数学卷·2017届山东省聊城市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

数学卷·2017届山东省聊城市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

‎2017年山东省聊城市高考数学一模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知复数z满足（1+i）z=1+3i（i是虚数单位），则z的共轭复数为（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．2﹣i D．2+i ‎2．已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=2n﹣1．n∈Z}，则A∩B=（　　）‎ A．{1，3} B．{0，2} C．{1} D．{﹣1，1，3}‎ ‎3．已知向量=（﹣1，2），=（2，m），=（7，1），若∥，则•=（　　）‎ A．8 B．10 C．15 D．18‎ ‎4．已知两条直线m，n和两个不同平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，则（　　）‎ A．m∥n B．m⊥n C．m∥l D．n⊥l ‎5．“a+b=1”是“直线x+y+1=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．已知一个样本为x，1，y，5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出S=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．16π﹣ B．16π﹣ C．8π﹣ D．8π﹣‎ ‎9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=a，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知数列{an}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{an}的前n项和为Sn，S15的最大值为M，最小值为m，则M+m=（　　）‎ A．500 B．600 C．700 D．800‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈时，f（x）=log2（x+1），则f（1﹣）=　　．‎ ‎12．在区间上任取一个数a，则曲线y=x2+x在点x=a处的切线的倾斜角为锐角的概率为　　．‎ ‎13．已知函数f（x）=2sin（2x+），若将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式是　　．‎ ‎14．由曲线y=xa（a为常数，且a＞0），直线y=0和x=1围成的平面图形的面积记为xadx，已知dx=， =， dx=， x2dx=， dx=， x3dx=，…，照此规律，当a∈（0，+∞）时， xndx=　　．‎ ‎15．对于函数f（x），方程f（x）=x的解称为f（x）的不动点，方程f=x的解称为f（x）的稳定点．‎ ‎①设函数f（x）的不动点的集合为M，稳定点的集合为N，则M⊆N；‎ ‎②函数f（x）的稳定点可能有无数个；‎ ‎③当f（x）在定义域上单调递增时，若x0是f（x）的稳定点，则x0是f（x）的不动点；‎ 上述三个命题中，所有真命题的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）‎ ‎16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosC．‎ ‎（Ⅰ）求角C；‎ ‎（Ⅱ）若c=2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎17．为加强对旅游景区的规范化管理，确保旅游业健康持续发展，某市旅游局2016年国庆节期间，在某旅游景点开展了景区服务质量评分问卷调查，调查情况统计如表：‎ 分数分组 游客人数 ‎[0，60）‎ ‎100‎ ‎[60，85）‎ ‎200‎ ‎300‎ 总计 ‎600‎ 该旅游局规定，将游客的评分分为三个等级，评分在上恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年山东省聊城市高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知复数z满足（1+i）z=1+3i（i是虚数单位），则z的共轭复数为（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．2﹣i D．2+i ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：（1+i）z=1+3i（i是虚数单位），‎ ‎∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1+3i），化为2z=4+2i，∴z=2+i．　　‎ 则z的共轭复数为2﹣i．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=2n﹣1．n∈Z}，则A∩B=（　　）‎ A．{1，3} B．{0，2} C．{1} D．{﹣1，1，3}‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．‎ ‎【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=2n﹣1．n∈Z}，‎ ‎∴A∩B={﹣1，1，3}，‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．已知向量=（﹣1，2），=（2，m），=（7，1），若∥，则•=（　　）‎ A．8 B．10 C．15 D．18‎ ‎【考点】9R：平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出．‎ ‎【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（2，m），∥，‎ ‎∴﹣m﹣2×2=0，‎ 解得m=﹣4，‎ ‎∴=（2，﹣4），‎ ‎∵=（7，1），‎ ‎∴•=2×7﹣4×1=10，‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．已知两条直线m，n和两个不同平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，则（　　）‎ A．m∥n B．m⊥n C．m∥l D．n⊥l ‎【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】利用直线与平面平行于垂直的关系，平面与平面垂直的关系判断选项即可．‎ ‎【解答】解：两条直线m，n和两个不同平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，则m，n的位置关系是，平行，相交或异面，直线n与l的位置关系是垂直，如图：‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．“a+b=1”是“直线x+y+1=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由直线x+y+1=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切可得，从而可得a，b之间的关系，即可作出判断 ‎【解答】解：直线x+y+1=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切 ‎∴=，‎ ‎∴|a+b+1|=2，‎ ‎∴a+b=1或a+b=﹣3，‎ ‎∴“a+b=1”是“直线x+y+1=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎　‎ ‎6．已知一个样本为x，1，y，5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】BC：极差、方差与标准差；BB：众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】求出x+y=2，求出xy的最小值，根据方差的定义求出其最小值即可．‎ ‎【解答】解：样本x，1，y，5的平均数为2，‎ 故x+y=2，故xy≤1，‎ 故S2= = +（x2+y2）≥+•2xy≥+×2=3，‎ 故方差的最小值是3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出S=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】EF：程序框图．‎ ‎【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i值，利用裂项相消法计算输出S的值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，‎ ‎∵输入n=10，∴跳出循环的i值为12，‎ ‎∴输出S=++…+=++…+=（1﹣）×=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．16π﹣ B．16π﹣ C．8π﹣ D．8π﹣‎ ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．‎ ‎∴该几何体的体积V=﹣‎ ‎=8π﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=a，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】KC：双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】F1F2=2c，由题意以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=a，求出|PF2|=3a进而根据勾股定理求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．‎ ‎【解答】解：设F1F2=2c，由题意以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=a，则|PF2|=3a，‎ ‎∴|F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2，‎ 又根据曲线的定义得：‎ ‎10a2=4c2，‎ e=，‎ ‎∴双曲线的离心率．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知数列{an}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{an}的前n项和为Sn，S15的最大值为M，最小值为m，则M+m=（　　）‎ A．500 B．600 C．700 D．800‎ ‎【考点】8B：数列的应用．‎ ‎【分析】利用已知条件求出公差的最大值以及公差的最小值，即可求解S15的最大值为M，最小值为m推出结果．‎ ‎【解答】解：数列{an}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{an}的前n项和为Sn，S15的最大值为M，最小值为m，‎ 可知公差最大值时，M最大，公差最小时，m最小，‎ 可得a1=1，a2=5，此时公差d=4是最大值，‎ M=S15=1×15+=435，a2=5，a5=8，此时d=1，‎ m=S15=4×15=165．‎ M+m=435+165=600．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈时，f（x）=log2（x+1），则f（1﹣）=　﹣　．‎ ‎【考点】3P：抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】根据已知，先求出f（﹣1）的值，进而根据奇函数的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵当x∈时，f（x）=log2（x+1），‎ ‎∴f（﹣1）=log2=，‎ 又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，‎ ‎∴f（1﹣）=﹣f（﹣1）=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎12．在区间上任取一个数a，则曲线y=x2+x在点x=a处的切线的倾斜角为锐角的概率为　　．‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求得函数的导数，可得曲线在x=a处切线的斜率，由题意可得斜率大于0，解不等式可得a的范围，再由几何概率的公式，求出区间的长度相除即可得到所求．‎ ‎【解答】解：y=x2+x导数为y′=2x+1，‎ 则曲线y=x2+x在点x=a处的切线的斜率为k=2a+1，‎ 倾斜角为锐角，即为2a+1＞0，‎ 解得a＞﹣，‎ 由﹣1≤a≤1，可得﹣＜a≤1，‎ 则切线的倾斜角为锐角的概率为=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎13．已知函数f（x）=2sin（2x+），若将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式是　g（x）=2sin（2x+）　．‎ ‎【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为：‎ g（x）=f（x﹣）=2sin=2sin（2x+）．‎ 故答案为：g（x）=2sin（2x+）．‎ ‎　‎ ‎14．由曲线y=xa（a为常数，且a＞0），直线y=0和x=1围成的平面图形的面积记为xadx，已知dx=， =， dx=， x2dx=， dx=， x3dx=，…，照此规律，当a∈（0，+∞）时， xndx=　　．‎ ‎【考点】F1：归纳推理；67：定积分．‎ ‎【分析】由所给定积分，即可归纳得出结论．‎ ‎【解答】解： dx=， =， dx=， x2dx=， dx=， x3dx=，…，照此规律，当a∈（0，+∞）时， xndx=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．对于函数f（x），方程f（x）=x的解称为f（x）的不动点，方程f=x的解称为f（x）的稳定点．‎ ‎①设函数f（x）的不动点的集合为M，稳定点的集合为N，则M⊆N；‎ ‎②函数f（x）的稳定点可能有无数个；‎ ‎③当f（x）在定义域上单调递增时，若x0是f（x）的稳定点，则x0是f（x）的不动点；‎ 上述三个命题中，所有真命题的序号是　①②③　．‎ ‎【考点】2K：命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】若M=∅，则M⊆N显然成立；若M≠∅，由t∈M，证明t∈N，说明①正确；举例说明②正确；利用反证法说明③正确．‎ ‎【解答】解：①若M=∅，则M⊆N显然成立； ‎ 若M≠∅，设t∈M，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，∴t∈N，‎ 故M⊆N，∴①正确；‎ ‎②取f（x）=x，则方程f（x）=x的解有无数个，即不动点有无数个，‎ ‎∵不动点一定是稳定点，∴函数f（x）的稳定点可能有无数个，故②正确；‎ ‎③设x0是f（x）的稳定点，则f（f（x0））=x0，设f（x0）＞x0，f（x）是R上的增函数，‎ 则f（f（x0））＞f（x0），∴x0＞f（x0），矛盾；‎ 若x0＞f（x0），f（x）是R上的增函数，‎ 则f（x0）＞f（f（x0）），∴f（x0）＞x0矛盾．‎ 故f（x0）=x0，∴x0是函数f（x）的不动点，故③正确．‎ ‎∴正确命题的序号是①②③．‎ 故答案为：①②③．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）‎ ‎16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosC．‎ ‎（Ⅰ）求角C；‎ ‎（Ⅱ）若c=2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【考点】HP：正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意和正余弦定理及和差角的三角函数公式，易得cosC，由三角形内角的范围可得．‎ ‎（Ⅱ）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ）∵在△ABC中acosB+bcosA=2ccosC，‎ ‎∴由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，‎ ‎∴sin（A+B）=2sinCcosC，‎ ‎∴sinC=2sinCcosC，‎ ‎∴解得：cosC=，‎ ‎∴由三角形内角的范围可得角C=．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理可得：12=c2=a2+b2﹣2abcosC≥2ab﹣ab=ab，‎ 可得ab≤12，当且仅当a=2时取等号．‎ ‎∴△ABC面积的最大值==3．‎ ‎　‎ ‎17．为加强对旅游景区的规范化管理，确保旅游业健康持续发展，某市旅游局2016年国庆节期间，在某旅游景点开展了景区服务质量评分问卷调查，调查情况统计如表：‎ 分数分组 游客人数 ‎[0，60）‎ ‎100‎ ‎[60，85）‎ ‎200‎ ‎300‎ 总计 ‎600‎ 该旅游局规定，将游客的评分分为三个等级，评分在上恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3R：函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；‎ ‎（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出f（x）的最小值，根据f（x）min≥0，求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=2ax﹣（a+2）+=，a≤2，‎ ‎①a≤0时，ax﹣1＜0，‎ 令f′（x）＞0，即2x﹣1＜0，解得：0＜x＜，‎ 令f′（x）＜0，解得：x＞，‎ 故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；‎ ‎②0＜a＜2时，x=＜，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，‎ 令f′（x）＜0，解得：＜x＜，‎ 故f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；‎ ‎③a=2时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）①a≤0时，f（x）在递减，‎ f（x）min=f（2）=2a﹣2+ln2≥0，解得：a≥1﹣2ln2，‎ 故1﹣2ln2≤a≤0；‎ ‎②0＜a≤时，≥2，f（x）在递减 f（x）min=f（2）=2a﹣2+ln2≥0，解得：a≥1﹣2ln2，‎ 故0＜a≤；‎ ‎③＜a＜1时，1＜＜2，‎ 故f（x）在递增，‎ 故f（x）min=f（）=1﹣﹣lna≥0，‎ 令g（a）=1﹣﹣lna，a∈（，1），‎ g′（a）=﹣=＞0，‎ 故g（a）在（，1）递增，‎ g（a）＜g（1）=0，‎ 故1＜＜2时，不合题意；‎ ‎④a≥1时，≤1，‎ 故f（x）在递增，f（x）min=f（1）=0，‎ 故a≥1，‎ 综上，1﹣2ln2≤a≤或a≥1．‎