北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年高一年级下学期阶段检测试数学试题

北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年高一年级下学期阶段检测试数学试题

人大附中高一年级第二学期线上学习阶段 数学检测 一、单选题（每题6分共60分）‎ ‎1.下列角位于第三象限的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据第三象限角度的范围，结合选项，进行分析选择.‎ ‎【详解】第三象限的角度范围是.‎ 对A：，是第二象限角，故不满足题意；‎ 对B：是第二象限的角度，故不满足题意；‎ 对C：是第二象限的角度，故不满足题意；‎ 对D：，是第三象限的角度，满足题意.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查角度范围的判断，属基础题.‎ ‎2.若，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三个三角函数值的范围或者利用三角函数线即可比较．‎ ‎【详解】根据三角函数图象可知，当时，，，‎ ‎，所以．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用三角函数线或者三角函数图象比较三角函数值的大小．‎ ‎3.已知扇形的圆心角，弧长为，则该扇形的面积为（ ）‎ A. B. C. 6 D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先由弧长计算出半径，再计算面积．‎ ‎【详解】设扇形半径为，则，，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查扇形面积公式，考查扇形弧长公式，掌握扇形的弧长和面积公式是解题基础．‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用诱导公式得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式化简求值，属于简单题.‎ ‎5.函数（且）的图像是下列图像中的（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.‎ ‎【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.‎ ‎6.函数（）的最小正周期为，则满足（ ）‎ A. 在上单调递增 B. 图象关于直线对称 C. D. 当时有最小值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由函数（）的最小正周期为得，则 ‎，‎ 当时，，显然此时不单调递增，A错误；‎ 当时，，B错误；‎ ‎，C错误；故选择D.‎ ‎7.已知向量，，若，则（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用向量垂直公式得到答案 ‎【详解】向量，，，则，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8.为了得到函数的图象，只需把上所有的点（ ）‎ A. 先把横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位 B. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移个单位 C. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左移个单位 D. 先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把上所有的点横坐标缩短到原来的倍可得到函数的图象，再把的图象向左平移个单位得到函数.‎ ‎【详解】把上所有的点横坐标缩短到原来的倍可得到函数的图象，再把的图象向左平移个单位得到函数，故答案为A ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9.若则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴．选B．‎ ‎10.１７世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，由正弦定理可知：，即可求得值，根据诱导公式化简，即可求得答案.‎ ‎【详解】在，由正弦定理可知：‎ ‎，‎ ‎，‎ 又 ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ 二、解答题（共三大题共40分，需要写答题步骤）‎ ‎11.已知，为锐角，，．‎ Ⅰ求的值；‎ Ⅱ的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据同角三角函数关系，求得，再利用二倍角公式求得结果；（Ⅱ）根据同角三角函数求得和；再利用两角和差公式求解出，从而得到 ‎，利用两角和差正切公式求得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）已知，为锐角，，所以：‎ 则：‎ ‎（Ⅱ）由于，为锐角，则 又 ‎ 由（Ⅰ）知：‎ 所以：‎ 则：‎ 故：‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数、二倍角公式、两角和差公式的应用，关键在于能够熟练的掌握公式构成，属于基础题.‎ ‎12.设函数．‎ ‎（1）求函数的周期和单调递增区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值及对应的自变量取值．‎ ‎【答案】（1），单调增区间为，；（2）时，函数有最大值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简得到，再计算周期和单调增区间得到答案.‎ ‎（2），则，得到最值.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，故.‎ 取，，解得,,‎ 即单调增区间为，.‎ ‎（2），，‎ 故当，即时，函数有最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的周期，单调区间，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎13.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎【答案】(1);‎ ‎(2),证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ ‎）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（Ⅱ）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“”的规律．然后利用和第（Ⅰ）问类似的思路进行证明．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）=．‎ 左边 考点：1．数学归纳法；2．归纳推理．‎ ‎【方法点睛】归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．‎ 三、填空题（每题7分共35分）‎ ‎14.设函数，若对于任意，都有成立，则实数m的最小值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，计算函数最大值得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 当时，函数有最大值为，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，计算函数最值是解题的关键.‎ ‎15.已知向量a，b的夹角为，，且对于任意的，都有，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 平方化简整理得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】，则，化简整理得到：.‎ 易知，恒成立，即，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎16.已知函数满足，，且在区间上单调，则的值有_________个.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，结合正弦函数图像的特征可知（），‎ 由正弦函数最小正周期公式可得，因为在区间上单调可得范围，从而求出的整数解的个数，得到值的个数．‎ ‎【详解】由题意知函数的周期，由，，结合正弦函数图像的特征可知，，‎ 故，，；又因为在区间上单调，‎ 所以，故，所以，即，‎ ‎∴，，∴符合条件的的值有9个.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数图像的特点，最小正周期的公式，熟练掌握正弦函数图像是解题关键，属于中档题．‎ ‎17.如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为上任意一点，则的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意设 则 的取值范围是 点睛：求解向量题目有两种方法：（1）用基底表示未知向量，然后计算（2）建立平面直角坐标系，运用坐标计算．本题有角度范围需要注意．还可以建立平面直角坐标系，转化为扇形上的点与两定点的向量数量积问题．‎ ‎18.对于函数现有下列结论：‎ ‎①任取，都有；‎ ‎②函数在上先增后减 ‎③函数有3个零点：‎ ‎④若关于x的方程有且只有两个不同的实根，，则 其中正确结论的序号为_______________（写出所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得当时，函数的最大值为，最小值为，①正确，当，函数先增后减，②错误，画出函数图象知③正确，根据对称性知④正确，得到答案.‎ ‎【详解】函数 当时，函数的最大值为，最小值为，所以任取，都有恒成立，①正确；‎ 当，，故，‎ 函数先增后减，②正确；‎ 取，即，‎ 同②，计算得到，画出函数图象，如图所示：‎ 根据图象知，函数有3个零点，故③正确；‎ 有且只有两个不同的实根，根据图象知，根据对称性知，故④正确；‎ 故答案为：①②③④.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性，零点，对称性，意在考查学生的对于函数性质的综合应用能力，画出图像是解题的关键，属于难度题.‎ 四、解答题 ‎19.如图 所示，一条直角走廊宽为，‎ ‎（1）若位于水平地面上的一根铁棒在此直角走廊内，且，试求铁棒的长；‎ ‎（2）若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，求此铁棒的最大长度；‎ ‎（3）现有一辆转动灵活的平板车，其平板面是矩形，它的宽为如图2.平板车若想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米？‎ ‎【答案】（1），，，.‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在图1中，过点作，的垂线，垂直分别为，，则，，在，中，分别求解，再相加，即可.‎ ‎（2）由（1）可知，，令，则，判断单调性，再求最小值，即可.‎ ‎（3）延长分别交，于，，设，则.由（1）可知，在，中分别计算，，则，即 ‎，令，则，判断单调性，再求最小值，即可 ‎【详解】（1）在图1中，过点作，的垂线，垂直分别为，，则，.‎ 在中 在中 则 即，，，.‎ ‎（2）由（1）可知，.‎ 令，则 即 当时，单调递增，单调递减.‎ 则即时 若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，则需此铁棒的最大长度为 ‎（3）延长分别交，于，，设，则.‎ 由（1）可知，‎ 在中，‎ 在中，‎ 则 令，则 即，，.‎ 当时单调递减.‎ 则即时.‎ 平板车若想顺利通过直角走廊，其长度不能超过 ‎【点睛】本题考查三角函数的实际应用，以及判断函数的单调性求最值.属于难题.‎ ‎ ‎