高中数学 1_3_2 函数的极值与导数同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数
一、选择题
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
[答案] C
[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.
2．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－2，极大值2
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－1，极大值1
D．极小值－1，极大值3
[答案] D
[解析] y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1
当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，
当－1
0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，
当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，
∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.
当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.
3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在
D．f′(x0)存在但可能不为0
[答案] C
[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．
4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．
5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得01时，y′>0，
当x<1时，y′>0，
∴函数无极值，故应选D.
9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是( )
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－
D．极大值为－，极小值为0
[答案] A
[解析] 由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①
f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②
由①②得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1
＝(3x－1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，极大值f＝，极小值f(1)＝0.
10．下列函数中，x＝0是极值点的是( )
A．y＝－x3 B．y＝cos2x
C．y＝tanx－x D．y＝
[答案] B
[解析] y＝cos2x＝，y′＝－sin2x，
x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，
∴x＝0是函数的极大值点．
二、填空题
11．函数y＝的极大值为______，极小值为______．
[答案] 1 －1
[解析] y′＝，
令y′>0得－11或x<－1，
∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.
12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．
[答案] a＋4 a－4
[解析] y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)，
令y′>0，得x>或x<－，
令y′<0，得－0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．
由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.
(1)当a＝3时，由(*)式得，
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)
解得a∈[1,9]，
即a的取值范围[1,9]．
