四川省眉山市东坡区多悦高级中学校2020届高三5月月考数学（理）试题

四川省眉山市东坡区多悦高级中学校2020届高三5月月考数学（理）试题

多悦高中 2020 届高三 5 月月考 理科数学 （考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟） 一、 单选题 （本题共计 12 小题，共计 60 分） 1、（5 分）设 ， ，函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的图象可以是（ ） A． B． C． D． 2、（5 分）已知集合 ，集合 ，则有（ ） A． B． C． D． 3、（5 分）集合 中所含元素为（ ） A．0，1 B． ，1 C． ，0 D．1 4、（5 分）函数 由下列表格给出，则 （ ） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 5 、 （ 5 分 ） 若 函 数 在 区 间 上 单 调 递 减 ， 且 ， ，则 2{ | 2}A y y x= = − 2{ | 1}B x y x= = − A B= A B ϕ∩ = A B A∪ = A B A∩ = A． B． C． D． 6、（5 分）若集合 ， ，那么 A． B． C． D． 7、（5 分）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的函数为（ ） A． B． C． D． 8、（5 分）已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 9、（5 分）下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 10 、 （ 5 分 ） 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 满 足 ， 当 时 ， ，则（ ） A． B． C． D． 11、（5 分）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位 mol/L，记 作 ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L，记作 ）的乘积等于常数 ．已知 pH 值的定义为 ，健康人体血液的 pH 值保持在 7．35～7．45 之间， 那么健康人体血液中的 可以为（参考数据： ， ）（ ） A． B． C． D． 12、（5 分）已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． 1 D． 0 二、 填空题 （本题共计 4 小题，共计 20 分） 13、（5 分）若函数 的单调递增区间是[3, +∞) ，则 a 的值为_____． 14、（5 分）已知函数 ，记函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，设函数 ，若 ，则函数 的值域为__________． 15、（5 分）不等式组 的解的集合为 , ，则 _________. 16、（5 分）已知 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 上单调递増，若实数 a 满足 ，则实数 a 的取值范围是__________________ 三、 解答题 （本题共计 6 小题，共计 72 分） 17、（12 分）设 是实数，已知奇函数 , （1）求 的值； （2）证明函数 在 R 上是增函数; （3）若对任意的 t∈R，不等式 f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 有解，求 k 的取值范围． 18、（12 分）设 是实数，已知奇函数 , （1）求 的值； （2）证明函数 在 R 上是增函数; （3）若对任意的 t∈R，不等式 f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 有解，求 k 的取值范围． 19、（12 分）已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，且满足 （1）f(1)=3 （2）对于任意的 ，总有 （3）对于任意的 （I）求 f(0)及 f(－1)的值 （II）求证：函数 y＝f(x)－1 为奇函数 （III）若 ，求实数 m 的取值范围. 20、（12 分）已知集合 ， ，命题 ： ， 命题 ： . （1）当 时，若 是 的必要条件，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围. 2 4 0 3 0 x x − ≥ + >    A U R= UC A = 21、（12 分）已知函数 是奇函数. （1）求 的值； （2）用定义证明：函数 是 上的增函数； （3）若对一切实数 满足 ，求实数 的范围. 22 、 （ 12 分 ） 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 且 对 任 意 实 数 恒 有 （ 且 ）成立. （1）求函数 的解析式； （2）讨论 在 上的单调性，并用定义加以证明. ( )y f x= R x ( ) ( )2 0xf x f x a+ − + = 0a > 1a ≠ ( )f x ( )f x R 一、 单选题 （本题共计 12 小题，共计 60 分） 1、（5 分）【答案】B 【解析】 因为定义域为 ，所以舍去 A;因为值域为 ，所以舍去 D；因为对于 定义域内每一个 x 有且只有一个 y 值，所以去掉 C；选 B. 2、（5 分）【答案】D 【解析】 =[−2,+∞)， ，}=R， 故 A∩B=A. 故选 D. 3、（5 分）【答案】A 【解析】 ，解 ，得 ， 故选 4、（5 分）【答案】A 【解析】由表可知 ， . 故选 A. 5、（5 分）【答案】A 【解析】 由 5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5， 函数 t=5+4x-x2 的增区间为（-1，2）， 要使 f(x)＝log0.3(5+4x−x2)在区间（a-1，a+1）上单调递减， 则 ，即 0≤a≤1． 而 b=1g0.3＜0，c=20.3＞1， ∴b＜a＜c． 故选：A． 6、（5 分）【答案】A 【解析】 ∵集合 ， ， ∴ ． 故选：A． 2{ | 2}A y y x= = − 2{ | 1}x y x= = − 7、（5 分）【答案】B 【解析】 既不是奇函数又不是偶函数，在定义域内单调递减, 是奇函数且在定义域内单调递减, 是奇函数且在 分别单调递减, 既不是奇函数又不是偶函数，在定义域内单调递减, 综上选 B. 8、（5 分）【答案】B 【解析】 由 A 中不等式变形得：log2x＜1=log22， 解得：0＜x＜2，即 A=（0，2）， 由 B 中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）＜0， 解得：﹣2＜x＜1，即 B=（﹣2，1）， 则 A∩B=（0，1）， 故选：B． 9、（5 分）【答案】D 【解析】 由题意，对于 A 中， 是无理数，所以 不正确； 对于 B 中， ，所以 不正确； 对于 C 中， 不是自然数，所以 不正确； 故选 D. 10、（5 分）【答案】B 【解析】 即 f（x）=f（x+2）， ∴函数的周期为 2 ∵x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|， ∴当 3≤x＜4 时，f（x）=x-2， 当 4≤x≤5 时 f（x）=6-x， 又 f（x）=f（x+2）， ∴f（x）是以 2 为周期的周期函数； 当 x∈[1，3]时，函数同 x∈[3，5]时相同， 同理可得，1≤x＜2 时 f（x）=（x+2）-2=x，即 f（x）在[1，2）上单调递增； 当 2≤x≤3 时 f（x）=6-（x+2）=4-x， 所以，当 0≤x≤1 时 f（x）=6-（x+2）=2-x，即 f（x）在[0，1]上单调递减； ∵ ， f （ x ） =f （ x+2 ） ， 则 ，故 B 正确； 对于 A，0＜cos1＜sin1＜1，f（x）在[0，1]上单调递减， ∴f（cos1）＞f（sin1），故 A 错误； 同理可得， ，故 C 错误； 对于 D，f（cos2）=f（2+cos2）=2+cos2，f（sin2）=2-sin2， f（cos2）-f（sin2）=2+cos2-2+sin2=sin2+cos2＞0， 故 D 错误． 故选：B． 11、（5 分）【答案】C 【解析】 由 题 设 有 ， 又 ， 所 以 ， 所 以 ． 又 ，只有 在范围之中，故选 C． 12、（5 分）【答案】B 【解析】 由题意集合 ， ， 因为 ，所以 ，解得 ，故选 B. 二、 填空题 （本题共计 4 小题，共计 20 分） 13、（5 分）【答案】-6 【解析】 由题得 y=f(x)在函数在 单调递减,在 单调递增,则 . 故答案为：-6 14、（5 分）【答案】 【解析】 函数 的图像如图所示，结合函数的图像分类讨论： 当 时， ，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ， 求解方程 可得： ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， 在区间 上单调递增， ， 综上可得： ， 结合对数函数的性质可得函数 的值域为 . 15、（5 分）【答案】 【解析】解不等式组 得 ，所以 , ∴ . 答案： 16、（5 分）【答案】 【解析】 由 于 函 数 是 偶 函 数 ， 且 在 上递增 ， 故 函 数 在 上递减 ， 故圆不 等 式 可转化为 ，即 ，即 ， . 三、 解答题 （本题共计 6 小题，共计 72 分） 17、（12 分）【答案】（1）1；（2）见解析；（3） 【解析】 ( ),2−∞ 2 4 0{ 3 0 x x − ≥ + > 2x ≥ [ )2,A = +∞ ( ),2UC A = −∞ ( ),2−∞ （1）∵f（x）为 R 奇函数，∴f（0）=0， ， 解得 a=1 （2）由（1）的结论， ， 设 ，则 ， 又由 ， ， 则 ， 则函数 在 是增函数. （3）∵f（x）为奇函数，由不等式 f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 化为 f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），即 f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）， 又∵f（t）为增函数，t2﹣2t＜k﹣2t2，∴3t2﹣2t＜k． 当 t=﹣ 时，3t2﹣2t 有最小值﹣ ，∴k>- . 18、（12 分）【答案】（1）1；（2）见解析；（3） 【解析】 （1）∵f（x）为 R 奇函数，∴f（0）=0， ， 解得 a=1 （2）由（1）的结论， ， 设 ，则 ， 又由 ， ， 则 ， 则函数 在 是增函数. （3）∵f（x）为奇函数，由不等式 f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 化为 f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），即 f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）， 又∵f（t）为增函数，t2﹣2t＜k﹣2t2，∴3t2﹣2t＜k． 当 t= 时，3t2﹣2t 有最小值 ，∴ . 19、（12 分）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） 【解析】 （Ⅰ）∵对于任意 ，都有 ， ∴令 ， ，得 ，∴ ． 令 ， ，则 ，∴ ． （Ⅱ）令 ， ，则有 ，∴ ， 令 ，则 ， ∴ ，即 ． 故 为奇函数． （Ⅲ）∵对于任意的 ， ， ， ∴ 在其定义域上为单调增函数， ∵ ． 且 ，∴ ， ∴ ，∴ ， 即 ，解得 或 ． 故实数 的取值范围是 . 20、（12 分）【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）由 ， 当 时， ， ∴ ： 或 ，∵ 是 的必要条件， 即 是 的子集，则 ，∴ . （2） ， ， ， ① 时，即 ，此时 舍； ② 时，即 ， ，满足 ； ③ 时，即 ，需 ，即 ，此时 . 综上， . 21、（12 分）【答案】（1）2；（2）见解析；（3） . 【解析】 （1）因为函数 是奇函数，且在 处有意义，所以 ，即 ，解得 ； （2）任取 ，且 ， 则 ， 因为 ，所以 ，所以 ，即 ， 所以函数 是 上的增函数； （3）因为对一切实数 满足： ， 所以有 ， 即 对一切 恒成立. 因为 ， 所以 ，即 . 22 、 （ 12 分 ） 【 答 案 】 （ 1 ） ； （ 2 ） 当 时 ， 在 上为单调减函数；当 时， 在 上为单调增 函数. 【解析】 （1）∵ 对任意实数 恒有： ①， 用 替换①式中的 有： ②， ①×②—②得： ， （2）当 时，函数 为单调减函数，函数 也为单调减函数， ∴ 在 上为单调减函数. 当 时，函数 为单调增函数，函数 也为单调增函数， ∴ 在 上为单调增函数. ( ) ( )2 3 x xa af x x R − −= ∈ 1a > ( ) 2 3 x xa af x − −= R 0 1a< < ( ) 2 3 x xa af x − −= R ( )y f x= x ( ) ( )2 0xf x f x a+ − + = x− x ( ) ( )2 0xf x f x a−− + + = ( ) ( )2 3 x xa af x x R − −= ∈ 1a > ( ) xg x a−= ( ) 2 xh x a= − ( ) 2 3 x xa af x − −= R 0 1a< < ( ) xg x a−= ( ) 2 xh x a= − ( ) 2 3 x xa af x − −= R 证明：设任意 且 ，则 ，∵ ， ， ①当 时，则 ，∴ ∴ 在 上是减函数. ②当 时，则 ，∴ ∴ 在 上是增函数. 综上：当 时， 在 上为单调减函数； 当 时， 在 上为单调增函数. 1 2x x R∈、 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 3 x x x xa a a a f x f x − −− + − − = ( )( )2 1 1 2 1 2 1 2 3 x x x x x x a a a a + + − + = 1 2x x R∈、 1 2x x< 1a > 2 1 1 2 1 20, 0,1 2 1 0x x x x x xa a a a+ +− > > + > > ( ) ( )1 2f x f x> ( ) 2 3 x xa af x − −= R 0 1a< < 2 1 1 2 1 20, 0, 1 01 2x x x x x xa a a a+ +< < >+ >− ( ) ( )1 2f x f x< ( ) 2 3 x xa af x − −= R 1a > ( ) 2 3 x xa af x − −= R 0 1a< < ( ) 2 3 x xa af x − −= R