数学（文）卷·2017届辽宁省东北育才学校高三第八次模拟（2017

数学（文）卷·2017届辽宁省东北育才学校高三第八次模拟（2017

‎2017届高三第八次模拟考试数学（文科）试卷 答题时间：120分钟 满分150分 ‎ 命题人：杨冠男 校对人：王成栋 ‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，集合，则 A. B. C. D.‎ ‎2.已知是虚数单位，复数对应于复平面内一点，则 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知等比数列中，公比，，则 A. B. C. D. ‎ ‎4.设实数，满足约束条件，则目标函数的取值范围为A. B. C. D.‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.已知函数（，）的零点构成一个公差为的等差数列，，则的一个单调递增区间是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.运行如图所示的程序框图，输出的和的值分别为 A.， B.， ‎ C.， D.，‎ ‎8.平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点、的坐标分别为 ‎、. 若动点满足，其中、，‎ 且，则点的轨迹方程为 ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎9.已知函数（），若函数 有三个零点，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 对四组不同数据进行统计，分别获得以下散点图，如果对它们的相关系数进行比较，下列结论中正确的是（　　） ‎ A. r2＜r4＜0＜r3＜r1 B. r4＜r2＜0＜r1＜r3 C. r4＜r2＜0＜r3＜r1 D. r2＜r4＜0＜r1＜r3‎ ‎ ‎ ‎11. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于，则此双曲线的方程为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎12. 已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（　　）‎ A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，+∞）‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. sin15°+cos15°=　　. ‎ ‎14. 已知y=f（x+1）+2是定义域为R的奇函数，则f（0）+f（2）=　　．‎ ‎15. 已知等比数列{an}满足a1=2，a1+a3+a5=14，则=　　．‎ ‎16.已知四面体的顶点都在同一个球的球面上，，，且 ‎，，. 若该三棱锥的体积为，则该球的表面积为 . ‎ 三、解答题：‎ ‎17.（本小题满分12分）如图，在中，角，，的对边分别为，，，．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名 观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：‎ 场数 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 人数 ‎10‎ ‎18‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎5‎ 将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性． （Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？‎ 非歌迷 歌迷 合计 男 女 合计 ‎（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎ ‎ 参考公式与数据：，其中 ‎ ‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，是圆的直径，点在圆上，矩形所在的平面垂直于圆所在的平面，． （1）证明：平面⊥平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离． ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：过点，为椭圆的半焦距，且，过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于另两点，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为，求的面积；‎ ‎（3）若线段的中点在轴上，求直线的方程．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若1是其中一个零点，求的取值范围；‎ ‎（3）若，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知（是常数，）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）如果函数恰有两点不同的零点，求的取值范围 ．‎ ‎2017届高三第八次模拟考试数学（文科）试卷 答题时间：120分钟 满分150分 ‎ 命题人：杨冠男 校对人：王成栋 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，集合，则B A. B. C. D.‎ ‎2.在复平面内，点对应的复数是（是虚数单位），则A A. B. C. D. ‎ ‎3.已知等比数列中，公比，，则D A. B. C. D. ‎ ‎4.设，满足约束条件，则的取值范围为C A. B. C. D.‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.已知函数（，）的零点构成一个公差为的等差数列，，则的一个单调递增区间是C ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.运行如图所示的程序框图，输出的和的值分别为C A.， B.， ‎ C.， D.，‎ ‎8.平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点、的坐标分别为 ‎、. 若动点满足，其中、，‎ 且，则点的轨迹方程为C ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎9.已知函数（），若函数 有三个零点，则实数的取值范围是D ‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 对四组不同数据进行统计，分别获得以下散点图，如果对它们的相关系数进行比较，下列结论中正确的是（　　） 【答案】A A. r2＜r4＜0＜r3＜r1 B. r4＜r2＜0＜r1＜r3 C. r4＜r2＜0＜r3＜r1 D. r2＜r4＜0＜r1＜r3‎ ‎ 11. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们的离心率 的乘积等于，则此双曲线的方程为B A. B. ‎ C. D.‎ ‎12. 已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（　　）C A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，+∞）‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. sin15°+cos15°=　　. ‎ ‎14. 已知y=f（x+1）+2是定义域为R的奇函数，则f（0）+f（2）=　　．‎ ‎﹣4‎ ‎15. 已知等比数列{an}满足a1=2，a1+a3+a5=14，则++=　　．‎ ‎16.已知四面体的顶点都在同一个球的球面上，，，且 ‎，，. 若该三棱锥的体积为，则该球的表面积为 . ‎ 三、解答题：‎ ‎17.（本小题满分12分）如图，在中，角，，的对边分别为，，，．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）在中，．‎ 有，，‎ ‎∴，，则，‎ 即；，则．‎ ‎（2）在中，，，‎ ‎∴．‎ 又，则为等腰直角三角形，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 当时，四边形的面积有最大值，最大值为 ‎19、为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名 观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：‎ 场数 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 人数 ‎10‎ ‎18‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎5‎ 将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性． （Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？‎ 非歌迷 歌迷 合计 男 女 合计 ‎（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎ 【答案】解：（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：‎ 非歌迷 歌迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎…（3分） 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得： K2==≈3.030 因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关． （Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1 ， a2），（a1 ， a3），（a2 ， a3），（a1 ， b1），（a1 ， b2），（a2 ， b1），（a2 ， b2），（a3 ， b1），（a3 ， b2），（b1 ， b2）}其中ai表示男性，i=1，2，3，bi表示女性，i=1，2． Ω由10个等可能的基本事件组成． 用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1 ， b1），（a1 ， b2），（a2 ， b1），（a2 ， b2），（a3 ， b1），（a3 ， b2），（b1 ， b2） }，事件A由7个基本事件组成． ∴P（A）=  19、如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=1． （1）证明：平面ADE⊥平面ACD； （2）当三棱锥C﹣ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离． ‎ ‎【答案】（1）∵AB是直径，∴BC⊥AC 又四边形DCBE为矩形，CD⊥DE，BC∥DE，∴CD⊥BC． ∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD， ∴DE⊥平面ACD                       又DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD             （2）解：由（1）知VC﹣ADE=VE﹣ACD== ==， 当且仅当AC=BC=2时等号成立                    ∴当AC=BC=2三棱锥C﹣ADE体积最大为：      此时，AD==3，=3， 设点C到平面ADE的距离为h，则 ∴h=  20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：过点，为椭圆的半焦距，且，过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于另两点，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为，求的面积；‎ ‎（3）若线段的中点在轴上，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）或．‎ ‎【解析】（1）因为椭圆：，过点，‎ 为椭圆的半焦距，且，‎ 所以，且，‎ 所以，解得，，‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（2）设方程为，‎ 由整理得，‎ 因为，解得，‎ 当时，用代替，得，‎ 将代入，得，．‎ 因为，所以，，‎ 所以的面积为．‎ ‎（3）设，，则 两式相减得，‎ 因为线段的中点在轴上，‎ 所以，从而可得，‎ 若，则，‎ ‎∵，所以，得．‎ 又因为，所以解得 ，‎ 所以，或， ，‎ 所以直线方程为．‎ 若，则，‎ 因为，所以，得，‎ 又因为，所以解得或，‎ 经检验：满足条件，不满足条件．‎ 综上，直线的方程为或．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若1是其中一个零点，求的取值范围；‎ ‎（3）若，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由.‎ ‎⑶=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g (x)的切线的切点坐标为 ‎∴，即 ‎ ‎∴，令h(x)=，∴==0，∴‎ ‎∴h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增 又，h(2)=ln2-1<0，‎ ‎∴h(x)与x轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为圆的极坐标方程为，‎ 所以，‎ 所以圆的普通方程．‎ ‎（2）由圆的方程，可得，‎ 所以圆的圆心是，半径是2，‎ 将代入得，‎ 又直线过，圆的半径是2，所以，‎ 即的取值范围是．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知（是常数，）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）如果函数恰有两点不同的零点，求的取值范围 ．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 则原不等式等价于或，‎ 解得或，‎ 则原不等式的解集为；‎ ‎（2）由，得，‎ 令，做出它们的图象，‎ 可以知道，当时，这两个不同的图像有两个不同的交点，‎ 所以函数恰有两个不同的零点时，的取值范围是．‎