2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 19两角和与差的正弦、余弦与正切公式

2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 19两角和与差的正弦、余弦与正切公式

考点规范练19　两角和与差的正弦、余弦与正切公式 基础巩固组 ‎1.计算cos 42°cos 18°-cos 48°sin 18°的结果等于(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎3‎‎3‎ ‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎2.已知sin α=‎5‎‎5‎,则sin4α-cos4α的值为(　　)‎ A.-‎1‎‎5‎ B.-‎3‎‎5‎ ‎ C.‎1‎‎5‎ D.‎‎3‎‎5‎ ‎3.(2017山东高考)函数y=‎3‎sin 2x+cos 2x最小正周期为(　　)‎ A.π‎2‎ B.‎2π‎3‎ ‎ C.π D.2π ‎4.(2017浙江金华十校联考)已知α为锐角,且7sin α=2cos 2α,则sinα+‎π‎3‎=(　　)‎ A.‎1+3‎‎5‎‎8‎ B.‎‎1+5‎‎3‎‎8‎ C.‎1-3‎‎5‎‎8‎ D.‎‎1-5‎‎3‎‎8‎ ‎5.(2017江苏高考)若tanα-‎π‎4‎‎=‎‎1‎‎6‎,则tan α=　　　　　. ‎ ‎6.(2017课标Ⅱ高考)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为　　　　　. ‎ ‎7.sin110°sin20°‎cos‎2‎155°-sin‎2‎155°‎=　　　　　. ‎ ‎8.(2017浙江宁波诺丁汉大学附中下学期期中)若sin(π+x)+cos(π+x)=‎1‎‎2‎,则sin 2x=　　　　　,‎1+tanxsinxcosx-‎π‎4‎=　　　　　. ‎ 能力提升组 ‎9.若sin 2α=‎5‎‎5‎,sin(β-α)=‎10‎‎10‎,且α∈π‎4‎‎,π,β∈π,‎‎3π‎2‎,则α+β的值是(　　)‎ A.‎7π‎4‎ B.‎9π‎4‎ ‎ C.‎5π‎4‎或‎7π‎4‎ D.‎‎5π‎4‎或‎9π‎4‎ ‎10.将函数f(x)=sin‎3π‎2‎‎+x(cos x-2sin x)+sin2x的图象向左平移π‎8‎个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)具有性质(　　)‎ A.在‎0,‎π‎4‎上单调递增,为奇函数 B.周期为π,图象关于π‎4‎‎,0‎对称 C.最大值为‎2‎,图象关于直线x=π‎2‎对称 D.在‎-π‎2‎,0‎上单调递增,为偶函数 ‎11.设f(x)=‎1+cos2x+sin2x‎2‎sin ‎π‎2‎‎+x+asin (x+π‎4‎)的最大值为3,则常数a=(　　)‎ A.1‎ B.1或-5‎ C.-2或4‎ D.±‎‎7‎ ‎12.(2017浙江绍兴柯桥区期中)已知函数f(x)=asin x+bcos x(a≠0)在x=π‎4‎处取得最小值,则函数f‎3π‎4‎‎-x是(　　)‎ A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称 B.偶函数且它的图象关于点‎3π‎2‎‎,0‎对称 C.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称 D.奇函数且它的图象关于点‎3π‎2‎‎,0‎对称 ‎13.(2017安徽蚌埠质检)已知函数f(x)=cos2ωx‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎sin ωx-‎1‎‎2‎(ω>0,x∈R),若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎5‎‎12‎ ‎ B.‎‎0,‎‎5‎‎12‎‎∪‎‎5‎‎6‎‎,‎‎11‎‎12‎ C.‎0,‎‎5‎‎6‎ ‎ D.‎‎0,‎‎5‎‎12‎‎∪‎‎5‎‎6‎‎,‎‎11‎‎12‎ ‎14.(2017北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=‎1‎‎3‎,cos(α-β)=　　　　　. ‎ ‎15.(2017浙江杭州高级中学模拟)已知α,β∈‎0,‎π‎2‎,且sinβsinα=cos(α+β),‎ ‎(1)若α=π‎6‎,则tan β=　　　　　; ‎ ‎(2)tan β的最大值为　　　　　. ‎ ‎16.设α为锐角,若cosα+‎π‎6‎‎=‎‎3‎‎5‎,则sinα-‎π‎12‎=　　　　　. ‎ ‎17.(2017安徽合肥模拟)已知函数f(x)=(2cos2x-1)·sin 2x+‎1‎‎2‎cos 4x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间;‎ ‎(2)若α∈(0,π),且fα‎4‎‎-‎π‎8‎‎=‎‎2‎‎2‎,求tanα+‎π‎3‎的值.‎ ‎18.(2017浙江杭州模拟)设函数f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2‎3‎sin ωxcos ωx+λ的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈‎1‎‎2‎‎,1‎.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若y=f(x)的图象经过点π‎4‎‎,0‎,求函数f(x)在区间‎0,‎‎3π‎5‎上的取值范围.‎ 答案：‎ ‎1.A　原式=sin 48°cos 18°-cos 48°sin 18°=sin(48°-18°)=sin 30°=‎‎1‎‎2‎‎.‎ ‎2.B　因为sin α=‎5‎‎5‎,所以sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)·(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α=-cos 2α=2sin2α-1=-‎‎3‎‎5‎‎.‎ ‎3.C　因为y=‎3‎sin 2x+cos 2x=2sin‎2x+‎π‎6‎,所以其周期T=‎2π‎2‎=π,故选C.‎ ‎4.A　由7sin α=2cos 2α得7sin α=2(1-2sin2α),即4sin2α+7sin α-2=0,∴sin α=-2(舍去)或sin α=‎1‎‎4‎‎.∵‎α为锐角,∴cos α=‎15‎‎4‎,∴sinα+‎π‎3‎‎=‎1‎‎4‎×‎1‎‎2‎+‎15‎‎4‎×‎3‎‎2‎=‎‎1+3‎‎5‎‎8‎,故选A.‎ ‎5‎.‎‎7‎‎5‎　tan α=tan ‎α-‎π‎4‎‎+‎π‎4‎ ‎=tanα-‎π‎4‎+tan ‎π‎4‎‎1-tanα-‎π‎4‎tan ‎π‎4‎‎=‎1‎‎6‎‎+1‎‎1-‎‎1‎‎6‎=‎7‎‎5‎.‎故答案为‎7‎‎5‎‎.‎ ‎6‎.‎‎5‎　f(x)‎‎≤‎2‎‎2‎‎+1‎=‎5‎.‎ ‎7‎‎.‎1‎‎2‎　sin110°sin20°‎cos‎2‎155°-sin‎2‎155°‎=cos20°sin20°‎cos‎2‎25°-sin‎2‎25°‎=‎1‎‎2‎sin40°‎cos50°‎=‎1‎‎2‎.‎ ‎8.-‎3‎‎4‎　-‎8‎‎2‎‎3‎　sin(π+x)+cos(π+x)=-sin x-cos x=‎1‎‎2‎,即sin x+cos x=-‎1‎‎2‎,两边平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=‎1‎‎4‎,即1+sin 2x=‎1‎‎4‎,则sin 2x=-‎3‎‎4‎,‎ 由‎1+tanxsinxcosx-‎π‎4‎‎=‎1+‎sinxcosx‎2‎‎2‎sinx(cosx+sinx)‎=‎2‎sinxcosx=‎2‎‎2‎sin2x=‎‎2‎‎2‎‎-‎‎3‎‎4‎=-‎8‎‎2‎‎3‎,故答案为-‎3‎‎4‎,-‎‎8‎‎2‎‎3‎‎.‎ ‎9.A　因为α∈‎π‎4‎‎,π,故2α∈‎π‎2‎‎,2π,又sin 2α=‎5‎‎5‎,‎ 故2α∈‎π‎2‎‎,π,α∈‎π‎4‎‎,‎π‎2‎,‎ ‎∴cos 2α=-‎2‎‎5‎‎5‎‎.β∈‎π,‎‎3π‎2‎,故β-α∈‎π‎2‎‎,‎‎5π‎4‎,‎ 于是cos(β-α)=-‎3‎‎10‎‎10‎,‎ ‎∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-‎2‎‎5‎‎5‎‎×‎-‎‎3‎‎10‎‎10‎-‎5‎‎5‎×‎10‎‎10‎=‎‎2‎‎2‎,且α+β∈‎‎5π‎4‎‎,2π,故α+β=‎‎7π‎4‎‎.‎ ‎10.A　∵f(x)=sin‎3π‎2‎‎+x(cos x-2sin x)+sin2x ‎=-cos2x+sin 2x+sin2x=sin 2x-cos 2x ‎=‎2‎sin‎2x-‎π‎4‎,‎ g(x)=‎2‎sin‎2x+‎π‎8‎-‎π‎4‎‎=‎‎2‎sin 2x,‎ ‎∴g(x)为奇函数,且在‎0,‎π‎4‎上是增函数.故选A.‎ ‎11.B　f(x)=‎2cos‎2‎x+2sinxcosx‎2‎cosx+asinx+‎π‎4‎‎=‎‎2‎cos x+‎2‎sin x+asinx+‎π‎4‎=2sinx+‎π‎4‎+asinx+‎π‎4‎=(a+2)sinx+‎π‎4‎,则|a+2|=3,∴a=1或a=-5.故选B.‎ ‎12.C　函数f(x)=asin x+bcos x=a‎2‎‎+‎b‎2‎sin(x+θ)(a≠0)的周期为2π,在x=π‎4‎处取得最小值,故有‎2‎‎2‎(a+b)=-a‎2‎‎+‎b‎2‎,即有b=a,∴f(x)=‎2‎asinx+‎π‎4‎‎.‎则f‎3π‎4‎‎-x‎=‎‎2‎asin(π-x)=‎2‎asin x.则函数y=f‎3π‎4‎‎-x为奇函数,对称中心为(kπ,0),k∈Z,故选C.‎ ‎13.D　∵f(x)=‎1‎‎2‎‎2cos‎2‎ωx‎2‎-1‎‎+‎‎3‎‎2‎sin ωx=‎1‎‎2‎cos ωx+‎3‎‎2‎sin ωx=sinωx+‎π‎6‎,当x∈(π,2π)时,ωx+π‎6‎‎∈‎ωπ+π‎6‎,2ωπ+‎π‎6‎,依题意,ωπ+π‎6‎≥kπ‎2ωπ+π‎6‎≤(k+1)π‎⇒‎k-‎1‎‎6‎‎≤ω≤k‎2‎+‎‎5‎‎12‎,k∈Z,由k‎2‎‎+‎‎5‎‎12‎>k-‎1‎‎6‎,可得k<‎7‎‎6‎,k=0时,ω∈‎‎0,‎‎5‎‎12‎,当k=1时,ω∈‎‎5‎‎6‎‎,‎‎11‎‎12‎,所以ω的取值范围是‎0,‎‎5‎‎12‎‎∪‎‎5‎‎6‎‎,‎‎11‎‎12‎,故选D.‎ ‎14.-‎7‎‎9‎　因为α和β关于y轴对称,那么sin β=sin α=‎1‎‎3‎,cos α=-cos β,这样cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=-‎‎7‎‎9‎‎.‎ ‎15.(1)‎3‎‎5‎　(2)‎2‎‎4‎　由sinβsinα=cos(α+β),化简可得:sin β(1+sin2α)=‎1‎‎2‎sin 2αcos β,则tan β=‎‎1‎‎2‎sin2α‎1+sin‎2‎α‎.‎ ‎(1)若α=π‎6‎,则tan β=‎‎1‎‎2‎sinπ‎3‎‎1+‎‎1‎‎2‎‎2‎‎=‎3‎‎2‎‎×‎‎1‎‎2‎‎1+‎‎1‎‎4‎=‎3‎‎5‎.‎ ‎(2)∵tan β=‎1‎‎2‎sin2α‎1+sin‎2‎α‎=‎sin2α‎3-cos2α=-‎-sin2α‎3-cos2α,看成是圆心为(0,0),半径r=1的圆上的点与点(3,0)的连线的斜率问题,直线过(3,0),设方程为y=k(x-3),d=r=1,即1=‎|3k|‎k‎2‎‎+1‎,解得k=‎2‎‎4‎‎.∴‎tan β的最大值为‎2‎‎4‎‎.‎故答案为:‎‎3‎‎5‎‎,‎2‎‎4‎.‎ ‎16‎.‎‎2‎‎10‎　由于α为锐角,则0<α<π‎2‎,‎ 则π‎6‎<α+π‎6‎‎<‎‎2π‎3‎,因此sinα+‎π‎6‎>0,‎ 所以sinα+‎π‎6‎‎=‎1-cos‎2‎α+‎π‎6‎=‎1-‎‎3‎‎5‎‎2‎=‎‎4‎‎5‎,‎ 所以sinα-‎π‎12‎=sinα+‎π‎6‎‎-‎π‎4‎ ‎=sinα+‎π‎6‎cosπ‎4‎-cosα+‎π‎6‎sinπ‎4‎‎=‎4‎‎5‎×‎2‎‎2‎-‎3‎‎5‎×‎2‎‎2‎=‎2‎‎10‎.‎ ‎17.解 (1)f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+‎1‎‎2‎cos 4x ‎=cos 2xsin 2x+‎1‎‎2‎cos 4x ‎=‎1‎‎2‎(sin 4x+cos 4x)=‎2‎‎2‎sin‎4x+‎π‎4‎,‎ ‎∴f(x)的最小正周期T=‎π‎2‎‎.‎ 令2kπ+π‎2‎‎≤‎4x+π‎4‎‎≤‎2kπ+‎3‎‎2‎π,k∈Z,‎ 得kπ‎2‎‎+π‎16‎≤‎x‎≤kπ‎2‎+‎‎5π‎16‎,k∈Z.‎ ‎∴f(x)的单调减区间为kπ‎2‎‎+π‎16‎,kπ‎2‎+‎‎5π‎16‎,k∈Z.‎ ‎(2)fα‎4‎‎-‎π‎8‎‎=‎‎2‎‎2‎,即sinα-‎π‎4‎=1.‎ ‎∵α∈(0,π),-π‎4‎<α-π‎4‎‎<‎‎3π‎4‎,‎ ‎∴α-π‎4‎‎=‎π‎2‎,故α=‎‎3π‎4‎‎.‎ ‎∴tanα+‎π‎3‎‎=tan‎3π‎4‎+tanπ‎3‎‎1-tan‎3π‎4‎tanπ‎3‎=‎‎-1+‎‎3‎‎1+‎‎3‎=2-‎‎3‎‎.‎ ‎18.解 (1)f(x)=sin2ωx+2‎3‎sin ωx·cos ωx-cos2ωx+λ ‎=‎3‎sin 2ωx-cos 2ωx+λ ‎=2sin‎2ωx-‎π‎6‎+λ,‎ ‎∵图象关于直线x=π对称,∴2πω-π‎6‎‎=‎π‎2‎+kπ,k∈Z.‎ ‎∴ω=k‎2‎‎+‎‎1‎‎3‎,又ω∈‎‎1‎‎2‎‎,1‎,‎ 令k=1时,ω=‎5‎‎6‎符合要求,‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为‎2π‎2×‎‎5‎‎6‎‎=‎‎6π‎5‎;‎ ‎(2)∵fπ‎4‎=0,∴2sin‎2×‎5‎‎6‎×π‎4‎-‎π‎6‎+λ=0,‎ ‎∴λ=-‎2‎,∴f(x)=2sin‎5‎‎3‎x-‎π‎6‎‎-‎‎2‎,‎ ‎∴f(x)‎‎∈‎-1-‎2‎,2-‎‎2‎.‎