2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第四章 第4讲 三角函数的图象与性质
第4讲 三角函数的图象与性质
一、知识梳理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数，在
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数
在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上是增函数
[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是减函数
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ＋，0)(k∈Z)
对称中心是(，0)(k∈Z)
常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
二、教材衍化
1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则T＝________，A＝________．
解析：最小正周期T＝＝π，最大值A＝2－1＝1.
答案：π 1
2．下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是________(填序号)．
①在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数；
②在上是增函数，在及上是减函数；
③在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数；
④在及上是增函数，在上是减函数．
解析：函数y＝4sin x在和上是减少的，在上是增加的．
答案：②
3． y＝tan 2x的定义域是________．
解析：由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan 2x的定义域是.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( )
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．( )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(5)y＝sin |x|是偶函数．( )
(6)若sin x>，则x>.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
二、易错纠偏
(1)忽视y＝Asin x(或y＝Acos x)中A对函数单调性的影响；
(2)忽视定义域的限制；
(3)忽视正切函数的周期；
(4)不化为同名函数以及同一单调区间导致比较大小出错．
1．函数y＝1－2cos x的减区间为________．
解析：函数y＝1－2cos x的减区间为函数y＝cos x的增区间．
答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
2．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为________．
解析：当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，
所以sin∈[－，1]，
故3sin∈[－，3]，
所以函数f(x)在区间[0，]上的值域是[－，3]．
答案：[－，3]
3．函数y＝tan图象的对称中心是________．
解析：由x＋＝π，得x＝π－，k∈Z.
答案：(k∈Z)
4．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________．
解析：sin 68°＝cos 22°，
又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，
所以sin 68°>cos 23°>cos 97°.
答案：sin 68°>cos 23°>cos 97°
[学生用书P66]
三角函数的定义域(自主练透)
1．函数f(x)＝－2tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D.由2x＋≠kπ＋，得x≠＋(k∈Z)．
2．函数y＝lg sin x＋的定义域为________．
解析：要使函数有意义，则有
即
解得(k∈Z)，
所以2kπ
0，
g(t)在上是增函数；
当t∈时，g′(t)<0，g(t)在上是减函数．
由此可知y＝g(t)在t＝时取得最大值，最大值为.故f(x)的最大值为.故填.
(2)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，
当x∈时，∈.
由正弦函数y＝sin x在上的图象知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．
1．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，－≤x≤，则f(x)的最大值为( )
A．1 B．2
C. D．＋1
解析：选C.f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2sin.因为－≤x≤，所以－≤x＋≤，故当x＝时，f(x)取最大值，故选C.
2．函数f(x)＝sin2x＋sin x cos x在区间上的最大值为，求m的最小值．
解：f(x)＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋.
由题意知－≤x≤m.
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在上的最大值为，则sin在上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
函数的单调性(多维探究)
角度一 求三角函数的单调区间
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
(2)函数y＝sin x＋cos x(x∈[0，])的增区间是________．
【解析】 (1)A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)是增加的，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)是减少的，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.(2)因为y＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数的增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，
又x∈[0，]，所以增区间为[0，]．
【答案】 (1)A (2)[0，]
三角函数单调性的求法
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解．
(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．
角度二 根据单调性求参数
(1)(一题多解)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B．
C. D．π
(2)(一题多解)若f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间[－，]上是增函数，则ω
的取值范围是________．
【解析】 (1)法一：f(x)＝cos x－sin x＝cos.当x∈[0，a]时，x＋∈，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.
法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－sin.于是，由题设得f′(x)≤0，即sin≥0在区间[0，a]上恒成立．当x∈[0，a]时，x＋∈，所以a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.
(2)法一：因为x∈[－，](ω>0)，
所以ωx∈[－，]，
因为f(x)＝2sin ωx在[－，]上是增函数，
所以故0<ω≤.
法二：画出函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)的图象如图所示．
要使f(x)在[－，]上是增函数，需
(ω>0)，即0<ω≤.
法三：由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)得
－＋≤x≤＋(k∈Z)，
故f(x)的增区间是[－＋，＋](k∈Z)，
由题意[－，]⊆[－＋，＋](k∈Z，ω>0)，
从而有即0<ω≤.
【答案】 (1)C (2)(0，]
已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法
(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；
(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解．
[提醒] 要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．
1．函数f(x)＝tan(2x－)的增区间是( )
A．[－，＋](k∈Z)
B．(－，＋)(k∈Z)
C．(kπ＋，kπ＋](k∈Z)
D．(kπ－，kπ＋](k∈Z)
解析：选B.由kπ－<2x－0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上是减少的，则ω的取值范围是________．
解析：法一：由0，得＋<ωx＋<ωπ＋，又y＝sin x的减区间为[2kπ＋，2
kπ＋]，k∈Z，所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.又由4k＋－(2k＋)≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈[，]．
法二：由已知＝≥，所以0<ω≤2，又0)在区间上是减少的，则ω的取值范围是________．
【解析】 令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上是减少的，所以得6k＋≤ω≤4k＋3.又ω>0，所以k≥0，又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.即≤ω≤3.
【答案】
根据正弦函数的减区间，确定函数f(x)的减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上是减少的，建立不等式，即可求ω的取值范围．
二、利用三角函数的对称性求解
(1)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为x＝，一个对称中心为点，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
(2)若函数y＝cos(ω∈N+)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________．
【解析】 (1)因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A.
(2)依题意得cos＝0，则＋＝＋kπ(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N+，所以ω的最小值为＝2.
【答案】 (1)A (2)2
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这就说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．
三、利用三角函数的最值求解
(1)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
(2)已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f＝f()，且f(x)在区间内有最小值无最大值，则ω＝________．
【解析】 (1)显然ω≠0.
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
(2)因为f＝f，而＝，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，又f(x)在区间内有最小值无最大值，所以f(x)min＝f＝sin＝－1，所以＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝4k＋.再由f(x)在区间内有最小值无最大值，得＝T≥－，解得ω≤12，所以k＝0，ω＝.
【答案】 (1)(－∞，－2]∪ (2)
利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
[基础题组练]
1．函数y＝|cos x|的一个增区间是( )
A．[－，] B．[0，π]
C．[π，] D．[，2π]
解析：选D.将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
2．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上是减少的
解析：选D.函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先减后增，D选项错误．
3．(2020·河北衡水第十三中学质检(四))同时满足f(x＋π)＝f(x)与f＝f的函数f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝tan x
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x
解析：选D.由题意得所求函数的周期为π，且图象关于x＝对称．
A．f(x)＝cos 2x的周期为π，而f＝0不是函数的最值．
所以其图象不关于x＝对称．
B．f(x)＝tan x的周期为π，但图象不关于x＝对称．
C．f(x)＝sin x的周期为2π，不合题意．
D．f(x)＝sin 2x的周期为π，且f＝1为函数最大值，
所以D满足条件，故选D.
4．(2020·河南六市联考)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，则φ为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，
所以ω＝2，φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
因为|φ|<，所以φ＝－，选D.
5．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0)．在同一周期内，当x＝时取最大值，当x＝－时取最小值，则φ的值可能为( )
A. B．
C. D．
解析：选C.T＝＝2＝π，故ω＝2，又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ的值可能为.故答案为C.
6．函数f(x)＝sin的减区间为________．
解析：由已知可得函数为f(x)＝－sin，欲求函数f(x)的减区间，只需求y＝sin的增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故所求函数f(x)的减区间为
(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.
答案：
8．已知函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是________．
解析：因为函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1，3)得，ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－2.
(1)求f(x)的增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的增区间为，k∈Z.
(2)因为x∈，
所以≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤ ，
所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
10．已知函数f(x)＝4sin(x－)cos x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1＋x2)的值．
解：(1)f(x)＝4sin(x－)cos x＋＝4(sin x－cos x)cos x＋＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)．
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)函数g(x)＝f(x)－m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，即函数y＝f(x)与y＝m在[0，]上的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出函数y＝f(x)＝2sin(2x－)在[0，]上的图象，如图所示，
由图象可知，当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝，
故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan ＝－.
[综合题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
解析：选C.通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，
故①正确；当0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在递增
④ω的取值范围是
其中所有正确结论的编号是( )
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
解析：选D.如图，根据题意知，xA≤2π0)，f()＋f()＝0，且f(x)在区间(，)上是减少的，则ω＝________.
解析：因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)，
由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋≤x≤＋，因为f(x)在区间(，)上递减，所以(，)⊆[＋，＋]，从而有，
解得12k＋1≤ω≤，k∈Z，
所以1≤ω≤，因为f()＋f()＝0，
所以x＝＝为f(x)＝2sin(ωx＋)的一个对称中心的横坐标，
所以ω＋＝kπ(k∈Z)，ω＝3k－1，k∈Z，
又1≤ω≤，所以ω＝2.
答案：2
4．(2020·江赣十四校第二次联考)如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2－ cos(m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是________．
解析：化简f(x)＝2sin2－cos得f(x)＝2sin＋1，所以，函数f(x)的图象靠近圆心(0，1)的最大值点为，最小值点为，
所以只需解得m≥.
答案：
5．已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t值；
(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝－cos－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝2
＝2sin(2x－)．
故f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知h(x)＝2sin.
令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，
得t＝＋(k∈Z)，
又t∈(0，π)，故t＝或.
(3)当x∈时，2x－∈，
所以f(x)∈[1，2]．
又|f(x)－m|<3，
即f(x)－30，函数f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，当x∈[0，]时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f(x＋)且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．
解：(1)因为x∈[0，]，
所以2x＋∈[，]，
所以sin(2x＋)∈[－，1]，
所以－2asin(2x＋)∈[－2a，a]，
所以f(x)∈[b，3a＋b]，又因为－5≤f(x)≤1，
所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋)－1，
g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1
＝4sin(2x＋)－1，
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
所以4sin(2x＋)－1>1，
所以sin(2x＋)>，
所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，
g(x)是增加的，即kπ
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