2017-2018学年甘肃省嘉峪关市一中高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版

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2017-2018学年甘肃省嘉峪关市一中高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版

嘉峪关市一中2017-2018学年第一学期期末考试 高二数学(理科)试题 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤‎0”‎的否定是(  )‎ A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在x∈R,x3-x2+1≤0‎ C.存在x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0‎ ‎2.抛物线x2=y的焦点到准线的距离是(  )‎ A.2 B.1 C. D. ‎3.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则实数a等于(  )‎ A.2 B. C.- D.-2‎ ‎4.“x>‎0”‎是“>‎0”‎成立的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 ‎5.如图所示,正四棱锥P-ABCD的底面积为3,体积为,E为侧棱PC的中点,则PA与BE所成的角为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎6.若命题“∃x0∈R,使得x+mx0+‎2m-3<‎0”‎为假命题,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[2,6] B.[-6,-2] C.(2,6) D.(-6,-2)‎ ‎7.在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E是棱BB1中点,G是DD1中点,F是BC上一点且FB=BC,则GB与EF所成的角为(  )‎ A.30° B.120° C.60° D.90°‎ ‎8.已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于 ‎,则该双曲线的方程为(  )‎ A.x2-=1 B.-y2=1 C.x2-y2=1 D.-=1‎ ‎9.若双曲线-=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=(  )‎ A. B.2 C.3 D.6‎ ‎10.函数y=xex的单调递增区间是(  )‎ A.[-1,+∞) B.(-∞,-1] C.[1,+∞) D.(-∞,1]‎ ‎11.已知抛物线y2=2px(p>0)与椭圆+=1有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B.-1 C.+1 D. ‎12.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=()x-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是(  )‎ A.[,+∞) B.(-∞,] C.[,+∞) D.(-∞,-]‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13.“tanθ≠‎1”‎是“θ≠”的________条件.‎ ‎14.已知曲线y=-x3+2与曲线y=4x2-1在x=x0处的切线互相垂直,则x0的值为________.‎ ‎15.已知正方形ABCD,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的离心率为________.‎ ‎16.已知以y=±x为渐近线的双曲线D:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P为双曲线D右支上任意一点,则的取值范围是________.‎ 三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知命题:方程表示焦点在轴上的椭圆;命题:双曲线的离心率,若是真命题,求实数的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0).‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)讨论轨迹C的形状.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.‎ ‎(1)证明:PB∥平面ACM;‎ ‎(2)证明:AD⊥平面PAC;‎ ‎(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知在△ABC中,点A,B的坐标分别为(-,0),B(,0),点C在x轴上方.‎ ‎(1)若点C坐标为(,1),求以A,B为焦点且经过点C的椭圆的方程;‎ ‎(2)过点P(m,0)作倾斜角为π的直线l交(1)中曲线于M,N两点,若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上,求实数m的值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图所示,正三棱柱ABC-A1B‎1C1的底面边长是2,侧棱长是,D是AC的中点.‎ ‎(1)求证:B‎1C∥平面A1BD;‎ ‎(2)求二面角A1-BD-A的大小;‎ ‎(3)在线段AA1上是否存在一点E,使得平面B‎1C1E⊥平面A1BD?若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由.‎ ‎22.(本题满分12分)‎ 已知函数f(x)=x2-mlnx.‎ ‎(1)若函数f(x)在(,+∞)上是单调递增的,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)当m=2时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值.‎ ‎1C ‎2D ‎3D ‎4A ‎5C ‎6A ‎7D ‎8B ‎9A ‎10A ‎11B ‎12A 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13.充分不必要 14. 15.-1 16. 三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知命题:方程表示焦点在轴上的椭圆;命题:双曲线 的离心率,若是真命题,求实数的取值范围.‎ 解:将方程改写为,只有当,即时,方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆,所以命题等价于;‎ 因为双曲线的离心率,所以,且,解得,所以命题等价于.‎ 或为真,则.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0).‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)讨论轨迹C的形状.‎ 答案 (1)x2-=1(λ≠0,x≠±1) (2)略 解析 (1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,所以kPM·kPN=·=λ.‎ 整理,得x2-=1(λ≠0,x≠±1).‎ ‎(2)①当λ>0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(除去顶点);‎ ‎②当-1<λ<0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点);‎ ‎③当λ=-1时,轨迹C为以原点为圆心,1为半径的圆除去点(-1,0),(1,0);‎ ‎④当λ<-1时,轨迹C为中心在原点,焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点).‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.‎ ‎(1)证明:PB∥平面ACM;‎ ‎(2)证明:AD⊥平面PAC;‎ ‎(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.‎ 答案 (1)略 (2)略 (3) 解析 (1)连接BD,MO,在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点.又M为PD的中点,所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM,所以PB∥平面ACM.‎ ‎(2)因为∠ADC=45°,且 AD=AC=1,‎ 所以∠DAC=90°,即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD,‎ AD⊂平面ABCD,所以PO⊥AD.而AC∩PO=O,所以AD⊥平面PAC.‎ ‎(3)取DO中点N,连接MN,AN.因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=PO=1.由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在Rt△DAO中,AD=1,AO=,所以DO=.从而AN=DO=.在Rt△ANM中,tan∠MAN===,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知在△ABC中,点A,B的坐标分别为(-,0),B(,0),点C在x轴上方.‎ ‎(1)若点C坐标为(,1),求以A,B为焦点且经过点C的椭圆的方程;‎ ‎(2)过点P(m,0)作倾斜角为π的直线l交(1)中曲线于M,N两点,若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上,求实数m的值.‎ 答案 (1)+=1 (2)m= 解析 (1)设椭圆方程为+=1,c=,‎2a=|AC|+|BC|=4,b=,所以椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)直线l的方程为y=-(x-m),令M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程解得3x2-4mx+‎2m2‎-4=0.‎ ‎∴若Q恰在以MN为直径的圆上,‎ 则·=-1,即m2+1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0,‎3m2‎-‎4m-5=0,解得m=.‎ ‎21.(本小题满分12分)如图所示,正三棱柱ABC-A1B‎1C1的底面边长是2,侧棱长是 ,D是AC的中点.‎ ‎(1)求证:B‎1C∥平面A1BD;‎ ‎(2)求二面角A1-BD-A的大小;‎ ‎(3)在线段AA1上是否存在一点E,使得平面B‎1C1E⊥平面A1BD?若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由.‎ 答案 (1)略 (2) (3)存在且AE= 解析 (1)如图①所示,连接AB1交A1B于点M,连接B‎1C,DM.‎ 因为三棱柱ABC-A1B‎1C1是正三棱柱,所以四边形AA1B1B是矩形,所以M为AB1的中点.‎ 因为D是AC的中点,所以MD是三角形AB‎1C的中位线,所以MD∥B‎1C.‎ 因为MD⊂平面A1BD,B‎1C⊄平面A1BD,所以B‎1C∥平面A1BD.‎ ‎(2)作CO⊥AB于点O,所以CO⊥平面ABB‎1A1,所以在正三棱柱ABC-A1B‎1C1中建立如图②所示的空间直角坐标系O-xyz.‎ 因为AB=2,AA1=,D是AC的中点,所以A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,),A1(1,,0).‎ 所以D(,0,),=(,0,),=(2,,0).‎ 设n=(x,y,z)是平面A1BD的法向量,‎ 所以即 令x=-,则y=2,z=3.‎ 所以n=(-,2,3)是平面A1BD的一个法向量.‎ 由题意可知=(0,,0)是平面ABD的一个法向量,‎ 所以cos〈n,〉==.所以二面角A1-BD-A的大小为.‎ ‎(3)设E(1,y,0),则=(1,y-,-),=(-1,0,-).设平面B‎1C1E的法向量n1=(x1,y1,z1),‎ 所以即 令z1=-,则x1=3,y1=,所以n1=(3,,-).‎ 又n1·n=0,即-3+-3=0,解得y=.‎ 所以存在点E,使得平面B‎1C1E⊥平面A1BD且AE=.‎ ‎22.(本题满分12分)‎ 已知函数f(x)=x2-mlnx.‎ ‎(1)若函数f(x)在(,+∞)上是单调递增的,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)当m=2时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值.‎ 答案 (1)m≤ (2)最大值,最小值1-ln2‎ 解析 (1)若函数f(x)在(,+∞)上是增函数,则f′(x)≥0在(,+∞)上恒成立.‎ 而f′(x)=x-,即m≤x2在(,+∞)上恒成立,即m≤.‎ ‎(2)当m=2时,f′(x)=x-=.‎ 令f′(x)=0,得x=±.‎ 当x∈[1,)时,f′(x)<0,当x∈(,e)时,f′(x)>0,故x=是函数f(x)在[1,e]上唯一的极小值点,故f(x)min=f()=1-ln2.又f(1)=,f(e)=e2-2=>,故f(x)max=.‎
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