2018-2019学年福建省霞浦第一中学高二上学期第二次月考数学（理）试题（竞赛班） Word版

2018-2019学年福建省霞浦第一中学高二上学期第二次月考数学（理）试题（竞赛班） Word版

霞浦一中2018-2019学年第一学期高二年第二次月考 数学（理科）试卷（竞）‎ ‎（考试时间：120分钟； 满分：150分）‎ ‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　)‎ A.＜ B.＞ C.a2＞b2 D. a＞b ‎2.等差数列的前项和为，若（ 　）‎ A．12      B．10      C．8      D．6 ‎ ‎3.已知双曲线C：－＝1的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)‎ A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x ‎4.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ( )‎ A.　 B. C.　 　D.‎ ‎5.一元二次不等式的解集为D，且D，则的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）‎ A. 8 B．‎4 C．1 D．‎ ‎7.点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）‎ A． 1 B． C． D．‎ ‎8.在如图所示平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM＝BB1，D ‎1N＝D1D，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎9.在中，内角的对边分别是，若，的面积为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知数列为等差数列，若，且它们的前项和有最大值，则使得的的最大值为（ ）‎ A．11 B．‎19 C．20 D．21‎ ‎11.设F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)‎ A . B. C. D. ‎12.已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ C ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二.填空题 (本大题共4小题，共20分)‎ ‎13.命题“”的否定为 ． ‎ ‎14.)已知函数，则=__________________‎ ‎15. 设圆C与两圆C1：(x＋)2＋y2＝4，C2：(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则圆C的圆心轨迹L的方程为____________.‎ ‎16. 三棱柱ABCA1B‎1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70‎ 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)‎ ‎17.（本题满分10分）‎ ‎ 在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知，为边上的高，求的取值范围.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 已知圆F的方程为，顶点在原点的抛物线C的右焦点恰好是圆F的圆心F.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程.‎ ‎（Ⅱ）过点P(－1，0)的直线交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点.若＝2，求直线的斜率.‎ ‎19.（本题满分12分） ‎ ‎ 如图，在以为顶点的五面体中，平面，∥，，．‎ ‎（Ⅰ） O为AB的中点，F是线段BE上一点，，证明：∥平面；‎ ‎ （Ⅱ）当直线DE与平面CBE所成角的正切值为时，求平面CDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，对任意，有 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，设的前项和为，求证：‎ ‎（Ⅱ）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 设函数 ‎ ‎（Ⅰ）若在时有极值，求实数的值和的单调区间; ‎ ‎22.（本小题满分12分）已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）若过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交y轴于点，且求证：为定值 霞浦一中2018-2019学年第一学期高二年第二次月考答案 数学（理科）试卷（竞）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C C D C B D B A B D C 二、 填空题 ‎13.； 14. ； 15. －y2＝1； 16.．‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)‎ ‎17.（本题满分10分）‎ ‎ 在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）已知，为边上的高，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）由得, ‎ ‎ 即,得 ‎ 即 ‎ ‎ 得，又，于是 ‎（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得，‎ ‎ ‎ ‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，即 ‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 已知圆F的方程为，顶点在原点的抛物线C的右焦点恰好是圆F的圆心F.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程.‎ ‎（Ⅱ）过点P(－1，0)的直线交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点.若＝2，求直线的斜率.‎ 解：（Ⅰ）圆F的圆心F（1,0），设抛物线C：，由焦点坐标得=2，‎ 因此抛物线C的方程为；…4分 ‎（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)，‎ 联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，…6分 由韦达定理得x1＋x2＝－＝－2＋，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝，‎ 设Q(x0，y0)，则x0＝＝－1＋，y0＝＝，即Q，…9分 又F(1，0)，所以＝＝2，解得k＝±1…12分 19. ‎（本题满分12分）‎ ‎ 如图，在以为顶点的五面体中，平面，∥，，．‎ ‎（Ⅰ） O为AB的中点，F是线段BE上一点，，证明：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）当直线DE与平面CBE所成角的正切值为时，求平面CDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．‎ （1） 取的中点，连接，，为中点，‎ ‎∥ ∥，是平行四边形， ∥‎ 中，是中点，是中点，‎ 所以是中位线，∥ ∥，平面，平面，∥平面. ‎ （2） 方法一：连接，因为平面，∥ ，所以平面，‎ ‎ 又平面 ‎ 是与平面所成的角，‎ ‎∥，与平面所成的角等于与平面所成的角 ‎ 在中，‎ 在中 在中，，‎ 解得， 以为坐标原点，分别为轴，如图建立空间直角坐标系 ‎ ， 设平面的法向量为 ‎，令，则 平面的一个法向量为， 又平面的法向量为 ‎ ‎ 所以平面CDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值. ‎ ‎20.（本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，对任意，有．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，设的前项和为，求证：‎ 解：（Ⅰ）由可得，，两式相减得，整理得，‎ 根据数列是正项数列，所以有，且有，………………5分 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以有；………………6分 ‎（Ⅱ）‎ ‎……10分…12分 ‎21.（本题满分12分）‎ 设函数 ‎ ‎（Ⅰ）若在时有极值，求实数的值和的单调区间; ‎ ‎（Ⅱ）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）在时有极值，有， ‎ 又，有， ‎ 有， 由有， ‎ 又关系有下表 ‎0‎ ‎0‎ 递增 递减 递增 的递增区间为 和 ， 递减区间为 ‎ ‎（Ⅱ）若在定义域上是增函数,则在时恒成立， ‎ ‎，需时恒成立， ‎ 化为恒成立，，需，此为所求。 ‎ ‎21（本小题满分12分）已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）若过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交y轴于点，且求证：为定值 解：（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆的方程为,‎ ‎∴圆心到直线的距离 （*）‎ ‎∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， b=c,代入（*）式得b=1 ∴ 故所求椭圆方程为 …4分 ‎ ‎ （Ⅱ）由题意：直线的斜率存在，所以设直线方程为,则 将直线方程代入椭圆方程得： …6分 设，则 ① …8分 由∴‎ 即：， …10分 ‎==-4‎ ‎∴ …12分