山东省平度市第九中学2020届高三上学期期中考试数学试卷

山东省平度市第九中学2020届高三上学期期中考试数学试卷

数学试卷 本试卷共4页，23题．全卷满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，请将答题卡上交。‎ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集为，集合，集合，‎ 则（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．若点在角的终边上，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知平面向量，，若，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知函数，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若先将函数的图象向左平移个单位，再保持图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ A B C D ‎6．函数的部分图象大致为（ ）‎ ‎7．已知，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设为两个平面，则的充要条件是（ ）‎ ‎ A．内有一条直线与垂直 B．内有一条直线与内两条直线垂直 ‎ C．与均与同一平面垂直 D．与均与同一直线垂直 ‎9．若函数的一个极大值点为，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．英国数学家泰勒发现了如下公式：．‎ 则下列数值更接近的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本大题共3小题．每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．‎ ‎11．下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，，则 ‎12．在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（ ） ‎ ‎ A．直线 B．直线 C．平面 D．平面 ‎13．若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎14．声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）．‎ ‎（1）平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为 ；‎ ‎（2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，则正常人听觉的声强级范围为 ．‎ ‎15．已知等差数列满足：，，则数列的前项和等于 ．‎ ‎16．在中，内角所对的边分别为，若的面积，，则的取值范围为 ． ‎ ‎17．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且 ‎，则三棱锥的外接球与内切球的半径比为 ．‎ 四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 在中，分别为线段上的点，，，，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的长度．‎ ‎19．（本题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，面面，为的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，‎ 使得面？‎ 若存在，请证明你的结论；‎ 若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（本题满分14分）‎ 已知数列满足：，，，，．‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）证明：数列为等差数列；‎ ‎（3）若数列的前项和为，数列的前项和为，数列的前项和为，证明：．‎ ‎21．（本题满分14分）‎ 图是由菱形，平行四边形和矩形组成的一个平面图形，其中，，，，将其沿折起使得与重合，如图．‎ ‎（1）证明：图2中的平面平面；‎ ‎（2）求图2中点到平面的距离；‎ ‎（3）求图2中二面角的余弦值．‎ 图 图 ‎22．（本题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎23．（本题满分14分）‎ 已知自变量为的函数的极大值点为，，为自然对数的底数．‎ ‎（1）证明：函数有且仅有个零点；‎ ‎（2）若为任意正实数，证明：．‎ 答案及评分标准 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．‎ C B A C C A D A D B ‎ 二、多项选择题：本大题共3小题．每小题4分，共12分．‎ ‎11．BCD； 12．AD； 13．BCD.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎14．，； 15．； 16．； 17．.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）因为，所以 2分 在中由正弦定理知： 5分 又因为为钝角，所以 6分 ‎（2）因为，，所以， 8分 又因为，，，所以，即 9分 在中由余弦定理知：‎ ‎ 11分 ‎ 12分 ‎19. （本小题满分14分）‎ 解：（1）取中点，连接，‎ 且 且 所以四边形为平行四边形 ，‎ 又,‎ 所以四边形为正方形 2分 在中，因为，所以 在中，因为，所以 因为，所以， 4分 因为面，面面，面面 所以面 6分 因为面 所以 7分 ‎（2）线段上存在一点，满足 即为中点时，面 9分 证明如下：连结，因为为的中点, 为中点,所以 又，所以， 12分 因为面，面，所以面 14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 解：（1）因为 2分 又因为， 3分 所以是首项为公比的等比数列 4分 ‎（2）由（1）得： 5分 所以 6分 所以 7分 所以是公差为的等差数列 8分 ‎（3）由（2）知：， 10分 因为，所以 12分 所以 13分 所以 14分 ‎21．（本小题满分14分）‎ 解：（1）由题知，在中：‎ 所以 2分 又在矩形中： 3分 且 ‎ 所以平面 4分 又因为平面 ‎ 所以平面平面 5分 ‎（2）由（1）知：平面，所以 因为菱形中的，所以为等边三角形，，‎ 所以在中： 6分 所以在中， 7分 又因为平面平面，且平面平面 所以平面 8分 又因为平面，所以点到平面的距离为 9分 ‎（3）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系 所以 10分 由（1）知平面的法向量为, 11分 设平面的法向量，因为，‎ 由，得，取得， 12分 所以，即二面角的余弦值为 14分 ‎22．（本小题满分14分）‎ 解：（1）由题知： 1分 ‎①当时，，在上单调递减，所以无极值 3分 ‎ ‎②当时，由得，所以 ‎ 当时，，在上单调递增；‎ ‎ 当时，，在上单调递减；‎ 所以在时取得极大值 6分 综上：当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值 7分 ‎（2）①当时，由（1）知在上单调递减 因为，所以，当时， ‎ 所以时，不存在符合题意的值 9分 ‎②当时，由（1）知：‎ 因为恒成立，所以 11分 令，则，由得 ‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增； 13分 所以，所以，因此 14分 ‎23. （本小题满分14分）‎ 解：（1）由题知：，所以 1分 令，，所以在单调递减 2分 又，所以，当时，；当时， ‎ 故在上单调递增；在上单调递减；所以 5分 又因为，‎ 所以在，上各恰有零点，即有且仅有个零点 7分 ‎（2）由题知， 8分 所以，当时，；当时， ‎ 故在上单调递增；在上单调递减；当时，取极大值 因此且 10分 所以，， 11分 设，所以①‎ ‎②‎ ‎①②得： 13分 所以 ，所以，即 14分