与点关于轴对称，所以．‎ 同理可得，‎ 因为， ， ，‎ 所以，‎ 所以或，‎ 故在轴上存在点，使得，点的坐标为或．‎ ‎8. 【2018四川省成都市第七中学模拟】已知椭圆： 的左、右焦点分别为 且离心率为， 为椭圆上三个点， 的周长为，线段的垂直平分线经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求线段长度的最大值.‎ ‎ ‎ 点睛：圆锥曲线的大题一般第一问都是求曲线方程，第二问求一些最值范围问题；或者证明定值定点问题；求参数范围问题；做这些题目时要注意，一是转化题目中的条件，比如：垂直平分，实质就是斜率的关系；二是注意计算中能否因式分解，提公因式等技巧。‎ ‎9. 【2018河南郑州市第一中模拟】已知椭圆： 的离心率与双曲线： 的离心率互为倒数，且经过点．‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，已知是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且与交于点， 为坐标原点，求证： 三点共线．‎ ‎ ‎ ‎（2）因为线段线段的中垂线的斜率为，所以线段所在直线的斜率为.‎ 所以可设线段所在直线的方程为，‎ 设点，‎ 联立，消去，并整理得，‎ ‎ ‎ ‎ ‎