2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期第一次月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期第一次月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 江西省南昌市第二中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程，可知斜率，由倾斜角与斜率的关系及倾斜角的取值范围即可求得倾斜角。‎ ‎【详解】‎ 由直线方程可知,设倾斜角为α,则 ‎ ，因为 ‎ 所以倾斜角 ‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程斜率与倾斜角的关系，属于基础题。‎ ‎2．已知椭圆的长轴端点为， ，短轴端点为， ，焦距为，若为等边三角形，则椭圆的方程为（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵为等边三角形，‎ ‎∴，又， ，‎ 解得， ， ，‎ 则椭圆的方程为，‎ 即，‎ 本题选择B选项.‎ ‎3．如果两条直线：与：平行，那么等于( )‎ A． 2或-1 B． 2 C． -1 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先讨论斜率不存在时两条直线不可能平行；然后利用平行直线斜率相等，可求得，根据两条直线平行时不能重合，舍去不符合要求的答案即可。‎ ‎【详解】‎ 当直线斜率不存在时,a=1,此时直线斜率为 两条直线不平行 所以直线斜率为 ,直线斜率为 ,两条直线平行,所以 ‎,解方程得 或 ‎ 当时,两条直线重合,所以舍去 所以 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了直线平行时斜率的关系，注意讨论斜率是否存在，以及两条直线重合的情况，易错，属于基础题。‎ ‎4．已知椭圆C： (a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，‎ 又由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离，‎ 整理得a2＝3b2，‎ ‎∴C的离心率．选A．‎ ‎5．若，满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，满足约束条件，画出可行域，求可行域内与点（-1,0）连线的斜率取值范围即可。‎ ‎【详解】‎ 根据线性约束条件,画出可行域如下图所示 由题意可知,的取值范围即为可行域内与点连线斜率的取值范围 根据直线交点的求法,求得 ‎ , ‎ 所以与定点连线斜率分别为 ,‎ 所以的取值范围是 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划的简单应用，分式型取值范围的求法，属于中档题。‎ ‎6．已知圆关于直线对称，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆关于直线对称，可知直线必经过圆心，因而求得a与b的等量关系；代入所求结果，化简为二次函数形式，通过配方即可求得ab的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 因为圆关于直线对称 所以直线经过圆心 ,所以 即 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，利用二次函数求值域，属于基础题。‎ ‎7．设是椭圆的长轴，若把线段100等分，过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于、、… 、 ，为椭圆的左焦点，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，找到,，…….的等量关系，进而求得…….。由各点关于y轴对称及线段长度相等，即可求得最后结果。‎ ‎【详解】‎ 设为椭圆的右焦点，根据椭圆定义可知,，…….‎ 所以…….‎ 因为P1、P2、…P99关于y轴对称分布 所以,，…….‎ 所以 ‎ 而=2a 所以 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义及对称性，涉及线段关系较为复杂，需逐步化简分析，属于中档题。‎ ‎8．下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、‎ 是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论.‎ ‎【详解】‎ 由图①知，，‎ 由图②知，点在椭圆上， ‎ ‎，则，‎ 整理得，解得，‎ 由图③知，在椭圆上，‎ ‎，则，‎ 整理得，，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．‎ ‎9．一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射与圆相切，则反射光线所在的直线的斜率为（　　）‎ A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因点关于轴对称的点的坐标为，故当反射光线的斜率存在时，其方程为，即，由题设圆心到该直线的距离，解之得或，应选答案D。‎ 点睛：解答本题的思路是先求出已知点关于轴对称的点的坐标为，再运用过该对称点的直线与已知圆的位置关系建立关于斜率的方程，通过解方程使得问题获解。‎ ‎10．已知椭圆，点是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆几何性质得短轴端点（设为M）对长轴张角最大，即得,再根据,解得离心率的最小值.‎ ‎【详解】‎ 设M为椭圆短轴一端点，则由题意得,即,‎ 因为，所以，‎ ‎,‎ 选C.‎ ‎【点睛】‎ 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎11．已知点是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的内心到三边的距离相等，利用三角形的面积公式，将条件化简，结合椭圆的定义，即可求得λ的值。‎ ‎【详解】‎ 设△PF1F2的内切圆的半径为r，‎ 因为M为△PF1F2的内心，S△MPF1=λS△MF1F2-S△MPF2，‎ 所以 ‎ 所以，即 因为P为椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点 所以 所以 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义及焦点三角形面积问题，内心的定义和应用，属于中档题。‎ ‎12．已知椭圆：的右焦点为,且离心率为，三角形 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0.为坐标原点，若直线、、的斜率之和为1.则（ ）‎ A． B． -3 C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得椭圆的方程，利用“点差法”求得直线AB的斜率，同理即可求得的值。‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆：的右焦点为,且离心率为，且 ‎ 所以可求得椭圆的标准方程为 设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），‎ 因为A、B在椭圆上，所以 ，两式相减得 ‎ ，即 同理可得 所以 因为直线、、的斜率之和为1‎ 所以 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程，直线的斜率公式，点差法在涉及中点问题中的综合运用，计算量较大，属于难题。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．圆：与圆：有_____条公切线．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两个圆化为标准方程，根据两点间距离公式求得圆心距，与两个半径的和比较即可得解。‎ ‎【详解】‎ 圆C1：x2+y2+4x−4y+7＝0，化为（x+2）2+（y-2）2=1，圆心坐标（-2，2），半径为：1‎ 圆C2：x2+y2−4x−10y+13＝0化为（x-2）2+（y-5）2=16．圆心坐标（2，5），半径为：4．‎ 两个圆的圆心距为 ‎ 等于两个半径的和 所以两个圆外切 所以两个圆的公切线数量为3条 ‎【点睛】‎ 本题考查两个圆的位置关系，及根据两圆的位置关系判断公切线的条数，考查计算能力，解题的关键是理解圆的位置关系与切线条数的对应关系，属于中档题。‎ ‎14．已知圆和点,是圆上一点，线段的垂直平分线交 于点，则点的轨迹方程是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线段中垂线的性质可得，又，则有，根据椭圆的定义判断出轨迹椭圆，求出，再求出的值，即可求得答案 ‎【详解】‎ 由圆的方程可得圆心，半径为10‎ 设点的坐标为，‎ 线段的垂直平分线交于点，‎ ‎，‎ 又 根据椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，且 故椭圆的方程为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，得出是解题的关键点，属于中档题。‎ ‎15．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若、是一个直角三角形的三个顶点，则点到x轴的距离为　　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一种情况，两焦点连线段为直角边，则P点横坐标为±，P的方程X= ，代人，解得X= ，Y=±；‎ 第二种情况，两焦点连线段为斜边，则P点为椭圆与圆的交点(以两焦点连线段为直径的圆)，联立方程组无解。故点到x轴的距离为。‎ 考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质。‎ 点评：基本题型，认识圆锥曲线中的焦点三角形的特征，为直角三角形的多种可能情况。‎ ‎16．已知椭圆：的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线与椭圆交于、两点，且线段的中点为，则直线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据离心率及四边形面积公式，结合椭圆中a、b、c的关系，即可求得椭圆的标准方程；然后利用点差法即可求得直线斜率，再由点斜率求得直线方程即可。‎ ‎【详解】‎ 椭圆：的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12‎ 四个顶点构成的面积为 ‎ 所以 ，解方程组得 所以椭圆的标准方程为 因为直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（-2，1），‎ 所以设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-4，y1+y2=2，‎ 将A、B坐标代入椭圆方程得，两式相减得 则直线 的方程为 ，即 ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆标准方程的求法，点差法在涉及中点问题中的应用，属于中档题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）求过点且与两坐标轴截距相等的直线的方程；‎ ‎（2）已知正方形的中心为直线和直线的交点，且边所在直线方程为，求边所在直线的方程.‎ ‎【答案】(1) 或 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据截距相等，讨论截距是否为0，分别设出直线方程，即可得解。‎ ‎（2）先求得正方形中心的坐标，利用对边平行可设出直线CD的方程，再利用点到直线距离公式即可求得CD的直线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当截距为0时，设直线方程为 ，代入点可得 ‎ ‎ 所以直线方程为，即 当截距不为0时，设直线方程为 代入点可得 ‎ ‎ 所以直线方程为，即 综上所述，直线的方程为或 ‎（2）由，得 即中心坐标为 ‎∵正方形边所在直线方程为 ‎∴可设正方形边所在直线方程为 ‎∵正方形中心到各边距离相等，‎ ‎∴∴或（舍）‎ ‎∴边所在直线方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程的求法，注意讨论截距是否相等，截距式的用法，点到直线距离公式的应用，属于基础题。‎ ‎18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）经过点，两点；‎ ‎（2）在轴上的一个焦点与短轴上两顶点的连线互相垂直，且过点.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出椭圆的方程，将两个点带入即可求得椭圆的方程。‎ ‎（2）根据在轴上的一个焦点与短轴上两顶点的连线互相垂直，可得a、b的关系，设出标准方程，再代入点坐标，联立方程求得a、b即可得到椭圆的方程。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆的标准方程为 代入点，‎ 可得 ，解方程组得 所以椭圆的方程为 ‎（2）由特征三角形可知，短轴上的顶点到焦点距离为a 因为在轴上的一个焦点与短轴上两顶点的连线互相垂直 则 ，所以 ‎ 因为焦点在x轴上，所以可设椭圆的标准方程为 代入点及 可求得，所以 所以椭圆的标准方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆方程的求法，属于基础题。‎ ‎19．红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长2997米，在南昌大桥和新八一大桥之间，也是国内最大的水下立交系统.已知隧道截面是一圆拱形（圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状），路面宽度米，高4米.车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5米，高为3.5米的货车能否驶入这个隧道？请说明理由.‎ ‎（参考数据：）‎ ‎【答案】不能驶入 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，建立平面直角坐标系，利用对称关系求得圆的标准方程，根据题意求得在边界行使时对应的高度，比较实际高度即可判断。‎ ‎【详解】‎ 如图，建立平面直角坐标系，设圆心，，，‎ 由得，，则圆方程为，‎ 所以当时，，‎ 即一辆宽为2.5米，高为3.5米的货车不能驶入这个隧道。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的方程在实际问题中的应用，属于基础题。‎ ‎20．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为.‎ ‎（1）求证：直线恒过定点；‎ ‎（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；‎ ‎（3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2).‎ ‎(3).‎ ‎【解析】分析：（1）直线l可理解为过定点的直线系，求出直线恒过的定点；‎ ‎（2）说明直线l被圆C截得的弦长最短时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可得到直线的方程；．‎ ‎（3）问题可转化为以为圆心， 为半径画圆，当圆与圆相交时满足题意.‎ 详解：（1），‎ 由 得 ，‎ 即直线过定点M.‎ ‎（）方法一：由题意可知：圆心C：，‎ ‎ ，‎ 又当所截弦长最短时， ，‎ ‎.‎ 方法二：∵圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ 设弦长为，则，‎ 当所截弦长最短时， 取最大值，‎ ‎∴，令，‎ ‎．‎ 令 ‎，‎ 当时， 取到最小值．‎ 此时， 取最大值，弦长取最小值，‎ 直线上方程为．‎ ‎（）设，‎ 当以为圆心， 为半径画圆，当圆与圆刚好相外切时，‎ ‎，‎ 解得或，‎ 由题意，圆与圆心有两个交点时符合题意，‎ ‎∴点横坐标的取值范围为．‎ 点睛：本题主要考查待定直线过定点问题. 属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为 的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.‎ ‎21．已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知定点，直线与椭圆相交与，两点，若（为坐标原点），求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据焦点及点在椭圆上，利用两点间距离公式及椭圆定义可得a，结合，即可求得椭圆的标准方程。‎ ‎（2）根据，可得。设，，所以根据两点斜率公式可得，并化简为。联立直线与椭圆方程，消去y，利用韦达定理代入上式，即可得到关于k的一元二次方程，解方程即可求得k的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得椭圆两焦点分别为，，‎ 又因为在椭圆上，‎ 所以，‎ 即，又因为，所以，‎ 所以椭圆的方程是；‎ ‎（2）若，则.‎ 设，，‎ ‎∴即.‎ 联立，消去得到，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系及应用，属于中档题。‎ ‎22．如图,已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点为,点分别是该椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点，记直线, 的斜率分别为 ‎（1）当直线过点时，求的值；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用椭圆的标准方程得到基本量，写出点的坐标，写出直线的方程为，即 ‎，求出P,联立直线与椭圆求出M,计算向量的数量积；（2）设，且，则直线的斜率为 联立直线与椭圆的方程，求出M的坐标，从而，然后利用均值不等式即可求出.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由椭圆的长轴长是短轴长的倍得 由题意,焦点,当直线过点时，则直线的方程为，即，令得，则 联立，解得，或（舍），即 因为 所以 ‎（2）设，且，则直线的斜率为 则直线的方程为 联立，化简得，解得，‎ 所以，‎ 则 所以的最小值为 点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．含有向量的问题时，多注意利用设点坐标，进行向量的坐标运算比较简单；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．‎