高考理科数学复习练习作业38

高考理科数学复习练习作业38

专题层级快练(三十八)‎ ‎(第一次作业)‎ ‎1．数列{1＋2n－1}的前n项和为(　　)‎ A．1＋2n　　　　　　　　 B．2＋2n C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n 答案　C ‎2．数列{(－1)n(2n－1)}的前2 016项和S2 016等于(　　)‎ A．－2 016 B．2 016‎ C．－2 015 D．2 015‎ 答案　B 解析　S2 016＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 015－1)＋(2×2 016－1)＝2＋2＋…＋2,1 008个2相加＝2 016.故选B.‎ ‎3．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a12＋a22＋a32＋…＋an2等于(　　)‎ A．(3n－1)2 B.(9n－1)‎ C．9n－1 D.(3n－1)‎ 答案　B 解析　因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．则n≥2时，an＝2·3n－1.‎ 当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3n－1(n∈N*)．‎ 则数列{an2}是首项为4，公比为9的等比数列，故选B.‎ ‎4．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　bn＝＝＝－，‎ S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝.‎ ‎5．已知数列{an}，an＝2n＋1，则＋＋…＋＝(　　)‎ A．1＋ B．1－2n C．1－ D．1＋2n 答案　C ‎6．(2017·山东日照一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝‎ ‎(　　)‎ A．6n－n2 B．n2－6n＋18‎ C. D. 答案　C 解析　由Sn＝n2－6n，得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2.‎ ‎∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，∴n≤3时，an<0；n>3时，an>0，‎ ‎∴Tn＝ ‎7．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于(　　)‎ A．13 B．10‎ C．9 D．6‎ 答案　D 解析　∵an＝＝1－，∴Sn＝n－(＋＋…＋)＝n－1＋.‎ 而＝5＋，∴n－1＋＝5＋.∴n＝6.‎ ‎8．已知等差数列{an}的公差为d，且an≠0，d≠0，则＋＋…＋可化简为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　∵＝(－)，∴原式＝(－＋－＋…＋－)‎ ‎＝(－)＝，选B.‎ ‎9．(2017·衡水中学调研卷)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝，则数列{}的前n项和为(　　)‎ A．1－ B．2－ C．2－ D．2－ 答案　B 解析　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d，因为S3＝6，S5＝，所以解得所以an＝n＋1，＝，设数列{}的前n项和为Tn，则Tn＝＋＋＋…＋＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，两项相减得Tn＝＋(＋＋…＋)－＝＋(1－)－，所以Tn＝2－.‎ ‎10．(2017·武汉联考)已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝，若bn＝anan＋1，则数列{bn}的前n项和Sn为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由an＋1＝得，＝＋2，∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴＝2n－1，又bn＝anan＋1，∴bn＝＝(－)，∴Sn＝(－＋－＋…＋－)＝，故选B.‎ ‎11．Sn＝＋＋…＋＝________．‎ 答案　 解析　通项an＝＝＝(－)，∴Sn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.‎ ‎12．已知数列{an}为等比数列．Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋an，且T1＝1，T2＝4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求{Tn}的通项公式．‎ 答案　(1)an＝2n－1　(2)Tn＝2n＋1－n－2‎ 解析　(1)T1＝a1＝1，T2＝2a1＋a2＝2＋a2＝4，∴a2＝2.‎ ‎∴等比数列{an}的公比q＝＝2.∴an＝2n－1.‎ ‎(2)方法一：Tn＝n＋(n－1)·2＋(n－2)·22＋…＋1·2n－1， ①‎ ‎2Tn＝n·2＋(n－1)22＋(n－2)23＋…＋1·2n， ②‎ ‎②－①，得Tn＝－n＋2＋22＋…＋2n－1＋2n＝－n＋ ‎＝－n＋2n＋1－2＝2n＋1－n－2.‎ 方法二：设Sn＝a1＋a2＋…＋an，∴Sn＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.‎ ‎∴Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an ‎＝a1＋(a1＋a2)＋…＋(a1＋a2＋…＋an)＝S1＋S2＋…＋Sn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)‎ ‎＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.‎ ‎13．(2015·新课标全国Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，an2＋2an＝4Sn＋3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．‎ 答案　(1)an＝2n＋1　(2)Tn＝ 解析　(1)由an2＋2an＝4Sn＋3，可知an＋12＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.‎ 可得an＋12－an2＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即 ‎2(an＋1＋an)＝an＋12－an2＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．‎ 由于an>0，可得an＋1－an＝2.‎ 又a12＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.‎ 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.‎ ‎(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝(－)．‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝.‎ ‎14．(2015·山东)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 答案　(1)an＝2n－1　(2)Tn＝ 解析　(1)设数列{an}的公差为d.‎ 令n＝1，得＝，所以a1a2＝3.‎ 令n＝2，得＋＝，所以a2a3＝15.‎ 解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n 所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋n·4n＋1，‎ 两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝×4n＋1－.‎ 所以Tn＝×4n＋1＋＝.‎ ‎(第二次作业)‎ ‎1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项之和为(　　)‎ A．2n－1　　　　　　　　 B．n·2n－n C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2‎ 答案　D 解析　记an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，‎ ‎∴Sn＝－n＝2n＋1－2－n.‎ ‎2．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)‎ A．0 B．100‎ C．－100 D．10 200‎ 答案　B 解析　由题意，得a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.‎ ‎3．(2017·宁夏银川一中模拟)已知数列2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，….这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S2 018等于(　　)‎ A．2 008 B．4 017‎ C．1 D．0‎ 答案　B 解析　由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1.‎ 故数列的前8项依次为2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，－1，2 008，2 009.‎ 由此可知该数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.‎ ‎∴2 018＝6×336＋2，∴S2 018＝S2＝2 008＋2 009＝4 017.‎ ‎4．(2015·江苏)数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{}的前10项和为________．‎ 答案　 解析　由题意得：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝，所以＝2(－)，Sn＝2(1－)＝，S10＝.‎ ‎5．数列{an}的通项公式an＝ncos＋1，前n项和为Sn，则S2 016＝________．‎ 答案　3 024‎ 解析　∵an＝ncos＋1，∴a1＋a2＋a3＋a4＝6，a5＋a6＋a7＋a8＝6，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝6，k∈N，∴S2 016＝504×6＝3 024.‎ ‎6．(2016·衡水中学调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝________．‎ 答案　3×21 008－3‎ 解析　依题意，得an＋1·an＝2n，an＋1·an＋2＝2n＋1，则＝2，即＝2，‎ 所以数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…是以a1＝1为首项，2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，…，a2k，…是以a2＝2为首项，2为公比的等比数列，则 S2 016＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 016)＝＋＝3×21 008－3.‎ ‎7．(2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则 ‎(1)a3＝________；‎ ‎(2)S1＋S2＋…＋S100＝________．‎ 答案　(1)－　(2)(－1)‎ 解析　(1)因为Sn＝(－1)nan－，则S3＝－a3－，S4＝a4－，解得a3＝－.‎ ‎(2)当n为偶数时，Sn＝an－，当n为奇数时，Sn＝－an－，‎ 可得当n为奇数时an＝－，‎ 又S1＋S2＋…＋S100＝(－a1－)＋(a2－)＋…＋(－a99－)＋(a100－)‎ ‎＝－a1＋a2＋…－a99＋a100－(＋＋…＋＋)‎ ‎＝S100－2(a1＋a3＋…＋a99)－(1－)‎ ‎＝S101－a101－2(－－－…－)－(1－)‎ ‎＝－－(－)＋2×－(1－)＝－(1－)＝(－1)．‎ ‎8．(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 答案　(1)an＝2n－1　(2)Tn＝1－ 解析　(1)由题设知，a1·a4＝a2·a3＝8，‎ 又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．‎ 由a4＝a1q3得公比为q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.‎ ‎(2)Sn＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，‎ 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝1－.‎ ‎9．(2016·浙江，文)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.‎ ‎(1)求通项公式an；‎ ‎(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．‎ 答案　(1)an＝3n－1‎ ‎(2) 解析　(1)由题意知则 又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an.‎ 所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.‎ ‎(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.‎ 当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.‎ 当n≥3时，‎ Tn＝3＋－＝，‎ 所以Tn＝ ‎10．(2016·北京，文)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．‎ 答案　(1)an＝2n－1 (2)Sn＝n2＋ 解析　(1)等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，‎ 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.∴bn＝3n－1.‎ 设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.‎ 所以an＝2n－1(n＝1，2，3，…)．‎ ‎(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.‎ 从而数列{cn}的前n项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.‎ ‎11．数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列{}是等差数列；‎ ‎(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 答案　(1)略　(2)Sn＝ 解析　(1)证明：由题意，得＝＋1，即－＝1，‎ 所以{}是以＝1为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎(2)解：由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.‎ 所以bn＝n·3n.‎ Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n， ①‎ ‎3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1. ②‎ ‎①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.‎ 所以Sn＝.‎