2017年上海市杨浦区高考一模数学

2017年上海市杨浦区高考一模数学

2017 年上海市杨浦区高考一模数学 一、填空题(本大题满分 54 分)共 12 小题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分 1.若“a＞b”，则“a3＞b3”是____命题(填：真、假) 解析：函数 f(x)=x3 在 R 是单调增函数，∴当 a＞b，一定有 a3＞b3，故是真命题. 答案：真. 2.已知 A=(﹣∞，0]，B=(a，+∞)，若 A∪B=R，则 a 的取值范围是____. 解析：若 A∪B=R，A=(﹣∞，0]，B=(a，+∞)， 必有 a≤0. 答案：a≤0. 3.z+2 z =9+4i(i 为虚数单位)，则|z|=____. 解析：设 z=x+yi(x，y∈R)，∵z+2 z =9+4i，∴x+yi+2(x﹣yi)=9+4i，化为：3x﹣ yi=9+4i， ∴3x=9，﹣y=4，解得 x=3，y=﹣4. ∴ 223 ( 4) 5z     . 答案：5. 4.若△ABC 中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC 面积的最大值是____. 解析：在△ABC 中，∵C=30°，a+b=4， ∴△ABC 的面积 21 1 1 1 1sin sin 30 4 12 2 4 4)4 ( 2S ab C ab bab a          ，当且仅 当 a=b=2 时取等号. 答案：1. 5.若函数   2g 1lo xfx a x   的反函数的图象经过点(﹣2，3)，则 a=____. 解析：∵函数   2g 1lo xfx a x   的反函数的图象经过点(﹣2，3)， ∴函数   2g 1lo xfx a x   的图象经过点(3，﹣2)， ∴ 2 32 log 31 a  ， ∴a=2. 答案：2. 6.过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60°，则该 截面的面积是____. 解析：设截面的圆心为 Q， 由题意得：∠OAQ=60°，QA=1， ∴S=π·12=π. 答案：π. 7.抛掷一枚均匀的骰子(刻有 1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作 a，b，c，则 a+bi(i 为虚数单位)是方程 x2﹣2x+c=0 的根的概率是____. 解析：抛掷一枚均匀的骰子(刻有 1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作 a，b， c， 基本事件总数 n=6×6×6=216， ∵a+bi(i 为虚数单位)是方程 x2﹣2x+c=0 的根， ∴(a+bi)2﹣2(a+bi)+c=0， 即 22 20 22 a b c a ab b        ，∴a=1，c=b2+1， ∴a+bi(i 为虚数单位)是方程 x2﹣2x+c=0 的根包含的基本事件为： (1，1，2)，(1，2，5)， ∴a+bi(i 为虚数单位)是方程 x2﹣2x+c=0 的根的概率是 21 216 108p . 答案： 1 108 . 8.设常数 a＞0， 9()ax x  展开式中 x6 的系数为 4，则  2lim n na a a    =____. 解析：∵常数 a＞0， 展开式中 x6 的系数为 4， ∴ 18 3 9 22 1 9 9 rr r r r r r rT C x a x a C x   ， 当18 3 62 r  时，r=2， ∴ 22 9 4aC  ，解得 1 3a  ， ∴ 2 2 11(1 )1 1 1 1 133 (1 )13 3 3 2 31 3 nn nna a a            ， ∴  2 1 1 1lim lim[ (1 )]2 3 2 n nnn a a a      . 答案： 1 2 . 9.已知直线 l 经过点( 5,0) 且方向向量为(2，﹣1)，则原点 O 到直线 l 的距离为____. 解析：直线的方向向量为(2，﹣1)，所以直线的斜率为：﹣ 1 2 ，直线方程为：x+2y+ 5 =0， 由点到直线的距离可知： 22 5 1 12   ； 答案：1. 10.若双曲线的一条渐近线为 x+2y=0，且双曲线与抛物线 y=x2 的准线仅有一个公共点，则 此双曲线的标准方程为____. 解析：抛物线 y=x2 的准线： 1 4y  ， 双曲线与抛物线 y=x2 的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为 1 4a  ，焦点在 y 轴 上. 双曲线的一条渐近线为 x+2y=0，∴ 1 2 a b  ， 可得 1 2b  ， 则此双曲线的标准方程为： 22 111 16 4 yx. 答案： 22 111 16 4 yx. 11.平面直角坐标系中，给出点 A(1，0)，B(4，0)，若直线 x+my﹣1=0 存在点 P，使得 |PA|=2|PB|，则实数 m 的取值范围是____. 解析：设 P(1﹣my，y)， ∵|PA|=2|PB|， ∴|PA|2=4|PB|2， ∴(1﹣my﹣1)2+y2=4(1﹣my﹣4)2+y2， 化简得(m2+1)y2+8my+12=0 则△=64m2﹣48m2﹣48≥0， 解得 m≥ 3 或 m≤﹣ 3 ， 即实数 m 的取值范围是 m≥ 3 或 m≤﹣ 3 . 答案：m≥ 3 或 m≤﹣ 3 . 12.函数 y=f(x)是最小正周期为 4 的偶函数，且在 x∈[﹣2，0]时，f(x)=2x+1，若存在 x1，x2，…xn 满足 0≤x1＜x2＜…＜xn，且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x1)|+…+|f(xn﹣1﹣ f(xn))|=2016，则 n+xn 的最小值为____. 解析：∵函数 y=f(x)是最小正周期为 4 的偶函数，且在 x∈[﹣2，0]时，f(x)=2x+1， ∴函数的值域为[﹣3，1]，对任意 xi，xj(i，j=1，2，3，…，m)，都有|f(xi)﹣f(xj)|≤ f(x)max﹣f(x)min=4， 要使 n+xn 取得最小值，尽可能多让 xi(i=1，2，3，…，m)取得最高点，且 f(0)=1，f(2)= ﹣3， ∵0≤x1＜x2＜…＜xm，|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(x n﹣1)﹣f(xn)|=2016， ∴n 的最小值为 2016 1 5054  ，相应的 xn 最小值为 1008，则 n+xn 的最小值为 1513. 答案：1513. 二、选择题(本大题共 4 题，满分 20 分) 13.若 a 与bc 都是非零向量，则“ a b a c   ”是“ ()a b c”的( ) A.充分但非必要条件 B.必要但非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 解析：“ ”⇔“ 0a b a c    ”⇔“ ( ) 0a b c   ”⇔“ ”， 故“ ”是“ ”的充要条件. 答案：C 14.行列式 1 4 7 258 369 中，元素 7 的代数余子式的值为( ) A.﹣15 B.﹣3 C.3 D.12 解析：∵行列式 1 4 7 258 369 ， ∴元素 7 的代数余子式为： D13=(﹣1)4 25 36 =2×6﹣5×3=﹣3. 答案：B. 15.一个公司有 8 名员工，其中 6 名员工的月工资分别为 5200，5300，5500，6100， 6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么 8 位员工月工资的中位数不可能是( ) A.5800 B.6000 C.6200 D.6400 解析：∵一个公司有 8 名员工，其中 6 名员工的月工资分别为 5200，5300，5500，6100， 6500，6600， ∴当另外两名员工的工资都小于 5300 时，中位数为 5300 5500 54002   ， 当另外两名员工的工资都大于 6500 时，中位数为 6100 6500 63002   ， ∴8 位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]， ∴8 位员工月工资的中位数不可能是 6400. 答案：D. 16.若直线 1xy ab通过点 P(cos ，sin )，则下列不等式正确的是( ) A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C. 22 111ab D. 22 111ab 解析：直线 通过点 P(cos ，sin )， ∴bcos +asin =ab， ∴ 22sin( )a b ab   ，其中 tan b a  ， ∴ 22a b ab， ∴a2+b2≥a2b2， ∴ 22 111ab， 答案：D 三、解答题(满分 76 分)共 5 题 17.某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为 55 毫米线段 AB 和 88 毫米的线段 AC 以及圆心 为 P，半径为 PB 的一段圆弧 BC 构成，其中∠BAC=60°. (1)求半径 PB 的长度； (2)现知该零件的厚度为 3 毫米，试求该零件的重量(每 1 个立方厘米铜重 8.9 克，按四舍 五入精确到 0.1 克).V 柱=S 底·h. 解析：(1)在△ABP 中，由余弦定理建立方程，即可求半径 PB 的长度； (2)求出 V 柱=S 底·h，即可求该零件的重量. 答案：(1)∵AB=55，AC=88，BP=R，∠BAC=60°.AP=88﹣R， ∴在△ABP 中，由余弦定理可得：BP2=AB2+AP2﹣2AB·AP·cos∠BAC，可得：R2=552+(88﹣ R)2﹣2×55×(88﹣R)×cos60°， ∴解得：R=49mm. (2)在△ABP 中，AP=88﹣49=39mm，AB=55，BP=49， 2 2 239 49 55 897cos 0.23472 39 49 3822BPA     ， ∴sin∠BPA≈0.972. ∴∠BPA=arcsin0.972. V 柱=S 底·h=(S△ABP+S 扇形 BPC) ·h= 21 3 (arcsin 0.972) 49( 55 39 ) 32 2 360       该零件的重量= 21 3 (arcsin 0.972) 49( 55 39 ) 32 2 360       ÷1000×8.9≈82.7. 18.如图所示，l1，l2 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点 A，B 在直线 l1 上，且位于 M 点的两侧，C 在 l2 上，AM=BM=NM=CN (1)求证：异面直线 AC 与 BN 垂直； (2)若四面体 ABCN 的体积 VABCN=9，求异面直线 l1，l2 之间的距离. 解析：(1)欲证 AC⊥NB，可先证 BN⊥面 ACN，根据线面垂直的判定定理只需证 AN⊥BN，CN ⊥BN 即可； (2)判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可. 答案：(1)证明：由已知 l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得 l2⊥平面 ABN. 由已知 MN⊥l1，AM=MB=MN， 可知 AN=NB 且 AN⊥NB. 又 AN 为 AC 在平面 ABN 内的射影. ∴AC⊥NB (2)∵AM=BM=NM=CN，MN 是它们的公垂线段， 就是异面直线 l1，l2 之间的距离， 由中垂线的性质可得 AN=BN，四面体 ABCN 的体积 VABCN=9， 可得： 31 1 19 3 2 3ABCNV AB MN CN MN      ， ∴MN=3. 异面直线 l1，l2 之间的距离为 3. 19.如图所示，椭圆 C： 2 2 4 1x y，左右焦点分别记作 F1，F2，过 F1，F2 分别作直线 l1， l2 交椭圆 AB，CD，且 l1∥l2. (1)当直线 l1 的斜率 k1 与直线 BC 的斜率 k2 都存在时，求证：k1·k2 为定值； (2)求四边形 ABCD 面积的最大值. 解析：(1)由椭圆方程求出焦点坐标，得到直线 AB、CD 的方程，与椭圆方程联立求得 A、D 的坐标，求出 AD 所在直线斜率得答案； (2)由(1)结合弦长公式求得|AB|，再由两平行线间的距离公式求出边 AB、CD 的距离，代入 平行四边形面积公式，利用换元法求得最值. 答案：(1)证明：由椭圆 C： ，得 a2=4，b2=1，∴ 22 3c a b   . 设 k1=k，则 AB 所在直线方程为 y=kx+ 3 k，CD 所在直线方程为 y=kx﹣ 3 k， 联立 2 2 4 3 1 y kx k yx    ，得(1+4k2)x2+8 3 k2x+12k2﹣4=0. 解得 22 2 4 3 2 1 14 kkx k     ，不妨取 22 2 4 3 2 1 14 ＝B kkx k     ，则 2 2 3 2 1 14 ＝B k k ky k   同理求得 22 2 4 3 2 1 14C kkx k   ， 2 2 3 2 1 14 ＝C k k ky k     . 则 22 2 22 2 2 2 3 2 1 3 2 1 2 3 1 4834 3 2 1 4 3 2 1 ＝ k k k k k k kk kkk k k k               ，则 12 11· ()44k k k k     ； (2)解：由(1)知， 2 2 83 14 ＝AB kxx k ， 2 2 12 4 14 ＝AB kxx k      2 222 222 2 2 2 418 3 48 161 4 1 1 4 1 4 1 4A B A B kkkAB k x x x x k k k k              . AB、CD 的距离 2 23 1 kd k   ，     2 42 22 2 2 41 23 8314 1 14 四边形 ＝ABCD k k kkS k k k     . 令 1+4k2=t(t≥1)， 则 23 1 1 1 183 16 8 16 ＝S tt              ，∴当 t=3 时，Smax=4. 20.数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1﹣an(n∈N*) (1)若 an=n2﹣n，试判断{△an}是否是等差数列，并说明理由； (2)若 a1=1，△an﹣an=2n，求数列{an}的通项公式； (3)对(b)中的数列{an}，是否存在等差数列{bn}，使得 12 12 n n n n n nbC b C b C a   ，对一 切 n∈N*都成立，若存在，求出数列{bn}的通项公式，若不存在，请说明理由. 解析：(1)根据数列{an}的通项公式 an=n2﹣n，结合新定义，可判定{△an}是首项为 4，公差 为 2 的等差数列； (2)由△an﹣an=2n 入手能够求出数列{an}的通项公式； (3)结合组合数的性质：1Cn 1+2Cn 2+3Cn 3+…+nCn n=n(Cn﹣1 0+Cn﹣1 1+Cn﹣1 2+…+Cn﹣1 n﹣1)=n·2n﹣1 进行求 解. 答案：(1)若 an=n2﹣n，试判断{△an}是等差数列，理由如下： ∵an=n2﹣n， ∴△an=an+1﹣an=(n+1)2﹣(n+1)﹣(n2﹣n)=2n， ∵△an+1﹣△an=2，且△a1=4， ∴{△an}是首项为 4，公差为 2 的等差数列； (2)∵△an﹣an=2n.△an=an+1﹣an， ∴an+1﹣2an=2n， ∴ 1 1 1 2 2 2 nn nn aa  ， ∴数列 2 n n a 构成以 1 2 为首项， 1 2 为公差的等差数列， 即 1222 ﹣nn nn a n an    ； (3)b1Cn 1+b2Cn 2+…+bnCn n=an，即 b1Cn 1+b2Cn 2+…+bnCn n=n·2n﹣1， ∵1Cn 1+2Cn 2+3Cn 3+…+nCn n=n(Cn﹣1 0+Cn﹣1 1+Cn﹣1 2+…+Cn﹣1 n﹣1)=n·2n﹣1， ∴存在等差数列{bn}，bn=n，使得 b1Cn 1+b2Cn 2+…+bnCn n=an 对一切自然 n∈N 都成立. 21.对于函数 f(x)(x∈D)，若存在正常数 T，使得对任意的 x∈D，都有 f(x+T)≥f(x)成 立，我们称函数 f(x)为“T 同比不减函数”. (1)求证：对任意正常数 T，f(x)=x2 都不是“T 同比不减函数”； (2)若函数 f(x)=kx+sinx 是“ 2  同比不减函数”，求 k 的取值范围； (3)是否存在正常数 T，使得函数 f(x)=x+|x﹣1|﹣|x+1|为“T 同比不减函数”；若存在， 求 T 的取值范围；若不存在，请说明理由. 解析：(1)根据 T 同比不减函数的定义即可证明， (2)根据 T 同比不减函数的定义，分离参数得到 22sin()4 ﹣kx  ，根据三角形函数的性 质即可求出 k 的范围， (3)画出函数 f(x)的图象，根据图象的平移即可求出 T 的范围. 答案：(1)∵f(x)=x2， ∴f(x+T)﹣f(x)=(x+T)2﹣x2=2xT+T2=T(2x+T)， 由于 2x+T 与 0 的小无法比较， ∴f(x+T)≥f(x)不一定成立， ∴对任意正常数 T，f(x)=x2 都不是“T 同比不减函数， (2)∵函数 f(x)=kx+sinx 是“ 同比不减函数， ∴ sin sin2 2 2 （ ） （ ） （ ） （ ）f x f x k x x kx x          = cos sin 2 sin 02 2 4 （ ）kkx x x        恒成立， ∴ 22sin 4 （ ）kx ， ∵﹣1≤sin(x﹣ 4  )≤1， ∴ 22k  ， (3)f(x)=x+|x﹣1|﹣|x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移 4 个单 位，即对任意的 x∈D，都有 f(x+T)≥f(x)成立， ∴T≥4.