2018-2019学年广东省肇庆联盟校高二上学期期末考试数学（文） 试题（解析版）

2018-2019学年广东省肇庆联盟校高二上学期期末考试数学（文） 试题（解析版）

广东省肇庆联盟校2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 抛物线y=‎‎1‎‎4‎x‎2‎的准线方程是‎(‎　　‎‎)‎ A. y=-1‎ B. y=-2‎ C. x=-1‎ D. ‎x=-2‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：抛物线y=‎‎1‎‎4‎x‎2‎的标准方程为x‎2‎‎=4y，焦点在y轴上，‎2p=4‎， ‎∴p‎2‎=1‎， ‎∴‎准线方程y=-p‎2‎=-1‎． 故选：A． 先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及‎2p=4‎，再直接代入即可求出其准线方程． 本题主要考查抛物线的基本性质‎.‎解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置． ‎ 2. 已知命题p：‎∀n∈N*‎，n‎2‎‎>‎1‎‎2‎n-1‎，则命题p的否定‎￢p为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎∀n∈N*‎，n‎2‎‎≤‎1‎‎2‎n-1‎ B. ‎∀n∈N*‎，n‎2‎‎<‎1‎‎2‎n-l C. ‎∃n∈N*‎，n‎2‎‎≤‎1‎‎2‎n-1‎ D. ‎∃n∈N*‎，‎n‎2‎‎<‎1‎‎2‎n-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：由全称命题的否定为特称命题可得 命题p：‎∀n∈N*‎，n‎2‎‎>‎1‎‎2‎n-1‎，则命题p的否定‎￢p为‎∃n∈N*‎，n‎2‎‎≤‎1‎‎2‎n-1‎， 故选：C． 由全称命题的否定为特称命题，注意不等号的改变． 本题考查命题的否定，考查转化思想，属于基础题． ‎ 3. 过点‎(1,2)‎且与直线l：‎3x+4y-1=0‎垂直的直线方程为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎4x+3y-2=0‎ B. ‎4x+3y+2=0‎ C. ‎4x-3y-2=0‎ D. ‎‎4x-3y+2=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：设与直线l：‎3x+4y-1=0‎垂直的直线方程为 ‎4x-3y+m=0‎， 把点‎(1,2)‎代入方程得‎4×1-3×2+m=0‎， ‎ 解得m=2‎， 所以所求的直线方程为‎4x-3y+2=0‎． 故选：D． 设与直线l垂直的直线方程为‎4x-3y+m=0‎， 把点‎(1,2)‎代入方程求得m的值，即可写出所求直线方程． 本题考查了直线的方程与垂直关系的应用问题，是基础题． ‎ 1. ‎“x<2‎”是“‎1‎x-2‎‎<0‎”的‎(‎　　‎‎)‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】解：由‎1‎x-2‎‎<0‎得x-2<0‎得x<2‎， 即“x<2‎”是“‎1‎x-2‎‎<0‎”的充要条件， 故选：A． 求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． ‎ 2. 椭圆x‎2‎m‎+y‎2‎‎9‎=1‎的焦距是4，则实数m的值为‎(‎　　‎‎)‎ A. 5 B. 13 C. 5或13 D. 8或15‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：‎①‎当椭圆焦点在x轴上时， a‎2‎‎=m，b‎2‎‎=9‎，得c=a‎2‎‎-9‎=‎m-9‎ ‎∴‎焦距‎2c=2m-9‎=4‎，解之得m=13‎． ‎②‎椭圆焦点在y轴上时， a‎2‎‎=9‎，b‎2‎‎=m，得c=‎‎9-m， 焦距‎2c=2‎9-m=4‎，解之得m=5‎． 综上所述，得m=13‎或5． 故选：C． 分椭圆的焦点在x轴或y轴两种情况，根据椭圆基本量的关系建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值． 本题给出含有字母参数m的方程，在已知焦距的情况下求参数的值，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念，属于基础题． ‎ 3. 设m，n是两条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，其中不能得到α⊥β的是‎(‎　　‎‎)‎ A. m⊂β，m//n，n⊥α B. m//α，m//n，n⊥β C. m⊥n，m⊂α，n⊂β D. m⊥β，m//α，‎n//β ‎【答案】C ‎【解析】解：由m，n是两条直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A中，m⊂β，m//n，n⊥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A错误； 在B中，m//α，m//n，n⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B错误； 在C中，m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故C正确； 在D中，m⊥β，m//α，n//β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误． 故选：C． 在A中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在B中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． ‎ 1. 一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎24cm‎3‎ B. ‎48cm‎3‎ C. ‎32cm‎3‎ D. ‎96cm‎3‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由三视图可判断该几何体是一个直三棱柱 其底面边长为6，高为4 棱柱高也为4 故V=‎1‎‎2‎×6×4×4=48‎ 故选：B． 由三视图我们易判断出该几何体是一个三棱柱，其底面底边长为6，高为4，棱柱高也为4，代入棱柱体积公式，即可得到答案． 本题考查的知识点是由三视图答案求体积，其中根据三视图判断几何体的形状，底面边长、高等几何量，是解答的关键． ‎ 2. 如图，在长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，AB=BC=2‎，AA‎1‎=1‎，则AC‎1‎与平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎所成角的正弦值为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎2‎‎2‎‎3‎ B. ‎2‎‎3‎ C. ‎2‎‎4‎ D. ‎1‎‎3‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：连接A‎1‎C‎1‎，在长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中， ‎∴A‎1‎A⊥‎平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎，则‎∠AC‎1‎A‎1‎为AC‎1‎与平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎所成角． 在‎△AC‎1‎A‎1‎中，sin∠AC‎1‎A‎1‎=AA‎1‎AC‎1‎=‎1‎‎1+‎2‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎3‎． 故选：D． 由题意连接A‎1‎C‎1‎，则‎∠AC‎1‎A‎1‎为所求的角，在‎△AC‎1‎A‎1‎计算． 本题主要考查了求线面角的过程：作、证、求，用一个线面垂直关系． ‎ 1. 若双曲线的一个焦点为‎(‎6‎,0)‎，一条渐近线方程为y=‎2‎x，则该双曲线的方程是‎(‎　　‎‎)‎ A. x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎‎2‎=1‎ B. x‎2‎‎2‎‎-y‎2‎‎4‎=1‎ C. y‎2‎‎8‎‎-x‎2‎‎4‎=1‎ D. ‎x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎‎8‎=1‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：设双曲线的方程为x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎， 由题意可得c=‎‎6‎， 双曲线的渐近线方程为y=‎2‎x， 由题意可得ba‎=‎‎2‎， 又a‎2‎‎+b‎2‎=6‎， 解得a=2‎，b=4‎ 即有双曲线的方程为：x‎2‎‎2‎‎-y‎2‎‎4‎=1‎． 故选：B． 设双曲线的方程为x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎，求出渐近线方程，以及c=‎‎6‎，再由a，b，c的关系可得a，b，即可得到所求双曲线的方程． 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用焦点坐标和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． ‎ 2. 已知P是抛物线y‎2‎‎=4x上的一个动点，则点P到点Q(0,1)‎的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎5‎ B. ‎5‎‎2‎ C. ‎3‎ D. ‎‎2‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'‎，抛物线的焦点为F，A(0,1)‎． ‎∵‎抛物线y‎2‎‎=4x，‎∴F(1,0)‎， 依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为‎|PP'|=|PF|‎， 则点P到点A(0,1)‎的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=‎‎2‎． 故选：D． 先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|‎，再求出‎|AF|‎的值即可． 本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点‎(0,1)‎的距离与到抛物线准线的距离之和转化为点P到点‎(0,1)‎的距离与P到焦点F的距离之和． ‎ 1. 已知半径为‎2‎‎5‎的圆M与圆x‎2‎‎+y‎2‎=5‎外切于点P(1,-2)‎，则圆心M的坐标为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎(-3,6)‎ B. ‎(-6,3)‎ C. ‎(3,-6)‎ D. ‎‎(2‎5‎,5)‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：根据题意，设要求圆M的圆心M的坐标坐标为‎(a,b)‎，圆x‎2‎‎+y‎2‎=5‎圆心为O(0,0)‎，半径r=‎‎5‎ 若圆M与圆x‎2‎‎+y‎2‎=5‎外切于点P(1,-2)‎，则必有M、P、O三点共线且‎|OM|=3‎‎5‎， 即b-0‎a-0‎‎=‎‎-2-0‎‎1-0‎a‎2‎‎+b‎2‎=45‎，解可得b=-6‎a=3‎或b=6‎a=-3‎‎(‎舍‎)‎； 即M的坐标为‎(3,-6)‎； 故选：C． 根据题意，设M的坐标为‎(a,b)‎，由圆与圆的位置关系可得b-0‎a-0‎‎=‎‎-2-0‎‎1-0‎a‎2‎‎+b‎2‎=45‎，解可得a、b的值，即可得答案． 本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程的应用，属于基础题． ‎ 2. 已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，‎∠ABF=‎π‎6‎，则该椭圆的离心率为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎3‎‎2‎ B. ‎3‎‎-1‎ C. ‎1‎‎2‎ D. ‎‎2‎‎2‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎上一点A关于原点的对称点为B， F‎1‎‎(-c,0)‎，F‎2‎‎(c,0)A(x‎0‎,y‎0‎)‎，B(-x‎0‎,-y‎0‎)‎， ‎∵AF⊥BF，设‎∠ABF=‎π‎6‎， ‎∴‎根据椭圆的对称性可知：四边形AF‎2‎BF‎1‎为矩形， ‎∴∴AF‎2‎=BF‎1‎=‎3‎x，F‎1‎F‎2‎‎=2x ‎∴x+‎3‎x=2a.F‎1‎F‎2‎=2c=2x， ‎∴(‎3‎+1)c=2a，‎ ‎ ‎∴ca=‎2‎‎3‎‎+1‎=‎3‎-1 ‎ 故选：B． 根据对称性得出四边形AF‎2‎BF‎1‎为矩形，设AF‎1‎=x，则BF‎1‎=‎3‎x，运用矩形的几何性质，得出边长， 再运用定义判断得出‎(‎3‎+1)c=2a，即可求解离心率． 本题考察了椭圆的几何性质，定义，解直角三角形，矩形的几何性质，运用数形结合数学解决代数问题，属于中档题． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 直线y=‎3‎x被圆x‎2‎‎+y‎2‎-4y=0‎所截得的弦长为______．‎ ‎【答案】‎‎2‎‎3‎ ‎【解析】解：由圆的方程x‎2‎‎+y‎2‎-4y=0‎可得，圆心坐标为‎(0,2)‎，半径R=2‎ 圆心到直线y=‎3‎x的距离d=1‎ 由半弦长，弦心距，半径构成直角三角形，满足勾股定理可得： l=2R‎2‎‎-‎d‎2‎=2‎3‎ ‎故答案为：‎2‎‎3‎ 由已知中直线与圆的方程，我们可以求出直线的一般方程，圆的圆心坐标及半径，根据半弦长，弦心距，半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出答案． 本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中直线与圆相交的弦长问题常根据半弦长，弦心距，半径构成直角三角形，满足勾股定理，即l=2‎R‎2‎‎-‎d‎2‎进行解答． ‎ 2. 设p：‎|x-1|≤1‎，q：x‎2‎‎-(2m+1)x+(m-1)(m+2)≤0.‎若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎‎[0,1]‎ ‎【解析】解：由‎|x-1|≤1‎得‎-1|≤x-1≤1‎，得‎0≤x≤2‎， 由x‎2‎‎-(2m+1)x+(m-1)(m+2)≤0‎得‎[x-(m-1)][x-(m+2)]≤0‎， 得m-1≤x≤m+2‎， 若p是q的充分不必要条件， 则m+2≥2‎m-1≤0‎，得m≥0‎m≤1‎，得‎0≤m≤1‎， 即实数m的取值范围是‎[0,1]‎， 故答案为：‎[0,1]‎， 求出p，q的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行转化求解即可． ‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式的关系进行转化是解决本题的关键． ‎ 1. 已知定点A(-2,0)‎，B(2,0)‎，动点P满足‎|PA|-|PB|=2‎，则动点P的轨迹方程为______．‎ ‎【答案】‎x‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1(x≥1)‎ ‎【解析】解：‎∵‎定点A(-2,0)‎、B(2,0)‎，动点P(x,y)‎满足：‎|PA|-|PB|=2‎， ‎∴‎动点P的轨迹为双曲线的右支，且c=2‎，a=1‎ ‎∴b‎2‎=3 ∴‎动点P的轨迹方程为：x‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1(x≥1)‎． 故答案为：x‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1(x≥1)‎． 根据定点A(-2,0)‎、B(2,0)‎，动点P(x,y)‎满足：‎|PA|-|PB|=2‎，可得动点P的轨迹为双曲线的右支，由此可求动点P的轨迹方程． 本题考查轨迹方程，考查双曲线的定义，正确运用双曲线的定义是关键． ‎ 2. 已知抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎的焦点为F，A为抛物线上异于顶点的一点，过点A作AB垂直于抛物线的准线，垂足为B，若‎|BF|=|AF|‎，且‎△ABF的面积为‎12‎‎3‎，则此抛物线的方程为______．‎ ‎【答案】‎y‎2‎‎=4‎3‎x ‎【解析】解：由抛物线的定义可得：‎|BF|=|AF|=|AB|‎，则‎△ABF是正三角形， ‎∴∠BFO=‎‎60‎‎∘‎，‎∵△ABF的面积为‎12‎‎3‎， ‎∴12‎3‎=‎3‎‎4‎|BF‎|‎‎2‎，可得‎|BF|=4‎‎3‎，则焦点F到准线的距离为：‎|BF|sin‎30‎‎∘‎=2‎‎3‎，‎∴p=2‎‎3‎，此抛物线的方程：y‎2‎‎=4‎3‎x.‎ 故答案为：y‎2‎‎=4‎3‎x.‎ 利用抛物线的定义以及三角形的面积，转化求解p，可得抛物线的标准方程即可． 本题考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 3. 在平面直角坐标系xOy中，直线l‎1‎：ax+by+1=0‎，l‎2‎：‎(a-2)x+y+a=0‎． ‎(1)‎求直线l‎2‎经过的定点的坐标； ‎(2)‎当b=4‎且l‎1‎‎//‎l‎2‎时，求实数a的值．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎直线l‎2‎：‎(a-2)x+y+a=0‎可化为a(x+1)+(y-2x)=0‎， 令y-2x=0‎x+1=0‎，解得y=-2‎x=-1‎， ‎∴‎对任意a∈R，直线l‎2‎经过定点‎(-1,-2)‎； ‎(2)‎当b=4‎时，直线l‎1‎为ax+4y+1=0‎， 即y=-a‎4‎x-‎‎1‎‎4‎； 又直线l‎2‎：‎(a-2)x+y+a=0‎，即y=(2-a)x-a； 当l‎1‎‎//‎l‎2‎时，有‎-a‎4‎=2-a‎-‎1‎‎4‎≠-a， 解得a=‎‎8‎‎3‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎把直线l‎2‎的方程化为a(x+1)+(y-2x)=0‎，令y-2x=0‎x+1=0‎求得直线l‎2‎经过的定点坐标； ‎(2)‎利用两直线的斜率相等且在y轴上的截距不等，求得实数a的值． 本题考查了直线方程的应用问题，是基础题． ‎ 1. 已知命题p：“椭圆x‎2‎a‎+y‎2‎‎5‎=1‎的焦点在x轴上”；命题q：“函数y=log‎2‎(x‎2‎+2x+a)‎的定义域为R”． ‎(1)‎若命题p为真命题，求实数a的取值范围； ‎(2)‎若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎椭圆x‎2‎a‎+y‎2‎‎5‎=1‎的焦点在x轴上”则a>5‎， 即实数a的取值范围是‎(5,+∞)‎． ‎(2)‎若函数y=log‎2‎(x‎2‎+2x+a)‎的定义域为R， 则x‎2‎‎+2x+a>0‎恒成立，即判别式‎△=4-4a<0‎，得a>1‎，即q：a>1‎， 若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题， 则p，q一个为真命题一个为假命题， 若p真q假，则a≤1‎a>5‎，此时a无解， 若p假q真，则a>1‎a≤5‎，得‎10)‎， 可得‎5=‎p‎2‎，即p=10‎， 可得抛物线的方程为y‎2‎‎=-20x； ‎(2)‎椭圆x‎2‎‎20‎‎+y‎2‎‎36‎=1‎的焦点为‎(0,±4)‎， ‎ 设双曲线的方程为y‎2‎a‎2‎‎-x‎2‎b‎2‎=1(a,b>0)‎， 可得a‎2‎‎+b‎2‎=16‎， y=±‎3‎x为渐近线，可得ab‎=‎‎3‎， 解得a=2‎‎3‎，b=2‎， 即有双曲线的方程为y‎2‎‎12‎‎-x‎2‎‎4‎=1‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎求得双曲线的焦点，设抛物线的方程为y‎2‎‎=-2px(p>0)‎，由题意可得p=10‎，即可得到所求抛物线方程； ‎(2)‎求得椭圆的焦点，设双曲线的方程为y‎2‎a‎2‎‎-x‎2‎b‎2‎=1(a,b>0)‎，结合积极性方程，可得a，b的方程组，即可得到所求双曲线方程． 本题考查圆锥曲线方程的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． ‎ 1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥‎底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PC的中点，且PD=3‎，AD=2‎，AB=4‎． ‎(1)‎求证：PA//‎平面BDE； ‎(2)‎若点F为线段PC上一点，且AF⊥BD，求四棱锥F-ABCD的体积．‎ ‎【答案】证明：‎(1)‎连结AC，交BD于O，连结OE， ‎∵‎四边形ABCD是矩形，‎∴O为AC中点， 又E为PC中点，‎∴OE//PA， 又PA⊄‎平面BDE，OE⊂‎平面BDE， ‎∴PA//‎平面BDE． 解：‎(2)‎过F作FK//PD，交CD于K， ‎∵PD⊥‎平面ABCD，‎∴FK⊥‎平面ABCD， 又BD⊂‎平面ABCD，‎∴FK⊥BD， ‎∵AF⊥BD，AF∩FK=F，AF，AK⊂‎平面AFK， ‎∴BD⊥‎平面AFK，连结AK，则AK⊥BD， 又ABCD是矩形，由题意‎△ADK∽‎△BAD， ‎∵AB=4‎，AD=2‎，‎∴DK=1‎， ‎∵FK//PD，‎∴FKPD=‎CKCD，‎∴FK=‎‎9‎‎4‎， ‎∵‎矩形ABCD面积为8， ‎∴‎四棱锥F-ABCD的体积V=‎1‎‎3‎×8×‎9‎‎4‎=6‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎连结AC，交BD于O，连结OE，推导出OE//PA，由此能证明PA//‎平面BDE． ‎(2)‎过F作FK//PD，交CD于K，则FK⊥‎平面ABCD，FK⊥BD，由AF⊥BD，得BD⊥‎平面AFK，连结AK ‎，则AK⊥BD，由此能求出四棱锥F-ABCD的体积． 本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． ‎ 1. 已知圆心在直线y=2x上的圆C与直线l：‎4x+3y+5=0‎相切于点‎(x‎0‎,‎1‎‎5‎).‎ ‎(1)‎求x‎0‎的值和圆C的标准方程； ‎(2)‎若经过点‎(-8,2)‎的直线m与圆C交于P(x‎1‎,y‎1‎)‎，Q(x‎2‎,y‎2‎)‎两点，且x‎1‎x‎2‎‎≠0‎，求证：‎1‎x‎1‎‎+‎‎1‎x‎2‎为定值．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎由‎4x‎0‎+‎3‎‎5‎+5=0‎，得x‎0‎‎=-‎‎7‎‎5‎， 过点‎(x‎0‎,‎1‎‎5‎)‎且与l垂直的直线方程为：y-‎1‎‎5‎=‎3‎‎4‎(x+‎7‎‎5‎).‎ 此直线与直线y=2x的交点为C(1,2).‎， 设圆C的半径为r，则r‎2‎‎=(-‎7‎‎5‎-1‎)‎‎2‎+(‎1‎‎5‎-2‎)‎‎2‎=9‎， ‎∴‎圆C的标准方程为‎(x-1‎)‎‎2‎+(y-2‎)‎‎2‎=9‎． ‎(2)‎当直线m的斜率不存在时，显然直线x=-8‎与圆C没有公共点，不合题意； 当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y-2=k(x+8)‎并代入圆C的方程整理得： ‎(1+k‎2‎)x‎2‎+(16k‎2‎-2)x+64k‎2‎-8=0‎， 则x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎16k‎2‎-2‎‎1+‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎64k‎2‎-8‎‎1+‎k‎2‎=‎‎4(16k‎2‎-2)‎‎1+‎k‎2‎， ‎∴‎1‎x‎1‎+‎1‎x‎2‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎x‎1‎x‎2‎=-‎‎1‎‎4‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎将切点坐标代入到直线l可得x‎0‎，然后联立直线y=2x与过切点且与切线垂直的直线可解得圆心C的坐标，从而可得半径r和圆C的方程； ‎(2)‎设出直线m并代入圆C，再利用韦达定理可得定值为‎-‎‎1‎‎4‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题． ‎ 2. 已知椭圆E：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎1‎‎2‎，F‎2‎、A、B分别为椭圆的右焦点、上顶点、右顶点，‎△F‎2‎AB的面积S=‎‎3‎‎2‎． ‎(1)‎求椭圆E的方程； ‎(2)‎已知过点‎(3,0)‎的直线l与椭圆交于两个不同点M、N，求OM‎⋅‎ON的取值范围．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎由题意知，ca‎=‎‎1‎‎2‎，‎∴a=2c，‎∴b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=‎3‎c， ‎∴F‎2‎(c,0)‎、A(0,‎3‎c)‎、B(2c,0)‎， ‎∴S‎△F‎2‎AB=‎1‎‎2‎(2c-c)×‎3‎c=‎3‎‎2‎c‎2‎=‎‎3‎‎2‎，‎∴c=1‎，‎∴a=2‎，b=‎‎3‎， ‎∴‎椭圆E的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎； ‎(2)‎设直线l的方程为x=my+3‎，设点M(x‎1‎,y‎1‎)‎、N(x‎2‎,y‎2‎)‎， 将直线l的方程与椭圆E的方程联立x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎x=my+3‎，消去y并整理得‎(3m‎2‎+4)y‎2‎+18my+15=0‎， ‎ ‎△=(18m‎)‎‎2‎-4×15×(3m‎2‎+4)>0‎‎，得m‎2‎‎>‎‎5‎‎3‎， 由韦达定理得y‎1‎‎+y‎2‎=-‎‎18m‎3m‎2‎+4‎，y‎1‎y‎2‎‎=‎‎15‎‎3m‎2‎+4‎， ‎∴OM⋅ON=x‎1‎x‎2‎+y‎1‎y‎2‎=(my‎1‎+3)(my‎2‎+3)+y‎1‎y‎2‎ ‎‎=(m‎2‎+1)y‎1‎y‎2‎+3m(y‎1‎+y‎2‎)+9=‎15(m‎2‎+1)-3m×18m‎3m‎2‎+4‎+9 ‎‎=9-‎39m‎2‎-15‎‎3m‎2‎+4‎=‎67‎‎3m‎2‎+4‎-4 ∵m‎2‎>‎‎5‎‎3‎，‎∴3m‎2‎+4>9‎，所以，‎0<‎67‎‎3m‎2‎+4‎<‎‎67‎‎9‎，则‎-4<‎67‎‎3m‎2‎+4‎-4<‎‎31‎‎9‎． 因此，OM‎⋅‎ON的取值范围为‎(-4,‎31‎‎9‎)‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎根据离心率得出a=2c，从而得出b=‎3‎c，将‎△F‎2‎AB的面积用c表示，可得出c的值，从而可得出a和b的值，进而得出椭圆E的方程； ‎(2)‎设直线l的方程为x=my+3‎，设点A(x‎1‎,y‎1‎)‎、B(x‎2‎,y‎2‎)‎，将直线l的方程与椭圆E的方程联立，计算‎△>0‎，得出m‎2‎的取值范围，并列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算计算OM‎⋅‎ON并代入韦达定理，结合不等式的性质可求出OM‎⋅‎ON的取值范围． 本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的几何性质以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，属于中等题． ‎