专题10+导数的概念及运算（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题10+导数的概念及运算（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎ 1．已知函数y＝xlnx，则这个函数在点x＝1处的切线方程是(　　)‎ A．y＝2x－2　　　　　　　 B．y＝2x＋2‎ C．y＝x－1 D．y＝x＋1‎ ‎【解析】∵y′＝lnx＋1，∴x＝1时，y′|x＝1＝1，‎ ‎∵x＝1时，y＝0，∴切线方程为y＝x－1.‎ ‎【答案】C ‎2．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(　　)‎ A. B．0‎ C. D．1‎ ‎【解析】由f′(x)＝ex(cosx－sinx)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝1，故倾斜角为，选A.‎ ‎【答案】A ‎3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　)‎ A．－1 B．－2‎ C．2 D．0‎ ‎【答案】B ‎4．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为(　　)‎ A．(－1,2) B．(1，－3)‎ C．(1,0) D．(1,5)‎ ‎【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x3－1，所以f′(x0)＝4x－1＝3，即x0＝1.把x0＝1代入函数f(x)＝x4－x得y0＝0，所以点P的坐标为(1,0)．‎ ‎【答案】C ‎5．若点P是函数y＝ex－e－x－3x(－≤x≤)图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα ‎≥－1，α∈[0，π)．又∵tanα<0，所以α的最小值为，故选B.‎ ‎【答案】B ‎6．已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[6，＋∞) B．(－∞，2]‎ C．[2,6] D．[5,6]‎ ‎【解析】f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，因为x0∈[0,3]，所以f′(x0)∈[2,6]，又因为切线与直线x＋my－10＝0垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]． ‎ ‎【答案】C ‎7．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎【答案】B ‎8．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．2 D．4‎ ‎【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋‎3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.‎ ‎【答案】B ‎9．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝(　　)‎ A．0 B. C. D．2‎ ‎【答案】C ‎10．过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为(　　)‎ A． x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0‎ B．x－y－2＝0‎ C．x－y＋2＝0‎ D．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0‎ ‎【解析】令f(x)＝x3－2x，当(1，－1)为切点时，切线的斜率为f′(1)＝1，所以切线方程为y＝x－2.‎ 当(1，－1)不是切点时，设切点为(x0，x－2x0)，可得切线方程为y－x＋2x0＝(3x－2)(x－x0)，又该切线过点(1，－1)，可得x0＝－，故切线方程为5x＋4y＝1.‎ ‎【答案】A ‎11．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(　　)‎ A.　　　 B．‎0　‎　　‎ C.　　　 D．1‎ ‎【解析】f′(x)＝excosx－exsinx，所以f′(0)＝e0cos0－e0sin0＝1，所以倾斜角为。故选A。‎ ‎【答案】A ‎12．知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的一条切线，则m的值为(　　)‎ A．0 B．2 ‎ C．1 D．3‎ ‎【解析】因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的切线，所以令y′＝2x－＝－1，得x＝1或x＝－(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2。故选B。‎ ‎【答案】B ‎13.若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　)‎ A.f(x)＝3cos x B.f(x)＝x3＋x2‎ C.f(x)＝1＋sin 2x D.f(x)＝ex＋x ‎【答案】C ‎14.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于(　　)‎ A.－e B.－1‎ C.1 D.e ‎【解析】由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，‎ ‎∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1. ‎ ‎【答案】B ‎15.已知e为自然对数的底数，曲线y＝aex＋x在点(1，ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】∵y′＝aex＋1，∴切线的斜率为y′|x＝1＝ae＋1，又切线与直线2ex－y－1＝0平行，∴ae＋1＝2e，解得a＝.‎ ‎【答案】B ‎16.已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)‎ A.－1 B.－3 C.－4 D.－2‎ ‎【解析】∵f′(x)＝，‎ ‎∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.‎ 又f(1)＝0，‎ ‎∴直线l的方程为y＝x－1，‎ g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，‎ 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，‎ 又因为y0＝x＋mx0＋(m<0).‎ 解得m＝－2.‎ ‎【答案】D ‎17.已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)‎ A.00)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________。‎ ‎【答案】(1,1)‎ ‎20．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________。‎ ‎【解析】∵x＝5，∴f(5)＝－5＋8＝3。又∵f′(5)＝－1，‎ ‎∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2。‎ ‎【答案】2 ‎ ‎21．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.‎ ‎【解析】由题设知，点M(1，f(1))既在函数y＝f(x)的图象上，又在切线y＝x＋2上，所以f(1)＝＋2＝，又f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.‎ ‎【答案】3‎ ‎22．若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．‎ ‎【解析】∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.‎ 又P(－2,6＋c)，∴＝－5，∴c＝4.‎ ‎【答案】4‎ ‎23．已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，所以f()的值为________．‎ ‎【解析】因为f′(x)＝－f′()sinx＋cosx，所以f′()＝－f′()sin＋cos，所以f′()＝－1，故f()＝f′()cos＋sin ‎＝1.‎ ‎【答案】1‎ ‎24．若对于曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2cosx的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【解析】易知函数f(x)＝－ex－x的导数为f′ (x)＝－ex－1，设l1与曲线f(x)＝－ex－x的切点为(x1，f(x1))，‎ ‎【答案】[－1,2]‎ ‎25．已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；‎ ‎(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．‎ 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．‎ ‎∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.‎ ‎∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.‎ ‎∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.‎ ‎(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，‎ ‎∴切线的斜率为k＝4.‎ 设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4. ‎ ‎∴x0＝±1.‎ ‎∴或 ‎∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．‎ 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.‎ 即y＝4x－18或y＝4x－14.‎ ‎26．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．‎ 解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x－‎6a，f′(－1)＝0.‎ 即‎3a－6－‎6a＝0，‎ ‎∴a＝－2.‎ ‎27.求下列函数的导数.‎ ‎ (1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；‎ ‎(3)y＝sin；(4)y＝ln(2x－5).‎ ‎28.已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0).若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线.‎ 解　根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－.‎ 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，‎ 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，‎ 所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.‎ 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1).‎ 所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.‎ 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，‎ 所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，‎ 所以，两条切线不是同一条直线.‎ ‎29.已知函数f(x)＝ex－x2＋2ax.‎ ‎(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)∵f′(x)＝ex－2x＋2，∴f′(1)＝e，‎ 又f(1)＝e＋1，‎ ‎∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，‎ 即ex－y＋1＝0.‎ ‎(2)f′(x)＝ex－2x＋2a，‎ ‎ ‎