【数学】2019届一轮复习人教B版第4章三角函数解三角形第7节学案

【数学】2019届一轮复习人教B版第4章三角函数解三角形第7节学案

第7节 解三角形应用举例 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).‎ ‎2.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．‎ ‎3.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．‎ ‎4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.‎ ‎2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )‎ ‎(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )‎ ‎(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( )‎ ‎(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )‎ 解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.‎ 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )‎ A.北偏东15° B.北偏西15°‎ C.北偏东10° D.北偏西10°‎ 解析 如图所示，∠ACB＝90°，‎ 又AC＝BC，‎ ‎∴∠CBA＝45°，而β＝30°，‎ ‎∴α＝90°－45°－30°＝15°.‎ ‎∴点A在点B的北偏西15°.‎ 答案 B ‎3.(教材习题改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )‎ A.50 m B.50 m C.25 m D. m 解析 由正弦定理得＝，‎ 又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m).‎ 答案 A ‎4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是______n mile.‎ 解析 设两船之间的距离为d，‎ 则d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，‎ ‎∴d＝70，即两船相距70 n mile.‎ 答案 70‎ ‎5.(2014·全国Ⅰ卷)如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.‎ 解析 在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，‎ 所以AC＝100 m.‎ 在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，‎ 从而∠AMC＝45°，‎ 由正弦定理得，＝，因此AM＝100 m.‎ 在Rt△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝60°，‎ 由＝sin 60°得MN＝100×＝150 m.‎ 答案 150‎ 考点一 测量高度问题 ‎【例1】 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.‎ 解析 在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300(m).在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，‎ CD＝BCtan∠CBD＝300·tan 30°＝100(m).‎ 答案 100 规律方法 1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.‎ ‎2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.‎ ‎3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.‎ ‎【训练1】 如图所示，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，求塔的高度CD.‎ 解 设CD＝h，则AD＝，BD＝h，‎ 在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，‎ ‎∴由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，‎ 可得1302＝3h2＋－2·h··，‎ 解得h＝10，故塔的高度为10(m).‎ 考点二 测量距离问题 ‎【例2】 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，‎ ‎∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.‎ 若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离.‎ 解 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，‎ ‎∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝(km).‎ 在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，‎ 得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km).‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°‎ ‎＝＋－2×××＝.‎ ‎∴AB＝(km).∴A，B两点间的距离为 km.‎ 规律方法 1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.‎ ‎2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.‎ ‎【训练2】 海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.‎ 解析 设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°.‎ 由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°，‎ 整理，得36x2－9x－10＝0，‎ 解得x＝或x＝－(舍).‎ 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时.‎ 答案 考点三 测量角度问题 ‎【例3】 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的 C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________.‎ 解析 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，‎ 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.‎ 由正弦定理，得＝ ‎⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)‎ ‎＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.‎ 答案 规律方法 解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义.‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的结合使用.‎ ‎【训练3】 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )‎ A.30° B.45° C.60° D.75°‎ 解析 依题意可得AD＝20m，AC＝30m，‎ 又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝ ‎＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，‎ 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ 答案 B 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )‎ A. km B. km C. km D.2 km 解析 如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，‎ ‎∴AC＝2×＝(km).‎ 答案 A ‎2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )‎ A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里 解析 如图所示，易知，‎ 在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，‎ 根据正弦定理得＝，‎ 解得BC＝10(海里).‎ 答案 A ‎3.(2018·许昌调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( )‎ A.a km B.a km C.a km D.2a km 解析 由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，‎ 得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2·a·a·＝3a2，解得AB＝a(km).‎ 答案 B ‎4.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )‎ A.240(－1)m B.180(－1)m C.120(－1)m D.30(＋1)m 解析 如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，‎ 在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，‎ 在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)，‎ ‎∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m).‎ 答案 C ‎5.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )‎ A.5 B.15 C.5 D.15 解析 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以BC＝15.‎ 在Rt△ABC中，‎ AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.‎ 答案 D 二、填空题 ‎6.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.‎ 解析 如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得，‎ MN＝ ‎＝＝10(m).‎ 答案 10 ‎7.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.‎ 解析 如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，‎ ‎∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.‎ 又AB＝200 m，∴AC＝(m).‎ 在△ACD中，由余弦定理得，‎ AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，‎ ‎∴CD＝AC＝(m).‎ 答案 ‎8.(2018·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，‎ 旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗.‎ 解析 依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.‎ 由正弦定理可知＝，‎ ‎∴AC＝·sin∠CEA＝20 m.‎ ‎∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×＝30 m.‎ ‎∵国歌时长为50 s，∴升旗速度为＝0.6 m/s.‎ 答案 0.6‎ 三、解答题 ‎9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.‎ ‎(1)求渔船甲的速度；‎ ‎(2)求sin α的值.‎ 解 (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ‎＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.‎ 解得BC＝28.‎ 所以渔船甲的速度为＝14海里/时.‎ ‎(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，‎ 即sin α＝＝＝.‎ ‎10.(2018·武汉质检)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.‎ 解 由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ ‎∴AC＝＝.‎ 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝.‎ 故山高CD为.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.(2018·山西康杰中学、临汾一中等五校联考)飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m(取＝1.732).‎ 解析 ∵108 s＝0.03 h，‎ ‎∴AB＝1 000×0.03＝30 km.‎ ‎∵∠C＝75°－15°＝60°，∴＝，∴BC＝.‎ ‎∴C到AB边的距离为h＝BCsin 75°＝20sin 15°sin 75°＝10sin 30°＝5＝5×1.732＝8.66 km.‎ ‎∴山顶的海拔高度为(15－8.66)km＝6 340 m.‎ 答案 6 340‎ ‎12.(2017·呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，‎ 进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km2.‎ 解析 如图，连接AC，由余弦定理可知 AC＝＝，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，＝，即AD＝＝＝，‎ 故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋××＝(km2).‎ 答案 ‎13.如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449).‎ 解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里).‎ 在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，‎ ‎∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得 BC＝＝(海里).‎ 根据正弦定理，可得 sin∠ABC＝＝＝.‎ ‎∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，‎ 从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.‎ 在△BCD中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD＝＝＝，‎ ‎∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝(海里)，‎ 则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟.‎ 故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.‎