数学理卷·2018届山西省实验中学高三上学期学业质量监测（2018

数学理卷·2018届山西省实验中学高三上学期学业质量监测（2018

山西省实验中学2018届高三年级学业质量监测 数学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择題）和第Ⅱ卷（非选择题 > 两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首 先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 若复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 命题“”的否定是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4. 《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ）‎ A． 18 B． 20 C. 21 D．25 ‎ ‎5. 我们可以用随机数法估计的值，下面程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数).若输出的结果为521，则由此可估计的近似值为（ ）‎ A．3.119 B．3.124 C. 3.132 D．3.151‎ ‎6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）‎ A． 80 B． 160 C. 240 D．480 ‎ ‎7. 设，则的展开式中常数项是（ ）‎ A．-160 B．160 C. -20 D．20 ‎ ‎8. 函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知数列 满足，且对任意都有，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎10. 设正实数是满足，不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. 8 D．16 ‎ ‎11. 已知直线双曲线相切于点，与双曲线两条渐近线交于，两点，则的值为（ ）‎ A．3 B． 4 C. 5 D．与的位置有关 ‎ ‎12. 已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（ ）‎ A． 2 B． 3 C. 4 D．5‎ 二、填空题：本大题共4题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.‎ ‎13. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合， 终边上一点坐标为，则 ．‎ ‎14. 己知实数，满足不等式组 则的最小值为 ．‎ ‎15. 过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点，则 ．‎ ‎16. 若函数满足、都有，且，则 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 己知外接圆直径为，角所对的边分别为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，求的面积.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，底面梯形，，平面平面，‎ 是等边三角形，已知，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎19. 北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量， 获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格.人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.‎ ‎（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关？‎ 非围棋迷 围棋迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为 ‎。若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.‎ 附：，其中.‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎20. 已知圆与直线相切，设点为圆上一动点，轴于，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ)求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与直线垂直且与曲线交于两点，求面积的最大值.‎ ‎21. 设函数.‎ ‎（Ⅰ）若当时，函数的图像恒在直线上方，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为1的圆.‎ ‎（Ⅰ）求曲线，的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，，函数的最小值为4.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最小值.‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5: BDACB 6-10: BACDC 11、12：AB 二、填空题 ‎13. ； 14. -13； 15. ； 16. 4033.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，‎ 所以，，.‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ 由余弦定理得，即，‎ 又，所以，解得或（舍去）.‎ 所以.‎ ‎18.（Ⅰ）证明：在中，由于，‎ ‎∴，故.‎ 又平面平面，平面平面.‎ 平面，∴平面，‎ 又平面，故平面平面.‎ ‎（2）如图建立空间直角坐标系，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量，‎ 由 ‎ 令，则，，∴.‎ 设平面的法向量，‎ 由，令，∴.‎ ‎，∴二面角的余弦值为.‎ ‎19.解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而 列联表如下 非围棋迷 围棋迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算，得 因为，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关.‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意，从而的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎..‎ ‎20. 解：（Ⅰ）设动点，，因为轴于，所以，‎ 设圆的方程为，‎ 由题意得，‎ 所以圆的程为.‎ 由题意，，所以，所以，即 将代入圆，得动点的轨迹方程，‎ ‎（Ⅱ）由题意设直线，设直线与椭圆交于，‎ ‎，联立方程得，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ 又因为点到直线的距离，，‎ ‎.‎ 面积的最大值为1‎ ‎21.解：（Ⅰ）令，则，‎ ‎，，‎ ① 当时，由于，有，‎ 于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即；‎ ② 当时，由于，有，‎ 于是在上单调递减，从而，‎ 因此在上单调递减，即不符；‎ ③ 当时，令，当时，‎ ‎，于是在上单调递减，‎ 从而，因此在上单调递减 即而且仅有不符.‎ 综上可知，所求实数的取值范围是 ‎（Ⅱ）对要证明的不等式等价变形如下：‎ 对于任意的正整数，不等式恒成立，等价变形 相当于（2）中，的情形，‎ 在上单调递减，即；‎ 取，得：都有成立；‎ 令得证.‎ ‎22. 选修4—4，坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）消去参数可得的直角坐标方程为.‎ 曲线的圆心的直角坐标为,‎ ‎∴的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设，‎ 则 ‎ ‎.‎ ‎∵，∴，.‎ 根据题意可得，，‎ 即的取值范围是.‎ ‎23. 选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）因为，，‎ 所以，当且仅当时，等号成立，又，，‎ 所以，所以的最小值为，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，.‎ ‎ ‎ 当且仅当，时，的最小值为.‎