数学文卷·2017届福建省高三单科质量检查（2017

数学文卷·2017届福建省高三单科质量检查（2017

‎2017年福建省单科质量检测试卷 文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知复数，且是纯虚数，则实数 ‎ （A）1 （B）2 （C） （D）‎ ‎（2）若公差为2的等差数列的前9项和为81，则 ‎ （A）1 （B）9 （C）17 （D）19‎ ‎（3）函数的图象大致为 ‎ ‎ ‎（4）已知集合，那么“”是“”的 ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（5）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，‎ ‎ 这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，‎ ‎ 用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探 ‎ 测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是 ‎ （A）8 （B）9 （C）10 （D）11‎ ‎（6）已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎（7）执行如图所示的程序框图，若输入，输出的值为0，则的解析式 可以是 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（8）已知函数，则下列结论正确的是 ‎ （A）有极值 （B）有零点 ‎ （C）是奇函数 （D）是增函数 ‎（9）如图，与轴的正半轴交点为，点在上，且，点在第 ‎ 一象限，，则 ‎ （A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（10）已知直线过点且与相切于点，以坐标轴为对称 ‎ 轴的双曲线过点，其一条渐近线平行于，则的方程为 ‎ （A）（B）（C）（D）‎ ‎（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何 ‎ 体最长的棱长为 ‎ （A）‎ ‎ （B）‎ ‎ （C）6‎ ‎ （D）‎ ‎（12）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两 ‎ 点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎（13）设向量，且的夹角为，则 .‎ ‎（14）若满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎（15）椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为 ‎ ，右顶点为，直线与交于点.若，则的离 ‎ 心率等于 .‎ ‎（16）已知函数在上有最大值，但没有最小值，则 ‎ 的取值范围是 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 中，角的对边分别为，.‎ ‎ （Ⅰ）求的大小；‎ ‎ （Ⅱ）若，且边上的中线长为，求的值.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，三棱柱中，侧面侧面，,.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的侧面积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某公司生产一种产品，第一年投入资金1 000 万元，出售产品收入 40 万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多 80 万元，同时，当预计投入的资金低于 20 万元时，就按 20 万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.‎ ‎（Ⅰ）求第年的预计投入资金与出售产品的收入；‎ ‎（Ⅱ）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）‎ ‎ ‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知点，直线，直线垂直 于点，线段的垂直平分线交于点．‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹 的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点 ，过且与轴不垂直的直线交于两点， 直线 分别交于点，求证：以为直径的圆必过定点．‎ ‎ ‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：．‎ ‎ ‎ ‎ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线，曲线 .‎ 以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.‎ ‎ ‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案：‎ ‎1.答案：A 解析：为纯虚数 所以 ‎2.答案：C 解析：法一：‎ 法二：将第9项视为第一项，是公差为的等差数列，则 ‎ ‎ ‎3.答案：A 解析：排除法：‎ ‎ 函数为偶函数，图像关于轴对称，排除选项B，C；‎ ‎ 法一：时，，从而函数在上递增，排除D ‎ 法二：且时，，排除D ‎4. 答案：C 解析：记 ‎ （1）考虑充分性（） ‎ 当时，，所以充分性成立，即成立；‎ ‎（2）考虑必要性（）‎ 若，则或或，所以 ‎①时，不满足集合的互异性，排除；‎ ‎②时，不满足集合的互异性，排除；‎ 从而，所以必要性也成立，即成立 所以，是的充分必要条件 ‎5.答案：C 解析：设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过个“半衰期”后的含量为 ‎ 由得：‎ ‎ 所以，若探测不到碳14含量，至少需要经过10个“半衰期”。‎ ‎6.答案：B 解析：因为三条侧棱两两垂直，以这三条侧棱为邻边建立一个长方体，则该长方体的外接球即为所求三棱锥的外接球，长方体的对角线长为外接球的直径。‎ ‎ 设，则 ‎，‎ ‎ ‎ ‎7.答案：D 解析：由程序框图可知，所求 ‎ 观察四个选项，相位为的三角函数的最小正周期为，‎ ‎ 选项A：‎ 排除；‎ ‎ 选项C：‎ 排除；‎ ‎ ‎ ‎ 相位为的三角函数的最小正周期为 ‎ 选项B：‎ 排除 故选D。‎ ‎8. 答案： D 解析：（1） 时，，当且仅当时取等号，所以单调递增；‎ ‎ 时，，当且仅当时取等号，所以单调递增；‎ 所以，没有极值.‎ ‎（2）由（1）知，利用单调性，时，没有零点；‎ ‎ 时 ， 没有零点 ‎ ‎ 故在上没有零点，排除B.‎ （3） 显然，既不是奇函数也不是偶函数，排除C.‎ （4） 由（1）（2）分析可知，在上是增函数。‎ ‎9.答案：B 解析：利用三角函数定义及诱导公式。‎ ‎ 以轴为始边，顺时针为负，逆时针为正，设（负角）‎ 因为在圆O上，则圆O半径为1，为等边三角形，‎ 且。‎ 法一：，‎ 所以；‎ 法二：，从而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10.答案：D 解析：圆B：，圆心,半径 ‎ 如图所示，不妨设切点D在第一象限，则 ‎ 从而直线的斜率，因为与双曲线的一条渐近线平行，‎ ‎ 从而双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为……………（*）‎ 过点作轴于点，‎ 中，，‎ 所以 所以 将点带入方程（*）得：‎ 所以所求双曲线方程为，即：。‎ ‎11.答案：C 解析：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位三棱锥 ‎ 如图所示，其中 ，正方体棱长为4，点是正方体其中一条棱的中点，‎ ‎ 则：‎ ‎,所以最长棱为6.‎ ‎ ‎ ‎12.答案：D 解析：曲线存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，‎ 等价于 函数有两个不同的极值点，‎ 等价于方程有两个不同的实根。‎ 令，得：‎ 令，则条件等价于直线与曲线有两个不同的交点。‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 从而当时有最小值，在上递增，在上递减。‎ 当时，；当时，；如下图所示 从而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13.答案：‎ 解析：法一：，‎ ‎ 根据 公式得：，解得 ‎ 法二：作图，如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14.答案：2‎ 解析：因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的，最值一定在边界点处取得。‎ 分别将点代入目标函数，求得：‎ ‎，所以最小值为2.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15.答案：‎ 解析：如图所示，设，由得：‎ 根据三角形相似得：，求得：，‎ 又直线的方程为 将点代入，得：。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16.答案：‎ 解析：由及得：‎ ‎ 由题意，知：。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.答案：（Ⅰ）证明略（Ⅱ）‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.答案：（Ⅰ），‎ ‎（Ⅱ）预计该公司从第8年起开始盈利。‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.答案：（Ⅰ）时，的单调递减区间为；‎ 时，的单调递减区间为，单调增区间为；‎ 时，的单调递减区间为，单调增区间为 ‎（Ⅱ）证明略。‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎22.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎