2017-2018学年四川省雅安中学高二下学期第一次月考数学文试题（解析版）

2017-2018学年四川省雅安中学高二下学期第一次月考数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省雅安中学高二下学期第一次月考数学文试题（解析版）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分） ‎ ‎1. 设，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A 考点：1、充分条件，必要条件；2、绝对值不等式，二次不等式.‎ ‎2. 下列说法正确的是 A. 若不存在，则曲线在点处就没有切线 B. 若曲线在点处有切线，则必存在 C. 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D. 若曲线在点处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 ‎【答案】C ‎【解析】对于不存在时，曲线在点处不一定没有切线，错误；‎ 对于B，曲线在点处有切线时，不一定存在，错误；‎ 对于C，当不存在时，曲线在点处的切线斜率不存在，C正确；‎ 对于D，当曲线在点处的切线斜率不存在时，曲线在该点处也可能有切线，此时切线垂直x轴，错误．‎ 故选：C．‎ ‎3. 用反证法证明命题：“，且，则中至少有一个负数”时的假设为 A. 中至少有一个正数 B. 全为正数 C. 全都大于等于0 D. 中至多有一个负数 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据命题的否定可知，所以用反证法证明命题：“,且，则中至少有一个负数”时的假设为“全都大于等于”故选C.‎ 考点：反证法.‎ ‎4. 已知直线与曲线相切，则a的值为 A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由直线与曲线相切，设切点坐标是，则有，由曲线可得，所以切线的斜率是，‎ 据此有：，求解方程组有：.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．‎ ‎ (2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．‎ ‎5. 给定两个命题，“为假”是“为真”的    ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若“为假”，则“为真”，包括真假，假真，为真，当真假，假真时，“为假”，所以充分性不成立；‎ 若“为真”，则为真，必有“为假”.‎ 故选B.‎ ‎6. 给出下列命题：‎ ‎①命题“若，则方程无实根”的否命题；‎ ‎②命题“在中，，那么为等边三角形”的逆命题；‎ ‎③命题“若，则”的逆否命题；‎ ‎④“若，则的解集为R”的逆命题．‎ 其中真命题的序号为 A. ①②③ B. ①②④ C. ②④ D. ①②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】①命题“若，则方程（）无实根”的否命题是“若，则方程（）有实根”，是正确的；②命题“中，，那么为等边三角形”的逆命题是“是等边三角形，则”，是正确的；③命题“若，则＞0”是正确的，∴它的逆否命题也是正确的；④命题“若，则的解集为”的逆命题是“若的解集为，则，∵不等式的解集为时，∴的解集为，∴逆命题是错误的；∴正确命题有①②③；故选A.‎ ‎7. 若函数的单调递减区间为，则bc的值为 A. 3 B. 6 C. 9 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 函数的单调减区间为，‎ 的解集是，‎ 是的两个实数根．‎ ‎．‎ 解得．‎ 故选C．‎ 点睛：利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增，只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即可.注意等号！‎ ‎8. 不等式成立的一个必要不充分条件是 A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】解不等式，得：或，‎ 故不等式成立的一个必要不充分条件是：‎ 或，‎ 故选：B．‎ ‎9. 对于函数的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程一定有三个不等的实数根。这四种说法中，正确的个数是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】，则，‎ 显然，判别式，故有两个不相等的零点，且一正一负，‎ 不妨设 又图象必过点 ‎ 二次函数，开口向上，且在上为正，上为负，上为正，‎ 即函数在上递增，上递减，上递增．‎ 由极值的定义可知：函数必有两个极值点，且处是极大值点，处是极小值点．‎ 由以上性质作函数的图象 或 ‎ 由图1，图2可知：甲正确；乙正确；丙正确；丁不正确．‎ 故选C．‎ ‎10. 设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎，‎ 故答案选B．‎ ‎11. 若，函数在处有极值，则ab的最大值等于 A. 18 B. 144 C. 48 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：,,，, ‎ ‎,,当且仅当,即时等号成立.故的最大值等于,选B.‎ 考点：1.极值的性质；2.基本不等式的应用.‎ ‎12. 已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为     ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，，其中，，且，所以.‎ 令，则，为增函数.‎ 令，得.‎ 所以.时，时,‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以时,.‎ 故选B.‎ 点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：‎ ‎（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式；‎ ‎（2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 已知函数有两个极值点，则a的范围______________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知：函数，求导，，‎ 由函数有两个极值点，‎ 则方程，有两个不相等的根，‎ ‎，即，解得：或，‎ 的范围，‎ 故答案为：．‎ ‎14. 如图，函数的图象是折线段ABC，其中的坐标分别为，则 ____________ 用数字作答 ‎【答案】1‎ ‎【解析】，‎ 由函数的图象可知，‎ ‎，‎ 由导数的几何意义知．‎ 故答案为：1.‎ ‎15. 已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是_____________ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，‎ 函数在上是减函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得．‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：，构造xf(x)；‎ ‎2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；‎ ‎，构造;‎ ‎，构造；‎ ‎，构造.等等.‎ ‎16. 已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是______________ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】中的函数要使，则，解得或2，可见函数有巧值点；‎ 对于中的函数，要使，则，由对任意的x，有，可知方程无解，原函数没有巧值点；‎ 对于中的函数，要使，则，由函数与的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；‎ 对于中的函数，要使，则，即，显然无解，原函数没有巧值点；‎ 对于中的函数，要使，则，即，‎ 设函数，‎ 判别式，‎ 且，‎ 显然函数在上有零点，原函数有巧值点．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17. 求下列函数的导数．‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数的除法运算法求导即可；‎ ‎（2）根据导数的乘法运算法则和复合函数的求导法则求导即可．‎ 试题解析：‎ ‎；‎ ‎.‎ ‎18. 命题p：关于x的不等式，对一切恒成立；命题q：函数是增函数若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】试题分析：容易求出命题p为真时，﹣2＜a＜2，而q为真时，a＜1．由p或q为真，p且q为假便可得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况的a的范围，再求并集即可得出实数a的取值范围．‎ 解析：‎ p为真：Δ=4a2－16＜0 得到：－2＜a＜2，q为真：3－2a＞1 解得：a＜1，‎ 因为p或q为真，p且q为假 ∴p，q一真一假．‎ 当p真q假时， 解得：1≤a＜2，‎ 当p假q真时， 解得：a≤－2，‎ ‎∴a的取值范围为．‎ 点睛：考查二次函数的取值情况和判别式△的关系，指数函数的单调性和底数的关系，以及p或q，p且q 的真假和p，q真假的关系．考查命题真假的判断。或且非命题要注意p且q是全真才真，一假即假，p或q，一真即真，全假才假。‎ ‎19. 已知函数． ‎ 求的极值；‎ 若在区间上单调递减，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1） 极大值为，极小值为；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）令，求根后，结合函数单调性即可得极值；‎ ‎（2）由，得减区间，所以是子集，列不等式组求解即可 试题解析：‎ ‎，‎ ‎1和4别是的两根，‎ 根据单调性可知极大值为，极小值为.‎ 由上得，‎ 由．‎ 故的单调递减区间为，‎ ‎，‎ 解得：m的取值范围：．‎ 点睛：利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增，只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即可，或考虑为单调区间的子集.注意等号！‎ ‎20. 某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是元．‎ ‎ 写出y与x的函数关系式； ‎ ‎ 改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．‎ ‎【答案】（1）；（2）产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据题意表示出销售价、月平均销售量、以及月平均利润，即可写出与的函数关系式；（2）根据(1)的结论，对与的函数关系式研究其单调性以及极值，即可求得所需结果.‎ 试题解析：（1）改进工艺后,每件产品的销售价为元,月平均销售量为件,‎ 则月平均利润元,‎ 所以与的函数关系式为.‎ ‎（2）由,得(舍).‎ 当时,;时,,‎ 所以函数在处取得最大值.‎ 故改进工艺后,产品的销售价为(元)时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.‎ 考点：(1)函数在实际问题中的应用；2、导数在函数研究中的应用.‎ ‎21. 函数 当时，求证：函数的图象存在唯一零点的充要条件是.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）充分性：a=1时，，利用导数研究函数的单调性极值最值可得：x=1时，函数f（x）取得极小值也是最小值．即可证明；必要性：f（x）=0在（0，+∞）上有唯一解，且a>0，由导数的性质可得：在x=a处有极小值也是最小值f（a），f（a）=lna-a+1再利用导数研究其单调性极值与最值即可证明．‎ 试题解析：‎ 充分性：，‎ 时，．‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 时，函数取得极小值也是最小值．‎ 即．‎ 时，函数的图象在上有唯一的一个零点．‎ 必要性：在上有唯一解，且，‎ 当时，单调递增区间为，单调递减区间为．‎ 在处有极小值也是最小值．‎ 令．‎ 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．‎ 只有唯一解．‎ 在上有唯一解时必有．‎ 综上：在时，在上有唯一解的充要条件是．‎ ‎22. 已知函数．‎ ‎ 讨论的单调性； ‎ ‎ 若对任意的，恒有 成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当a<0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间； （2）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3>|f（x1）-f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎1，‎ 当时，，‎ 令得或，‎ 令得；‎ 当时，得，‎ 令得或，‎ 令得；‎ 当时，，‎ 综上所述，当时，的递减区间为和，递增区间为；‎ 当时，在单调递减；‎ 当时，的递减区间为和，递增区间为 ‎ ‎2由Ⅱ可知，当时，在区间上单调递减，‎ 当时，取最大值；‎ 当时，取最小值；‎ ‎，‎ 恒成立，‎ ‎ ‎ 整理得，‎ 恒成立，‎ ‎，‎ ‎．‎