四川省泸县第一中学2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题

四川省泸县第一中学2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题

‎2020年春四川省泸县第一中学高三第四学月考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数，则当时，复数在复平面内对应的点在 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知向量，，且，则 ‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．‎ ‎①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；‎ ‎②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；‎ ‎③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；‎ ‎④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.当时，函数的图象大致是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是 ‎ A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 ‎7.设等差数列的前项和为，若，，则 ‎ A.21 B.22 C.11 D.12‎ ‎8.已知角的终边与单位圆交于点，则等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为，小张离开家的时间为，‎ 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为 ‎ A. B. C. D.1‎ ‎12.若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.若函数的图象在点处的切线平行于轴，则________.‎ ‎14.已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，的面积为，则的值等于________.‎ ‎15.学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是或作品获得一等奖”； 乙说：“ 作品获得一等奖”；‎ 丙说：“ 两件作品未获得一等奖”； 丁说：“是作品获得一等奖”．‎ 评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_________．‎ ‎16.若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点，与的一个交点为，若，则____．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）等比数列中，．‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)记为的前项和．若，求．‎ ‎18.（12分）如图，在直三棱柱中，分别是中点，且，.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）求点到平面的距离.‎ ‎19.（12分）‎ 国家统计局进行第四次经济普查，某调查机构从15个发达地区，10个欠发达地区，5个贫困地区中选取6个作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区.普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：‎ 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 个体经营户 ‎90‎ ‎60‎ ‎150‎ 合计 ‎130‎ ‎70‎ ‎200‎ ‎（I）写出选择6个国家综合试点地区采用的抽样方法；‎ ‎（II）根据列联表判断是否有97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”，分析造成这个结果的原因并给出合理化建议.‎ 附：参考公式： ，其中 ‎ 参考数据：‎ ‎ ‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎ ‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎20.（12分）已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）若圆上存在两点，，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形面积的取值范围.‎ ‎21.（12分）已知函数，．‎ ‎（I）当时，讨论函数的单调性；‎ Ⅱ若函数有两个极值点，，且，求证．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，‎ ‎（I）设为参数，若，求直线的参数方程；‎ ‎（II）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数. ‎ ‎（I）求的最小值；‎ ‎（II）若， ， 均为正实数，且满足，求证： .‎ ‎2020年春四川省泸县第一中学高三第四学月考试 文科数学答案 ‎1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B 9.D 10.A 11.C 12.D ‎13. 14. 15.B 16.‎ ‎17解：(Ⅰ)设数列的公比为，‎ ‎∴，∴，∴或，‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知或，‎ ‎∴或(舍去)，‎ 解得．‎ ‎18.（1）因为，，‎ ‎，是的中点，，‎ 为直三棱柱，所以平面，‎ 因为为中点，所以 ‎ 平面，，又,平面 ‎（2），‎ 又分别是中点，‎ ‎.‎ 由（1）知，,‎ 又平面,‎ 取中点为,连接如图,则，平面，‎ 设点到平面的距离为，‎ 由，得，‎ 即，解得，‎ 点到平面的距离为.‎ ‎19（1）分层抽样 ‎（2）由列联表中的数据可得的观测值 ‎ ‎ 所以有97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记”是否顺利与普查对象类别有关 原因：1.居民对普查不够重视， 不愿意积极配合；‎ ‎2.企事业单位工作时间固定，个体经营者相对时间不固定 建议：1.要加大宣传力度，宣传要贴近居民生活，易被居民接受；‎ ‎2.合理的安排普查时间，要结合居民工作特点.‎ ‎20.（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，，‎ ‎∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ 又，解得.∴椭圆的方程为 ‎（2）由（1）可知圆的方程为，‎ ‎（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，‎ 此时 ‎（ii）当直线的斜率为零时，.‎ ‎（iii）当直线的斜率存在且不等于零时，设直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 设的横坐标分别为，则.‎ 所以，‎ ‎（注：的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.）‎ 由可得直线的方程为，联立椭圆的方程消去，‎ 得 设的横坐标为，则.‎ ‎.‎ 综上，由（i）（ii）（ⅲ）得的取值范围是.‎ ‎21.解：，‎ ‎，‎ 令，，，‎ 令则，当，即时，‎ 令则；令则．‎ 此时函数在上单调递减；在上单调递增．‎ 当，即时，‎ 令，则；‎ 令则，‎ 此时函数在上单调递减；在和上单调递增．‎ 由知，若有两个极值点，‎ 则且，‎ 又，是的两个根，则，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 令，则，令，则，‎ 所以在上单调递减；在上单调递增．‎ ‎，‎ ‎，，得证．‎ ‎22.（1）直线的极坐标方程为即，‎ 因为为参数，若，代入上式得，‎ 所以直线的参数方程为（为参数）‎ ‎（2）由，得，‎ 由，代入，得 ‎ 将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，‎ 得.（*）‎ 则且，，‎ 设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.‎ 则，，，‎ 由题设得.‎ 则有，得或.因为，所以 ‎23.（1）当时， ；‎ 当时， ；‎ 当时， .‎ 综上， 的最小值.‎ ‎（2）证明： ， ， 均为正实数，且满足，‎ 因为，‎ ‎，‎ ‎ .‎ ‎（当且仅当时，取等号），‎ 所以，即.‎