2019-2020学年吉林省吉林市朝鲜族四校高二上学期期末联考数学（理）试题（解析版）
2019-2020 学年吉林省吉林市朝鲜族四校高二上学期期末联
考数学（理）试题
一、单选题
1．在数列 2， 9， 23， 44， 72，…中，第 6 项是（ ）
A．82 B．107 C．100 D．83
【答案】B
【解析】根据数列每一项之间的关系确定第 6 项即可．
【详解】
解： ，
，
，
，
设第 6 项为 ，
则 ，
．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查数列的概念和表示，利用后一项和前一项的差，得出相邻两项之间的关系
是解决本题的关键，属于基础题．
2．若 a、b、c，d∈R，则下面四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若 a>b，c>b，则 a>c B．若 a>－b，则 c－a
b，则 ac2>bc2 D．若 a>b，c>d，则 ac>bd
【答案】B
【解析】对于 ， ， 举反例即可判断，对于 ，根据不等式的性质即可判断．
【详解】
解：对于 ，例如 ， ， ，则不满足，故 错误，
对于 ，若 ，则 ，则 ，成立，故 正确，
对于 ，若 ，则不成立，故 错误，
对于 ，例如 ， ， ， ，则不满足，故 错误，
故选： ．
9 2 7− =
23 9 14 2 7− = = ×
44 23 21 3 7− = = ×
72 44 28 4 7− = = ×
x
72 5 7 35x − = × =
35 72 107x∴ = + =
B
A C D B
A 1a = 0b = 2c = A
B a b> − a b− < c a c b− < + B
C 0c = C
D 1a = 0b = 2c = − 3D = − D
B
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质的简单应用，要注意不等式应用条件的判断，属于基础题.
3．设 则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 等价于 或 ，利用充分条件于必要条件的定义判断即可.
【详解】
因为 等价于 或 ，
所以 能推出 ， 不能推出 ，
则“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.
【点睛】
本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题. 判断充要条件应注意：首先弄
清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 ，
对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
4． 中，已知 ，则 c 等于（ ）
A．4 B．16 C．21 D．
【答案】A
【解析】根据面积公式 可求得边 ．
【详解】
解： ，
解得
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式的运用．考查了学生对基础公式的熟练应用，属于基础
题．
x∈R 1x = 3x x=
3x x= 1x = 0x =
3x x= 1x = 0x =
1x = 3x x= 3x x= 1x =
1x = 3x x=
p q ,p q q p⇒ ⇒
ABC 5, 60 , 5 3ABCb A S= = ° =△
21
1 sin2ABCS bc A=
c
5, 60 , 5 3ABCb A S= = ° = △
1 sin2ABCS bc A∴ =△
1 5 sin 60 5 32 c∴ × × ° =
4c =
A
5．双曲线 －y2＝1 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得 、 的值，进而由双曲线的几何性质可
得 的值，由离心率计算公式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，双曲线的标准方程为： ，
则其 ， ，
故 ，
则其离心率 ；
故选： ．
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出 、 的值，属于基础
题．
6．已知命题 p：∀x∈R，sinx≥0，则下列说法正确的是（ ）
A．非 p 是特称命题，且是真命题 B．非 p 是全称命题，且是假命题
C．非 p 是全称命题，且是真命题 D．非 p 是特称命题，且是假命题
【答案】A
【解析】直接利用特称命题与全称命题的定义以及命题的真假判断即可．
【详解】
解：由全称命题的否定是特称命题，可知
即非 是特称命题，且是真命题，
例如：当 时 满足题意．
故选： ．
【点睛】
本题考查命题的真假判断特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查，属于基础
2
4
x
1
2
3
2
5
2 3
a b
c
2
2 14
x y− =
4 2a = = 1b =
2 2 5c a b= + =
5
2
ce a
= =
C
a b
: ,sin 0p x R x¬ ∃ ∈ <
p
4
3x
π= 4sin 03
π <
A
题．
7．不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】直接解出一元二次不等式的解集
【详解】
不等式 ，则
解得 或
不等式 的解集
故选
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的求解，利用因式分解结合其图像来求解，较为简单
8．已知 为等差数列， ，则 等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】在等差数列中， ，利用公式直接求解即可.
【详解】
故选 .
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性
质 （ ）.
22 1 0x x− − >
( )1, 1,2
−∞ − +∞ ( ) ( ),1 2,−∞ +∞
( )1,+∞ 1 ,12
−
22 1 0x x− − > ( )( )1 2 1 0x x− + >
1
2x < − 1x >
∴ 22 1 0x x− − > ( )1 12
−∞ − ∪ + ∞ ， ，
A
{ }na 2 8 12a a+ = 5a
( )1 1 2 2n n na a a n+ −+ = ≥
2 8 52 12a a a+ = = ，
52 12,a∴ =
5 6a∴ =
C
2p q m n ra a a a a+ = + = 2p q m n r+ = + =
9．已知方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是（ ）
A．k<1 或 k>3 B．11 D．k<3
【答案】B
【解析】由 可得．
【详解】
由题意 ，解得 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程．方程 ， 时，表示焦点在 轴上椭圆，
，表示焦点在 轴上的椭圆．
10．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，b= ，
，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【解析】根据余弦定理表示出 ，把 ， 和 的值代入即可求出 的值，由
的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 的值．
【详解】
解：根据余弦定理得：
，
由 ，得到 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查了余弦定理的运用和计算能力．属于基础题．
11．如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）
A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）
【答案】A
【解析】由抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 可知，抛物线 的
焦点坐标为 ，故选 A。
2 2
1( )1 3
x y k Rk k
+ = ∈+ −
1 3 0k k+ > − >
1 3 0k k+ > − > 1 3k< <
2 2
1x y
m n
+ = 0m n> > x
0n m> > y
ABC A B C， ， a b c， ， 1a = 7
3c = B =
π
6
5π
6
5π
6
π
6
π
3
cos B a b c cos B B
B
2 2 2 1 3 7 3cos 2 22 3
a c bB ac
+ − + −= = = −
(0, )B π∈ 5
6B
π=
B
12．平面内过点 A（-2，0），且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A．y 2=－2x B．y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x
【答案】C
【 解 析 】 试 题 分 析 ： 利 用 “ 直 接 法 ” 。 设 圆 心 为 （ ），由 已 知 条 件 得
，化简得 y 2=－8x，故选 C。也可利用抛物线的定义解答。
【考点】 本题主要考查抛物线的定义及求轨迹方程的直接法。
点评：本题解答思路明确，可选择不同解法，属基础题。
二、填空题
13．已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值为
_______________.
【答案】11
【解析】先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即
可得目标函数的最值
【详解】
解：画出可行域如图阴影部分，
由 得
目标函数 可看做斜率为 的动直线，其纵截距越大， 越大，
由图数形结合可得当动直线过点 时，
故答案为： ．
,x y
( )2 22 2x y x+ + = −
,x y
2
1
1
y
x y
x y
≤
+ ≥
− ≤
3z x y= +
2
1
y
x y
=
− = ( )3,2C
3z x y= + 3− z
C maxz 3 3 2 11= × + =
11
【点睛】
本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，
数形结合的思想方法，属基础题
14．观察下列的图形中小正方形的个数，猜测第 n 个图中有 个小正方形.
【答案】 .
【解析】解：
解：由题意可得，f（1）=2+1
f（2）=3+2+1
f（3）=4+3+2+1
f（4）=5+4+3+2+1
f（5）=6+5+4+3+2+1
…
f（n）=（n+1）+n+（n-1）+…+1=(n+2)(n+1)/2=
15．在 中， ，最大边和最小边边长是方程 的两实
根，则 边长等于__________.
【答案】7
【解析】由三角形内角和知 不是此三角形的最大角也不是最小角．因此 是方程
的两实根，从而可得 ，再结合余弦定理可求得
ABC∆ 60A∠ = ° 23 27 32 0x x− + =
BC
A ,b c
23 27 32 0x x− + = 329, 3b c bc+ = =
．
【详解】
方程 的两实根显然不相等，∴ 不是等边三角形，
∵ ，∴ ， 不是最大角也不是最小角，∴最大边和最小边是 ．
∴ 是方程 的两实根，∴ ，
，
．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查余弦定理，解题关键是利用三角形内角和确定 的角 不是最大角也不是最
小角，从而可得 ．
16．下列有关命题的说法正确的是__________________.
①命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1”的逆否命题为：若 x≠1，则 x2－3x＋2≠0
②x＝1 是 x2－3x＋2＝0 的充分不必要条件
③若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题
④对于命题 p：∃x∈R，使得 x2＋x＋1<0，则非 p：∀x∈R， 均有 x2＋x＋1≥0
【答案】①②④
【解析】对 4 个命题分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：①命题“若 ，则 ”的逆否命题是：“若 ，则
”，正确；
②若 ，则 成立，即充分性成立；若 ，则
或 ，此时 不一定成立，即必要性不成立，故“ ”是“ ”的
充分不必要条件，正确；
③若 为假命题，则 、 至少有一个为假命题，不正确
④对于命题 使得 ，则 ，均有 ，正确．
故答案为：①②④
【点睛】
此题注重对基础知识的考查，特别是四种命题之间的真假关系，复合命题的真假关系，
a
23 27 32 0x x− + = ABC∆
60A = ° 120B C+ = ° A ,b c
,b c 23 27 32 0x x− + = 329, 3b c bc+ = =
2 2 2 2 2 22 cos60 ( ) 3a b c bc b c bc b c bc= + − ° = + − = + − 2 329 3 493
= − × =
7a =
60° A
,b c bc+
2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠
2 3 2 0x x− + ≠
1x = 2 3 2 1 3 2 0x x− + = − + = 2 3 2 0x x− + = 1x =
2x = 1x = 1x = 2 3 2 0x x− + =
p q∧ p q
:p x R∃ ∈ 2 1 0x x+ + < :p x R¬ ∀ ∈ 2 1 0x x+ +
特称命题与全称命题的真假及否定，是学生易错点，属中档题．
三、解答题
17．求以椭圆 9x2＋5y2＝45 的焦点为焦点，且经过点 M(2， )的椭圆的标准方程.
【答案】
【解析】将椭圆方程转化标准方程： ，椭圆的焦点在 轴， ，设椭圆
方程： ，将 代即可求得 的值，即可求得椭圆方程．
【详解】
解：椭圆 化成标准方程，得 ，
椭圆的焦点在 轴，且 ，得 ，焦点为 ， ．
所求椭圆经过点 且与已知椭圆有共同的焦点，
设椭圆方程： ，将 代入 ，
解得： ，
因此所求的椭圆方程为 ，
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的焦点的求法，考查计算能力，属于中档题．
18．等差数列 的前 项和记为 ，已知 ．
（1）求通项 ；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1） ；（2）n=11.
【解析】【详解】试题分析：（1）设等差数列 的公差为 ，根据条件用基本量列
方程求解即可；
（2）先求出 ，再令 解方程即可.
试题解析：
1 设等差数列 的公差为 ，
6
2 2
112 8
y x+ =
2 2
19 5
y x+ = y 2c =
2 2
2 2 14
y x
a a
+ =− (2, 6)M a
2 29 5 45x y+ =
2 2
19 5
y x+ =
∴ y 2 9 5 4c = − = 2c = (0,2) (0, 2)−
(2, 6)M
∴ 2 2
2 2 14
y x
a a
+ =− (2, 6)M 2 2
6 4 14a a
+ =−
2 12a =
2 2
112 8
y x+ =
{ }na n nS 10 2030 50a a= =，
na
242nS = n
{ }na d
nS 242nS =
{ }na d
由 得方程组 ，解得
所以
2 由 得方程 ，
解得
19．已知 中，a，b，c 为角 A，B，C 所对的边，
．
（1）求 cos A 的值；
（2）若 的面积为 ，求 b ，c 的长．
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】试题分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数
公式及诱导公式变形，由 sinB 不为 0 求出 cosA 的值即可；（2）由 cosA 的值求出 sinA
的值，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与 sinA 的值代入求出 bc=6，再利
用余弦定理列出关系式，把 a，cosA 的值代入，利用完全平方公式变形，把 bc 的值代
入求出 b+c=5，联立求出 b 与 c 的值即可．
试题解析：解：（1）由正弦定理得：
（2）由题意得： ，即：
由余弦定理得：
联立上述两式，解得： 或 ．
【考点】正弦定理．
20．已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)求数列 的前 项和 .
ABC∆
3 cos cos + cos b A c A a C=
ABC∆ 2 2 3a =，
1
3
2, 3b c= = 3, 2b c= =
1cos 3A∴ =
1 sin 2 22ABCS bc A∆ = = 6bc =
2 2 2 2 22 cos ,9 ( ) 2 , 53a b c bc A b c bc bc b c= + − = + − − + =
2, 3b c= = 3, 2b c= =
{ }na n nS 2 2nS n n= +
{ }na
1
1
n na a +
n nT
【答案】（1） ；（2）
【解析】由 ,当 时， ；当 时， ，
从而可得出结论；（2）由（1)可得， =
= ,利用“裂项相消”可求出数列 的前 项和 .
【详解】
(1)当 n=1 时,a1=S1=3;
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
=n2+2n- =2n+1.
当 n=1 时,也符合上式,
故 an=2n+1 .
（2）因为 = = ,
故 Tn=
= = .
【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一
难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；
（2） ； （3）
；（4）
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多
项的问题，导致计算结果错误.
21．在 中，内角 的对边分别为 a，b，c，且 .
2 1na n= + ( )
n
3 2n 3+
2 2 ,nS n n n N ∗= + ∈ 1n = 1 1 3a S= = 2n ≥ 1n n na S S −= −
n n 1
1
a a + ( )( )
1
2n 1 2n 3+ +
1 1 1
2 2n 1 2n 3
− + + 1
1
n na a +
n nT
( ) ( )2n 1 2 n 1 − + −
( )*n N∈
n n 1
1
a a + ( )( )
1
2n 1 2n 3+ +
1 1 1
2 2n 1 2n 3
− + +
1 1 1 1 1 1 1
2 3 5 5 7 2n 1 2n 3
− + − +…+ − + +
1 1 1
2 3 2n 3
− + ( )
n
3 2n 3+
( )
1 1 1 1
n n k k n n k
= − + +
1
n k n+ + ( )1 n k nk
= + −
( )( )
1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n
= − − + − + ( )( )
1 1
1 2 2n n n
=+ +
( ) ( )( )
1 1
1 1 2n n n n
− + + +
ABC∆ , ,A B C sin cos 0a B b A+ =
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由正弦定理把边的关系转化为角的关系，再由三角形中 及三角
函数的性质可求得 ．
（2）由正弦定理求得 ， 为锐角，从而可得 ，这样可求得 ，然后可
得面积．
【详解】
（1）由正弦定理及 得 ，
为三角形内角， ，∴ ， ，∴ ；
（2）由 得 ，
为锐角，∴ ，又 ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式以及两角差的正弦公式等．考查的
知识点较多，务必熟练掌握三角函数的公式，解题中根据条件选用恰当的公式运算求
解．
22．已知椭圆 C： 的左焦点为 F（﹣1，0），离心率为 ，过
点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设过点 F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线
与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围．
5, 1a b= = ABC∆
3
4
π 1
2
sin 0B ≠
A
sin B B cos B sinC
sin cos 0a B b A+ = sin sin sin cos 0A B B A+ =
B sin 0B ≠ sin cos 0A A+ = tan 1A = − 3
4A
π=
sin sin
a b
A B
=
31 sinsin 104sin 105
b AB a
π×
= = =
B 2 3 10cos 1 sin 10B B= − = 3
4A
π=
sin sin( )4C B
π= − 2 3 10 10 5sin cos cos sin ( )4 4 2 10 10 5B B
π π= − = − =
1 1 5 1sin 5 12 2 5 2ABCS ab C∆ = = × × × =
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = ＞ ＞ 2
2
【答案】 1；（Ⅱ）（ ，0）
【解析】（Ⅰ）由题意可知：c＝1，a2＝b2﹣c2，e ，由此求出椭圆的方
程．（II）设直线 AB 的方程为 y＝k（x+1）（k≠0），联立方程，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2
＝0．由直线 AB 过椭圆的左焦点 F，记 A（x1，y1），B（x2，y2），AB 的中点 N（x0，
y0），x1+x2 ，x0 ，垂直平分线 NG 的方程为 y﹣y0
，由此能求出点 G 横坐标的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）由题意可知：c＝1，a2＝b2﹣c2，e
解得：a ，b＝1
故椭圆的方程为： 1
（II）设直线 AB 的方程为 y＝k（x+1）（k≠0），
与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0
∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F∴方程有两个不等实根．
记 A（x1，y1），B（x2，y2），AB 的中点 N（x0，y0）
则 x1+x2
x0
垂直平分线 NG 的方程为 y﹣y0 ，
令 y＝0，得 xG＝x0+ky0
．
∵k≠0，∴ 0
∴点 G 横坐标的取值范围为（ ，0）．
【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理应用，解题时要注意合理地进行等
2
2
2
x y+ =（Ⅰ） 1
2
−
2
2
c
a
= =
2
2
4
1 2
k
k
−= +
1 2 1 2
02 2
x x y yy
+ += =，
( )0
1 x xk
= − −
2
2
c
a
= =
2=
2
2
2
x y+ =
2
2
4
1 2
k
k
−= +
1 2 1 2
02 2
x x y yy
+ += =，
( )0
1 x xk
= − −
2 2 2
2 2 2
2
2 1 2 1 2 1
k k k
k k k
= − + = −+ + +
2
1 1
2 4 2k
= − + +
1
2 Gx− ＜ ＜
1
2
−
价转化．
