数学（文）卷·2017届贵州省遵义航天高级中学高三第五次模拟（2017

数学（文）卷·2017届贵州省遵义航天高级中学高三第五次模拟（2017

2016～2017 学年度第一学期高三第五次模拟考试 文科数学试卷 出题人： 审题人： 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位 置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 2{ | 0}, { | ln }1 xM x N y y xx     ，则 M N  （ ） A． ]2,0( B． ]2,1( C． 2,1 D．R 2、设复数 2 2 i (1 i) z   （ i 为虚数单位），则 z 的虚部是（ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 3、已知指数函数 ( )y f x 的图象过点 (3,27)P ，则在 (0,10] 内任取一个实数 x ，使得 ( ) 81f x  的概率为 （ ） A. 3 10 B. 7 10 C. 2 5 D. 3 5 4、如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为 14， 18，则输出的a=（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5、设△ABC 的三边长分别为 a、b、c，△ABC 的面积为 S，内切圆半 径为 r，则 r＝ 2S a＋b＋c；类比这个结论可知：四面体 S－ABC 的四个 面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球的半径为 r，四面体 S－ABC 的体积为 V，则 r＝（ ) A. V S1＋S2＋S3＋S4 B. 2V S1＋S2＋S3＋S4 C. 3V S1＋S2＋S3＋S4 D. 4V S1＋S2＋S3＋S4 6、设向量 21,ee 是两个互相垂直的单位向量，且 221 ,2 ebeea  ，则  ba 2 （ ） A． 22 B． 5 C．2 D．4 7、把边长为1的正方形 ABCD沿对角线 BD 折起，形成的三棱锥 BCDA  的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ） A． 2 2 B． 2 1 C． 4 2 D． 4 1 8、南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等 人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤， 持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给， 问：每等人比下等人多得几斤？”（ ） A． 4 39 B． 7 78 C． 7 76 D． 5 81 9、已知等差数列{ }na 的首项 1 1a = ，公差 0d  ， nS 为数列{ }na 的前n项 和.若向量 1 3( , )a a=m ， 13 3( , )a a= -n ，且 0 m n ，则 2 16 3 n n S a + + 的最小 值为（ ） A．4 B．3 C．2 3 2- D． 9 2 10、在平面直角坐标系中，点 P 是由不等式组 0 0 4 0 x y x y        所确定的平 面区域内的动点， ,M N 是圆 2 2 1x y  的一条直径的两端点，则  PNPM . 的最小值为（ ） A．4 B．2 2 1 C．4 2 D．7 11、定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相 关曲线”．已知 1 2,F F 是一对相关曲线的焦点， P 是椭圆和双曲线在第 一象限的交点，当 1 2 60F PF   时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为 （ ） （A） 3 3 （B） 3 2 （C） 2 2 （D） 1 2 12、函数 ( )f x 的定义域为 R, ,2)0( f 对任意 Rx , 1)()( '  xfxf ， 则不 等式 1)(  xx exfe 的解集为（ ） A.  0xx B ．  0xx C.  11  xxx 或 D． 101  xxx 或 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13、曲线 3)( 3  xxxf 在点 P )3,1( 处的切线方程_______。 14 、 已 知 ABC 的 外 心 O 满 足 )(3 1   ACABAO ， 则 Acos _____________。 15、若半径为 2 的球O内切于一个正三棱柱 111 CBAABC  中，则该三棱 柱的体积为 。 16、函数       )0(,log )0(,1 )( 2 xx xx xf ，则函数 1)]([  xffy 的零点个数是 __________。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 17、在公比为2 的等比数列 na 中， 2a 与 5a 的等差 中项是9 3 . （Ⅰ）求 1a 的值； （Ⅱ）若函数 1 sin 4y a x      ，   ，的一部分 图像如图所示，  11,M a ，  13,N a 为图像上的两点，设 MPN   ， 其中P 与坐标原点O重合，  0 ，求 )sin(   的值. 18、4 月 23 日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读 书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了 100 名 学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日 均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图,若将日均课外阅 读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书谜”,低于 60 分钟的学生称 为“非读书谜” （1）求 x 的值并估计全校 3000 名学生中读书谜大概有多少？（将频 率视为概率） （2）根据已知条件完成下面 2×2 的列联表,并据此判断是否有 99% 的把握认为“读书谜”与性别有关？ 非读书迷 读书迷 合计 男 15 女 45 合计 附： 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d         . 2 0( )P k k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k 2.706 3. 841 5.024 6.635 10.828 19、如图 1 所示，在 Rt  ABC 中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点 E 在线段 AC 上，CE＝4.如图 2 所示，将  BCD 沿 CD 折起，使得平面 BCD⊥平面 ACD，连结 AB，设点 F 是 AB 的中 点． (1)求证：DE⊥平面 BCD； (2)在图 2 中，若 EF∥平面 BDG，其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交 点，求三棱锥 BDEG 的体积． 20、已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ，直线 4y  与 y 轴的交点 为 R ，与抛物线C 的交点为Q ，且 5| | | |4QF RQ ．已知椭圆 2 2 2 2: 1x yE a b   ( 0)a b  的右焦点 1F 与抛物线C 的焦点重合，且离心率为 1 2 ． (Ⅰ)求抛物线C 和椭圆 E 的标准方程； (Ⅱ)若椭圆 E 的长轴的两端点为 A，B ，点 P 为椭圆上异于 A，B 的动 点，定直线 4x 与直线 PA ，PB分别交于 M ，N 两点.请问以 MN 为直 径的圆是否经过 x 轴上的定点，若存在，求出定点坐标；若不存在， 请说明理由. 21、已知函数 ( ) ( 2) xf x ax e  在 1x  处取得极值. （1）求a的值； （2）求函数 ( )f x 在[ , 1]m m  上的最小值； （3）求证：对任意 1 2, [0, 2]x x  ,都有 1 2( ) ( )f x f x e  请考生在第（22），（23）两题中任选一题作答，如果多 做，则按所做的第一题记分．作答时用 2B 铅笔在答题卡上 22、以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，已知点 P 的直角坐标为 (1,2) ，点 M 的极坐标为 (3, ) 2  ，若直线l 过点 P ，且倾斜角为 6  ，圆 C 以 M 为圆心， 3 为半径． （Ⅰ）求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于 ,A B 两点，求 PA PB ． 23、(Ⅰ) 若a,b ,均为正数，且 1a b  .证明： 1 1(1 )(1 ) 9a b    ； (Ⅱ)若不等式 2|||3|  axx 的解集为 }1|{ xx ，求实数a的值. 五模文科答案 一、选择题 1～5 BADAC 6～10 BDBAD 11～12 AB 二、填空题 13、2x-y+1=0 14、 2 1 15、 48 3 16、7 三、解答题 17、 18、【答案】（1）1200 人； （2）列联表如下： 非读书迷 读书迷 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合计 60 40 100 有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关 2 2 100(40 25 15 20) 8.24960 40 55 45K       . 8.249 6.635 ,有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关. 19、 . 20、解析】(Ⅰ)设 0( ,4)Q x ，代入 2 2y px ，得 0 8x p  ，∴ 8| |RQ p  .又 5| | | | | |2 4 pQF RQ RQ   ，即 8 5 8 2 4 p p p    ，∴ 2p  ． ∴抛物线C 的标准 方程为 2 4y x ．在椭圆 E 中， 1c  ， 1 2 c a  ，∴ 2a  ， 2 2 2 3b a c   ．∴ 椭圆 E 的标准方程为 2 2 14 3 x y  ． 21、 (1) '( ) ( 2) ( 2)x x xf x ae ax e ax a e      , ………………1 分 由 已 知 得 '(1) 0f  ， 即 (2 2) 0xa e  ， 解 得 1a  . ………………………3 分 当 1a  时 , ( )f x 在 1x  处 取 得 极 小 值 , 所 以 1a  . ………………………4 分 （2） ( ) ( 2) xf x x e  ， '( ) ( 2) ( 1)x x xf x e x e x e     ， 令 '( ) 0f x  得 1x  ，令 '( ) 0f x  得 1x  ， 所以 函数 ( )f x 在 ( ,1) 上单 调递 减， 在 (1, ) 上单 调递 增， ……………………5 分 ①当 1m  时， ( )f x 在[ , 1]m m  上单调递增， min( ) ( ) ( 2) mf x f m m e   ； ②当0 1m  时， 1 1m m   ， ( )f x 在[ ,1]m 上单调递减，在[1, 1]m  上 单调递增， min( ) (1)f x f e   ； ③ 当 0m  时 ， 1 1m  ， ( )f x 在 [ , 1]m m  上 单 调 递 减 ， 1 min( ) ( 1) ( 1) mf x f m m e     . 综 上 ， ( )f x 在 [ , 1]m m  上 的 最 小 值 min 1 ( 2) 1 ( ) 0 1 ( 1) 0 m m m e m f x e m m e m           ……………… 9 分 (3)由(1)知  ( ) 2 xf x x e  , '( ) ( 1) xf x x e  . 令 '( ) 0f x  ，得 1x  ，因为 (0) 2, (1) e, (2) 0f f f     ， 所 以 ， [0, 2]x 时 ， max min( ) 0, ( ) ef x f x   . ……………… 11 分 所 以 , 对 任 意 1 2, [0,2]x x  , 都 有 1 2 max min| ( ) ( ) | ( ) ( ) ef x f x f x f x    . ……………12 分 22、【解析】（Ⅰ）因为直线过点 (1,2)P ，倾斜角为 6  ，所以直线l 的参 数方程为 1 cos ,6 2 sin ,6 x t y t         即 31 ,2 12 ,2 x t y t       为参数）t( ，（答案不唯一，可酌情给 分）圆的极坐标方程为 6cos( ) 6sin2      . （Ⅱ）把 31 ,2 12 ,2 x t y t       代入 2 2( 3) 9x y   ，得 2 ( 3 1) 7 0t t    ， 1 2 7t t   ， 设点 ,A B 对应的参数分别为 1 2,t t ，则 1 2,PA t PB t  , 7.PA PB  23、(Ⅰ) 若a,b ,均为正数，且 1a b  .证明： 1 1(1 )(1 ) 9a b    ； (Ⅱ)若不等式 2|||3|  axx 的解集为 }1|{ xx ，求实数a的值.