2017-2018学年江西省崇仁县第二中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 Word版

2017-2018学年江西省崇仁县第二中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 Word版

崇仁二中2017-2018学年高二下学期第一次月考 文科数学试卷 命题人： 审题人：‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数满足（为虚数单位），则（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎3.余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（ ）‎ A．结论不正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 ‎4.甲、乙两人在相同条件下进行射击，甲射中目标的概率为,乙射中目标的概率为，两人各射击1次，那么甲、乙至少有一个射中目标的概率为( )‎ A． B． C． D. ‎ ‎5. 若复数为纯虚数（为虚数单位），则的值为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 3 D．4‎ ‎6.①已知，求证，用反正法证明时，可假设；②设为实数，，求证与中至少有一个小于，用反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是（ ）‎ A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 ‎ C. ①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确 ‎7．在数列中，，，则的值为（ ）‎ A． B．5 C． D．‎ ‎8.已知抛物线 的准线经过点，过抛物线的焦点且与轴垂直的直线交该抛物线于、两点，则（ ）‎ A. 4 B. C. 2 D. 1‎ ‎9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点（单位：升）则输入的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．将的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，‎ 然后再将所得图象向左平移个单位长度，则最后所得图象的解析式为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎11. 在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎12．过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于(　 )‎ A. B． C． D．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是 ．‎ ‎14．求曲线在点处的切线方程是___________________． ‎ ‎15.若点在曲线（为参数，）上，则的最大值是 ．‎ 16. ‎《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，‎ 额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有 ‎“穿墙术”，则 ．‎ 三、解答题: （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知复数，（，为虚数单位）.‎ ‎（1）若是纯虚数，求实数的值；‎ ‎（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）证明下列不等式：‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）设，，若，求证：.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：‎ 喜欢节目 不喜欢节目 总计 男性观众 女性观众 总计 ‎60‎ ‎（1）根据该等高条形图，完成右侧列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关？‎ （2） 从男性观众中按喜欢节目与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率．‎ 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎．　‎ ‎20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），‎ 以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点的极坐标为，求的面积.‎ 21. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且=-1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎22.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 一．选择题：CBCDAD BABDAC 二．填空题： 13. 14. 15. 16. 99‎ 三．解答题：‎ ‎17.解：（1）依据...............2分 根据题意是纯虚数，..............4分 ‎；..............5分 ‎（2）根据题意在复平面上对应的点在第四象限，可得 所以，实数的取值范围为..............10分 ‎18.解：（1）要证即证..............1分 只要证，..............2分 只要证，..............3分 只要证，由于，只要证，..............4分 最后一个不等式显然成立，所以...............6分 ‎（2）方法1.因为，，，所以..............8分 ‎..............10分 当且仅当，即时，等号成立，所以..............12分 方法2 因为，，所以，又因为，所以，‎ 又因为，，所以，即.（当且仅当时，等号成立）.‎ ‎19.解：（1）由题意得列联表如表：‎ 喜欢节目 不喜欢节目 总计 男性观众 ‎24‎ ‎6‎ ‎30‎ 女性观众 ‎15‎ ‎15‎ ‎30‎ 总计 ‎39‎ ‎21‎ ‎60‎ ‎..............2分 假设：喜欢娱乐节目与观众性别无关，‎ 则的观测值，..............5分 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关．..........6分 ‎(2)利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目的人数为，‎ 不喜欢节目的人数为．..............8分 被抽取的喜欢娱乐节目的4名分别记为，，，；不喜欢节目的1名记为．‎ 则从5名中任选2人的所有可能的结果为：，，，，，，，，，共有10种，..............10分 其中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的有，，，共4种,‎ ‎............11分 所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的观众的概率是．..12分 ‎20.解：（1）直线的参数方程为 ，①+②得，‎ 故的普通方程为.............2分 又曲线的极坐标方程为，即9，‎ ‎ . ，即，............5分 （2） 点的极坐标为，的直角坐标为（-1，1）.............6分 点到直线的距离.............7分 将，代入中得.............8分 设交点、对应的参数值分别为，则，.............9分 ‎............10分 的面积.............12分 另解：点的极坐标为，的直角坐标为（-1，1）.............6分 点到直线的距离.............7分，设，由得 ‎，∴，，............9分 则，............10分 ‎∴............12分 ‎21.解：（ 1）由已知，点的坐标分别为，.又点的坐标为，且=-1，‎ 于是，，，解得，.............3分 所以椭圆方程为.............4分 （2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，的坐标分别为，.联立，得.其判别式，‎ 所以，.............7分 ‎.............9分 所以，当时，.此时，=-3为定值.............10分 当直线斜率不存在时，直线即为直线，此时=，............11分 故存在常数，使得为定值.............12分 ‎22.解：（1）.............1分 当时，，的递减区间为；............2分 当时，由得，列表得：‎ 所以，函数的递减区间为，递增区间为；............4分 综上可知，当时，的递减区间为；‎ 当时，函数的递减区间为，递增区间为；...........5分 （2） 当时，函数是内的减函数，因为，‎ 而，不符合题意；............7分 当时，由（1）知的最小值为.............8分 若即时，，所以符合题意；............9分 若即时，，所以符合题意；............10分 若即时，，而，函数在内递增，‎ 所以当时，，又因为的定义域为，所以，‎ 符合题意.............11分 综上，实数的取值范围为.............12分