2017-2018学年山东省烟台市高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年山东省烟台市高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版

2017-2018 学年山东省烟台市高二上学期期末考试数学（理） 试题 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若命题： ， ，则 为（ ） A．不存在 ， B． ， C． ， D． ， 2.设命题 ：若 ，则 ；命题 ： ， ，则下列命题中 假命题的是（ ） A． B． C． D． 3.有下列四个命题： ①若平面 外一条直线 与平面 内一条直线平行，则 平行于平面 ； ②“全等三角形的面积相等”的逆命题； ③“若 ，则 ”的否命题； ④已知 为实数，“若 中至少有一个不为 0，则 ”的逆否命题. 所有真命题序号为（ ） A．①② B．②③ C．①③ D． ①④ 4.已知空间四边形 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C. D． 5.在空间直角坐标系中， ， ，向量 ，若 ，则 （ ） A． 4 B．2 C. -4 D．-2 6.已知 为抛物线 的焦点， 是抛物线上的一个动点，点 的坐标为 ，则 的最小值为（ ） Rxp ∈∃: 0123 ≥+− xx p¬ Rx∈ 0123 <+− xx Rx∈∃ 0123 <+− xx Rx∈∀ 0123 <+− xx Rx∈∀ 0123 ≥+− xx p 1tan =α 4 πα = q )2,0(0 ∈∃x 31 0 0 >+ xx qp∨ qp ∧¬ )( qp ∨¬ )( )( qp ¬∧ α l α l α βα = βα sinsin = yx, yx, 022 ≠+ yx ABCD α=AB bBC = cAD = =CD cba −+ bac −− bac −+ cba ++ )3,2,1(M )0,3,1(−N ),,4( yxp −= pMN // =+ yx F xy 42 = P A )3,5( |||| PFPA + A．5 B． 6 C. 7 D．8 7.已知双曲线过点 ，渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程是（ ） A． B． C. D． 8.设椭圆 和双曲线 的公共焦点为 ， 为这两条曲线的一个交 点，则 的值为（ ） A． 3 B． C. D． 9.已知点 在曲线 上移动，则点 与点 的中点的轨迹方程是（ ） A． B． C. D． 10.二面角 的大小为 ， 是棱上的两点， 分别在半平面 内， ， ， ， ， ，则 的长度为（ ） A． B． C. D． 11.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 两点，直线 分别与抛物线交于点 ，设直线 与 的斜率分别为 ，则 （ ） A． 1 B． 2 C. 3 D．4 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量 ， ，若 ，则 ． 14.若命题：“ ”为假命题，则实数 的取值范围 是 ． 15.已知椭圆 的右焦点 在圆 外，过 作圆的切线 )2,1( xy 2±= 12 2 2 =− yx 12 2 2 =− xy 13 2 2 =− yx 13 2 2 =− xy 12 5 5 2 =+x 12 2 2 =− yx 21, FF P |||| 21 PFPF • 32 33 62 P xy 2 12 = )0,1(−A P xy 2 12 = xy 8 12 = 8 1 4 12 += xy 8 1 4 12 −= xy βα −−l 060 BA, BDAC, βα, lAC ⊥ lBD ⊥ 2=AB 1=AC 3=BD CD 22 11 17 52 ),0(, +∞∈yx 0>− yx xyyx lnln −>− xy 42 = F )0,3(A NM , FNFM, QP, PQ MN 21,kk = 2 1 k k )1,1,0( −=a )0,2,3(=b 11|| =+ baλ =λ 01, 0 2 00 >−−∈∃ axaxRx a 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F 222 byx =+ F 交 轴于点 ，切点为 ，若 ，则椭圆的离心率为 ． 16.长方体 中， ， ， ， 分别是 的中点， 是 上的点， ，若平面 与平面 的交线为 ，则 与 所成角的余弦值为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. 平面直角坐标系中，动点 在 轴右侧，且 到 的距离比到 轴的距 离大 1. （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）若过点 且倾斜角为 的直线与曲线 相较于 两点，求线段 的长. 18. 设 ：实数 满足 ，其中 ； ：实数 使得方程 表示双曲线. （1）当 时，若“ ”为真命题，求 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围. 19. 如图，正方形 所在平面与三角形 所在平面互相垂直，且 ， . （1）求证： 平面 ； （2）若 ， ，求直线 与平面 所成的角的正弦值. 20. 如图，在多面体 中，四边形 为直角梯形， ， ， ， ，四边形 为矩形. FM y P M OPOFOM +=2 1 1 1 1ABCD A B C D− 3=AB 21 =AA 1=AD FE, 11, BBAA G DB GBDG 2= CEB1 11ADDA l l GF M y M )0,1(F )0,1(F y M C F 4 π C QP, PQ P m 034 22 ≤+− aamm Ra∈ q m 112 22 =+++ m y m x 1−=a qp∨ m p q¬ a ABCD ABE MDEM 2= NABN 2= //MN BEC ABAE 2= 0120=∠EAB MN CDE ABCDMN ABCD CDAB // 22=AB DCBC ⊥ 2==== DMAMDCBC BDMN （1）求证：平面 平面 ； （2）线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ？若存在，确定点 的位置并加以证明. 21. 已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，坐标原点 到直线 的距离为 ，该椭圆的离心率为 . （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右顶点为 ，若平行于 的直线 与椭圆 相交于顶点的 两点，探 究直线 ， 的倾斜角之和是否为定值？若是，求出定值；若否，说明理由. 22.设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，已知 ， 其中 为坐标原点， 为椭圆的离心率. （1）求椭圆 的方程； （2）是否存在斜率为 2 的直线 ，使得当直线 与椭圆 有两个不同交点 时，能在直 线 上找到一点 ，在椭圆 上找到一点 ，满足 ？若存在，求出直线 的 方程；若不存在，说明理由. ⊥ADM ABCD MN H MADH −− 4 π H 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > A B O AB 5 52 2 3 D BD l C NM , AM BN )1(1: 2 2 2 >=+ aya xC F A |||| 1 || 1 FA e OAOF =+ O e C l l C NM , 3 5=y P C Q NQPM = l 理科数学参考答案 一、选择题： CDDBC BBACB AC 二、填空题： 13． 14． 15． 16． 三、解答题： 17.解:（1）设动点 ，点 到 轴的距离为 ， 由题意 . 将点 的坐标代入上式，得 ， 整理得 . (2) 直线 的方程为 ， 联立 ，得 ， 设 ，则 ， ， 所以 . 18.解:（1）当 时， 由 ，解得 , 由 ，解得 . 因为“ ”为真， . ∴实数 的值取值范围是 . （2） 是 的充分不必要条件等价于若 是 的充分不必要条件， 由（1）知，条件 对应的集合为： . 记满足条件 的实数 的集合为 由题意 . 1 [ 4,0]− ( )( )0M x,y x > M y d 1| MF | d− = ( )M x,y ( )2 4 0y x x= > PQ 1y x= − 2 6 1 0x x− + = 1( , ),1P x y 2 2( , )Q x y 1 2 6x x+ = 1 2 1x x = 1a = − 2 4 3 0m m+ + ≤ 3 1m− ≤ ≤ − ( 1)( 2) 0m m+ + < 2 1m− < < − p q∨ { }| 3 1m m− ≤ ≤ −  { }| 2 1m m− < < − m [ ]3, 1− − p q¬ q p¬ q { | 2 1}A m m= − < < − p¬ m B = { | ( )( 3 ) 0}m m a m a− − > A B 当 时， ，满足 ； 当 时， ，满足 ； 当 时， ，要使 ，只需 或 ， 所以 或 . 综上实数 的取值范围为： 或 . 19.解：（1）在 上取一点 ，使 ,连接 . 由已知,在 中， ， 所以 且 . 又在正方形 中， ， 所以 且 . 所以 且 . 所以，四边形 为平行四边形. 所以 . 又 平面 ， 平面 平面 . （2）以 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴、 轴，以过 垂直于 的 直线为 轴，建 立如图所示的空间直角坐标系 . 设 ，则 , , ， , , , 所以 , , . 0a = { | 0}B m m= ≠ A B 0a > { | 3 }B m m a m a= > <或 A B 0a < { | 3 }B m m a m a= > <或 A B 3 1a ≥ − 2a ≤ − 2a ≤ − a 2a ≤ − CE F 2EF FC= ,FB MF EDC∆ 2EM MD= 2EF FC= //MF CD ABCD 3AB AN= //BN CD //MF BN MF BN= BNMF //MN BF MN ⊄ BEC BF ⊂ BEC //MN∴ BEC A AB AD、 y z A AB x A xyz− 1AB = (0,1,0)B (0,1,1)C 0,0,1D（ ） ( 3 1 0)E −， ， ( 3 1 1)DE = − − ， ， (01 0)DC = ，， 设平面 的一个法向量 ，则 ，即 ， 不妨令 ，得 ， 设直线 与平面 所成的角为 ，则 . 所以直线 与平面 所成的角正弦值为 . 20.解：（1）证明：由平面几何的知识，易得 ， ， 又 ，所以在 中，满足 ，所以 为直角三角形， 且 . 因为四边形 为矩形， 所以 . 由 ， ， ， 可得 . 又 ， 所以平面 平面 . （2）存在点 ，使得二面角 为大小为 ，点 为线段 的中点. 事实上，以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立 空间直角坐标系 ， 则 , ， 设 ,由 ， 即 ，得 . CDE ( , , )x y z=n 1x = (1,0, 3)=n MN CDE θ MN CDE 2BD = 2AD = 2 2AB = ABD∆ 2 2 2AD BD AB+ = ABD∆ BD AD⊥ BDMN BD DM⊥ BD AD⊥ BD DM⊥ DM AD D= BD ADM⊥ 平面 BD ABD⊂ 平面 ADM ⊥ ABCD H H AD M− − H AB D DA x DB y D ABCD z D xyz− (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0)D A B (1,0,1)M ( , , )H x y z MH MN DBλ λ= =   ( ) ( )1, , 1 0,2,0x y z λ− − = (1,2 ,1)H λ 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 不妨设 ，取 . 平面 的一个法向量为 . 二面角 为大小为 于是 . 解得 或 （舍去）. 所以当点 为线段 的中点时，二面角 为大小为 . 21.解:（1）由题意知： ， . （2）因为 ，所以 ， 设直线 ： ，代入 ，得 ， 由 ，得 . 设 ，则 ， . 设直线 的倾斜角分别为 ， 则 ADH 1 1 1 1( , , )x y z=n 1 1y = 1 (0,1, 2 )λ= −n ADM 2 (0,1,0)=n  H AD M− − H MN H AD M− − 2, 1a b∴ = = ( ) ( )0,1 , 2,0B D l 2 22 2 2 0x mx m− + − = 2 2 24 4(2 2) 8 4 0m m m∆ = − − = − > 2 2m− < < 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 1 2 2x x m+ = 2 1 2 2 2x x m= − AM ,BN ,α β tan tan AM BNk kα β+ = + 将 ， 代入，得 . ， ， . 即直线 的倾斜角之和为定值 . 22.解:（1）由题意知： ， 又因为 ， ，解得 故椭圆 的方程为 ． （2）椭圆 上不存在这样的点 .事实上，设直线 的方程为 , 联立 ，得 , ，得 . 设 ，则 ， . 由 知 为平行四边形,而 为 的中点,也是 的中点. 于是设 , ,则 , 即 ，可得 . 因为 ,所以 . 若 在椭圆 上，则 ，矛盾. 因此,不存在满足条件的点 ． 1 2 2x x m+ = 2 1 2 2 2x x m= − tan tan 0α β+ = , (0, ), (0,2 )α β π α β π∈ ∴ + ∈ α β π+ = AM ,BN π 1b = 2 2 2a b c= + 2 2a = C C Q l 2y x t= + 2 29 2 8 0y ty t− + − = 2 24 36 8 0t (t )∆ = − − > 3 3t− < < 1 1 2 2,M( x ,y ),N( x y ) PM NQ=  PMQN D MN PQ 4 4Q( x ,y ) 3 3t− < < 4 4Q( x ,y ) 41 1y− ≤ ≤ ,P Q