数学理卷·2018届黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学东北三省三校高三第二次模拟考试（2018

数学理卷·2018届黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学东北三省三校高三第二次模拟考试（2018

东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）‎ ‎2018届高三第二次模拟考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．等比数列中，，，则（ ）‎ A． B．4 C． D． ‎ ‎4．已知向量，，若，则（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎5．执行如下的程序框图，若输出的值为，则“？”处可填（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ）‎ A．240 B．480 C．720 D．960 ‎ ‎7．函数的部分图象大致是（ ）‎ ‎8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．是双曲线的左右焦点，过且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 ‎ B．若,,则 ‎ C．若，,，则 ‎ D．若，且，点，直线，则 ‎11．甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”‎ ‎；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（ ）‎ A．甲和乙不可能同时获奖 B．丙和丁不可能同时获奖 ‎ C．乙和丁不可能同时获奖 D．丁和甲不可能同时获奖 ‎12．已知当时，关于的方程有唯一实数解，则值所在的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设随机变量，则 .‎ ‎14．已知递增的等差数列的前三项和为，前三项积为10，则前10项和 .‎ ‎15．函数在闭区间上的最小值是 . ‎ ‎16．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比 . ‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知三个内角所对的边分别是，若.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的外接圆半径为2，求周长的最大值.‎ ‎18．经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：‎ 其中：，，‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图； ‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到0.01）‎ ‎（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？‎ ‎19．如图，四棱柱的底面为菱形，，，为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若底面，且直线与平面所成线面角的正弦值为，求的长.‎ ‎20．椭圆:的左、右焦点分别为、，若椭圆过点 ‎.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若为椭圆的左、右顶点，（）为椭圆上一动点，设直线分别交直线：于点，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.‎ ‎21．已知函数，曲线在处的切线经过点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若当时，，求的取值范围.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线：.以为极点，轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程； ‎ ‎（2）射线（）与曲线的异于极点的交点为，与曲线的交点为，求.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）设的解集为集合，求集合； ‎ ‎（2）已知为集合中的最大自然数，且（其中为正实数），设.求证：.‎ 理科数学答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D A A C C B D B B C C B 二、填空题 ‎13. 14. 85 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17．（1）由正弦定理得，‎ ‎∴，∴，即 因为，则.‎ ‎（2）由正弦定理 ‎∴，，，‎ ‎∴周长 ‎∵，∴‎ ‎∴当即时 ‎∴当时，周长的最大值为.‎ ‎18. (1) ‎ ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎∴回归直线方程为.‎ ‎（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为（mmHg）∵‎ ‎∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群.‎ ‎19.（1）证明：设为的中点，连 因为，又，所以， 所以四边形是平行四边形，‎ 所以 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为是菱形，且，‎ 所以是等边三角形 取中点，则，‎ 因为平面，‎ 所以，‎ 建立如图的空间直角坐标系，令，‎ 则，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则且，‎ 取，设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 解得，故线段的长为2.‎ ‎20.(1)由已知，‎ ‎∴①‎ ‎∵椭圆过点，‎ ‎∴②‎ 联立①②得，‎ ‎∴椭圆方程为 ‎（2）设，已知 ‎∵，∴‎ ‎∴都有斜率 ‎∴‎ ‎∴③‎ ‎∵‎ ‎∴④‎ 将④代入③得 设方程 ‎∴方程 ‎∴‎ 由对称性可知，若存在定点，则该定点必在轴上，设该定点为 则 ‎∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴存在定点或以线段为直径的圆恒过该定点.‎ ‎21. （1）曲线在处的切线为，即 由题意得，解得 所以 从而 因为当时，，当时，.‎ 所以在区间上是减函数，区间上是增函数，‎ 从而.‎ ‎（2）由题意知，当时，，所以 从而当时，，‎ 由题意知，即，其中 设，其中 设，即，其中 则，其中 ‎（1）当时，因为时，，所以是增函数 从而当时，，‎ 所以是增函数，从而.‎ 故当时符合题意.‎ ‎（2）当时，因为时，，‎ 所以在区间上是减函数 从而当时，‎ 所以在上是减函数，从而 故当时不符合题意.‎ ‎（3）当时，因为时，，所以是减函数 从而当时，‎ 所以是减函数，从而 故当时不符合题意 综上的取值范围是.‎ ‎22. （1）曲线的参数方程（为参数）‎ 可化为普通方程，‎ 由，可得曲线的极坐标方程为，‎ 曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）射线（）与曲线的交点的极径为，‎ 射线（）与曲线的交点的极径满足，解得，‎ 所以.‎ ‎23．（1）即 当时，不等式化为，∴；‎ 当时，不等式化为，不等式恒成立；‎ 当时，不等式化为，∴.‎ 综上，集合.‎ ‎（2）由（1）知，则.‎ 则，同理，则 ‎，即.‎