2018届高三数学一轮复习： 第6章 第6节 数学归纳法
第六节 数学归纳法
[考纲传真] 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2．数学归纳法的框图表示
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( )
(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )
(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )
(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(2016·银川九中月考)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
A．1 B.2
C．3 D.0
C [因为凸n边形最小为三角形，所以第一步检验n等于3，故选C.]
3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
B [k为偶数，则k＋2为偶数．]
4．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝__________，a3＝__________，a4＝__________，猜想an＝__________.
3 4 5 n＋1
5．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋
1)”由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是__________．
2k [当n＝k时，不等式为1＋＋＋…＋均成立.
【导学号：01772233】
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.∵左边>右边，∴不等式成立.3分
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，
即·…·>.6分
则当n＝k＋1时，·…·>·＝
＝>
＝＝.10分
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.12分
[规律方法] 1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．
2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立，再证n＝k
＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
[变式训练2] 已知数列{an}，当n≥2时，an<－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an＋1a2.3分
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋10.8分
又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，
∴ak＋2－ak＋1<0，
∴ak＋20，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
(2)证明通项公式的正确性．
【导学号：01772234】
[解] (1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.
∴a1＝－1(a1>0).2分
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.
∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.
猜想an＝－(n∈N*).5分
(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，
即ak＝－.7分
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
将ak＝－代入上式，整理得
a＋2ak＋1－2＝0，
∴ak＋1＝－，
即n＝k＋1时通项公式成立.10分
由①②可知对所有n∈N*，an＝－都成立.12分
[规律方法] 1.猜想{an}的通项公式时应注意两点：(1)准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明ak＋1时，ak＋1的求解过程与a2，a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系．
2．“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．
[变式训练3] (2016·洛阳调研)已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．
[解] 由x1＝及xn＋1＝，
得x2＝，x4＝，x6＝，
由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列.3分
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，已证命题成立.5分
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，
即x2k>x2k＋2，易知xk>0，那么
x2k＋2－x2k＋4＝－
＝＝
>0，9分
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.
也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．
结合(1)(2)知，对∀n∈N*命题成立.12分
[思想与方法]
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要弄清n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法．
[易错与防范]
1．第一步验证当n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．
2．由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用归纳假设，否则就不是数学归纳法．
3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功．
