数学理·福建省连城县第三中学2017届高三上学期期中考试理数试题+Word版含解析]

数学理·福建省连城县第三中学2017届高三上学期期中考试理数试题+Word版含解析]

全*品*高*考*网， 用后离不了！福建省连城县第三中学2017届高三上学期期中考试 理数试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知复数满足，则的最大、最小值为（ ）‎ A．5，3 B．6，4 C．7，5 D．6，5‎ ‎【答案】B 考点：复数的几何意义及运用.‎ ‎2.等比数列的前项和为，若，，则等于（ ）‎ A．-3 B．5 C．-31 D．33‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因,则,故,故 ‎,所以,应选D.‎ 考点：等比数列的前项和及综合运用.‎ ‎3.下列四组函数，表示同一函数的是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．， ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因,故应选C.‎ 考点：函数的定义域与解析表达式.‎ ‎4.以依次表示方程的根，则的大小顺序为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C 考点：指数函数的图象和性质的运用.‎ ‎5.的各项系数之和大于8，小于32，则展开式中系数最大的项是（ ）‎ A． B． C. D．或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题设令可得各项系数的之和为,即,解之得,因此系数最大的项也就是二项式系数最大的项,故中间一项的系数最大,即,故应选A.‎ 考点：二项式定理及展开式的性质.‎ ‎6.函数图像上的动点到直线的距离为，点到轴的距离为，则 ‎=（ ）‎ A．5 B． C. D．不确定的正数.‎ ‎【答案】B 考点：函数的图象和性质及运用.‎ ‎7.已知是偶函数，当时，，且当时，恒成 立，则的最小值是（ ）‎ A．1 B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因函数是偶函数，当时，,故当,函数,则由偶函数的对称性可知,故,应选A.‎ 考点：函数的简单性质的综合运用.‎ ‎8.如图，正方体中， 分别为棱和中点为棱上任意一点，‎ 则直线与直线所成的角为（ ）‎ A．30° B．45° C.60° D．90°‎ ‎【答案】D 考点：空间向量的数量积公式及运用.‎ ‎【易错点晴】本题借助题设条件,巧妙建构空间直角坐标系,‎ 从而将问题合理转化为向量的坐标运算.求解时先求出向量，再运用向量的数量积公式求得，进而推断,所以直线与直线所成的角为．从而使得问题简捷巧妙地获解.‎ ‎9.抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是,反复投掷，数列定义如下:‎ ‎，若,则事件的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由于事件表示反复抛掷硬币次硬币,其中出现正面向上的次数是三次或四次,其概率是,故应选A.‎ 考点：数列求和及古典概型的计算公式的综合运用.‎ ‎10.抛物线的准线与轴交于点，若绕点以每秒弧度的角速度按逆时针 方向旋转秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则等于（ ）‎ A．1 B．2 C.3 D．4‎ ‎【答案】C 考点：直线与抛物线的位置关系及运用.‎ ‎【易错点晴】抛物线是典型的圆锥曲线之一，也是高中数学重要知识点之一．本题在求解时，先建立直线的方程，进而与抛物线的方程联立消去得,即,然后再借助直线与抛物线相切建立方程求得,当不合题设舍去,故，最后再转化为倾斜角的问题来处理,求出所用时间使得问题获解.‎ ‎11.函数图象如图，则函数的单调递减区间为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A 考点：导数对数函数的知识及二次函数二次不等式的解法等知识的综合运用.‎ ‎【易错点晴】本题将函数的图象、极值点、函数的单调性、二次函数的根于系数之间的关系等知识有机结合在一起,综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.‎ 求解时先借助题设中提供的图形信息求出函数解析式中的参数的值分别为,再通过解不等式求出函数的定义域为或,依据函数的单调须在定义域内,从而确定函数的单调递减区间是导数.‎ ‎12.若关于的方程的两个实数根，满足 ‎，则的最大值和最小值分别为（ ）‎ A．和 B．和 C.和12 D．和 ‎【答案】B 考点：线性规划的知识及直线与圆的位置关系和函数的零点等知识的综合运用.‎ ‎【易错点晴】本题以方程的根的取值范围 为背景,其目的在考查二元二次不等式组所表示的区域的几何意义.意在综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先借助题设中提供方程根,建立不等式组,然后再借助的几何意义,将问题转化为求区域内的动点与定点连线的距离的平方再减去,最后借助图形求出其最大值和最小值.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．）‎ ‎13.已知是直线上的三点，向量,,满足：‎ ‎.则函数的表达式 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由向量共线的充要条件及可得,即,则,则,所以.故应填答案.‎ 考点：向量的几何运算和求导法则的综合运用．‎ ‎14.如图，海平面上我军舰位于中心的南偏西30°，与相距10海里的处，现军舰以30海里/‎ 小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向20海里的处遭海盗袭击的商船，军舰需要 ‎ 小时到达处．‎ ‎【答案】‎ 考点：余弦定理在实际生活中的运用．‎ ‎15.已知，，且，则数列前100项的和为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由可得,由此可得,解之得.故数列的前项和为,故应填答案.‎ 考点：复数的相等和等差数列的求和等知识的综合运用．‎ ‎16.已知函数，若，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：偶函数的图象和性质的综合运用．‎ ‎【易错点晴】本题将对数函数的图象和性质及函数的奇偶性单调性有机地整合在一起,‎ 其目的是综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用函数的奇偶性将原不等式等价转化为,即,再结合图象运用函数的单调性将其化为,最后借助对数函数的单调性求得.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的 一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相 互独立的,且命中的概率都是.‎ ‎（1）求油罐被引爆的概率；‎ ‎（2）如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为,求的分布列及.( 结果用分数表示)‎ ‎【答案】(1) ；(2)分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)借助题设条件运用独立重复试验及对立事件的概率公式求解；(2)借助题设运用随机变量的数学期望公式探求.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设命中油罐的次数为，则当或时，油罐不能被引爆 ‎,‎ ‎,‎ ‎∴油罐被引爆的概率.…………………………………………（6分）‎ 考点：随机变量的概率及数学期望公式等有关知识的综合运用．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）求函数的最小正周期；‎ ‎（II）将函数的图象向左平移个单位，向下平移个单位,得到函数的 图象,求的值；‎ ‎（Ⅲ）求函数在的值域.‎ ‎【答案】(I)；(II) ；(III).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)借助题设条件运用三角变换公式及周期公式求解；(II)借助题设运用对比法求解；(III)借助题设运用正弦函数的有界性探求.‎ 试题解析：‎ ‎（I）‎ ‎……………………………………………………………2分 ‎ ……………………………………………………………………3分 函数的最小正周期是 ……………………………………………………………………4分 考点：三角变换的公式及正弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，多面体中，面为矩形，,且,，‎ ‎,.‎ ‎（1）求多面体的体积； ‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎（2），设面的一个法向量为 ‎，‎ 又∵，‎ ‎∴设面的一个法向量为 ‎， …………………………………………………11分 ‎∴，‎ 所以所求二面角的余弦值为. …………………………………………………12分 考点：棱锥的体积公式及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中为实数.‎ ‎（1）若时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，若关于的不等式恒成立，试求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎（2）.由，得，∵，∴，令，则，令，则，∵，∴，即在上单调递增.所以，因此，故在单调递增.则 ‎，因此的取值范围是.………………………………12分 考点：导数的几何意义及导数研究函数的单调性等有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和最值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.第一问求解时导数的几何意义求切线的斜率,再运用点斜式写出切线的方程为；第二问求解时,先将不等式中的参数分离出来,再构造函数,然后运用导数的有关知识求函数的最小值,从而求出参数的取值范围是.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和和通项满足（是常数且，）.‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）当时，试证明； ‎ ‎（Ⅲ）设函数，，是否存在正整数，使对 都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(I)；(II)证明见解析；(III)存在，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)借助题设条件运用求解；(II)借助题设运用缩放法推证；(III)依据题设运用裂项相消求和,再结合不等式进行探求.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，‎ ‎∴，∴‎ 即 ……………………………………………………………………………………8分 ‎（Ⅲ）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由得 ……………………………（*）‎ ‎∵（*）对都成立 ∴ ∵是正整数，∴的值为1,2,3.‎ ‎∴使对都成立的正整数存在，其值为：1,2,3. ………………………………12分 考点：数列的前项和与通项的关系及裂项法放缩法等有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】本题以数列的前项和与通项的关系式为背景,考查的是运用数列、不等式等有关知识进行推理论证的思维能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.第一问求解时充分借助题设条件中的有效信息利用等比数列的定义进行合理推证.第二问直接运用不等式的缩放法进行推证；第三问的求解综合运用裂项求和的方法进行探求,从而使得问题获解.‎ ‎22.（本小题满分14分）‎ 如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，‎ ‎. ，. ‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰 等于与所成角. 试判断曲线的形状并说明理由；‎ ‎（3）在平面内，设点是（2）题中的曲线在直角梯形内部（包括边界）的一段曲线 上的动点，其中为曲线和的交点. 以为圆心，为半径的圆分别与梯形的边、交 于、两点. 当点在曲线段上运动时，试求圆半径的范围及的范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)双曲线；(3)，.‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ 于是有、，则有,又 则异面直线与所成角满足，‎ 所以，异面直线与所成角的大小为. ……………………………………………………4分 ‎（3）解：在如图所示的的坐标系中，因为、、，设.则有,故的方程为，‎ 代入双曲线:的方程可得，，其中.‎ 因为直线与双曲线交于点,故.进而可得，即.故双曲线在直角梯形内部（包括边界）的区域满足，.又设为双曲线上的动点，.‎ 所以，‎ 因为，所以当时，；‎ ‎ 当时， .‎ 而要使圆与、都有交点，则.‎ 故满足题意的圆的半径取值范围是. ………………………………………………12分 因为,所以体积为.故问题可以转化为研究的面积.又因为为直角，所以必为等腰直角三角形.‎ 由前述，设，则，‎ 故其面积，所以.‎ 于是，. ………………………………………………14分 ‎(当点运动到与点重合时，体积取得最大值；当点运动到横坐标时，即长度最小时，体积取得最小值）‎ 考点：线线角的定义及双曲线的定义二次函数的知识及不等式的性质等有关知识的综合运用．‎ ‎ ‎