2021高考数学大一轮复习单元质检六数列A理新人教A版

2021高考数学大一轮复习单元质检六数列A理新人教A版

单元质检六　数列(A)‎ ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ ‎　单元质检卷第11页　 ‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)‎ ‎1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=15,S9=99,则等差数列{an}的公差是(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.4 C.-4 D.-3‎ 答案:B 解析:∵数列{an}是等差数列,a6=15,S9=99,∴a1+a9=22,‎ ‎∴2a5=22,a5=11.‎ ‎∴公差d=a6-a5=4.‎ ‎2.(2019广东蕉岭高三一模)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=(　　)‎ A.33 B.72 C.84 D.189‎ 答案:C 解析:在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,设公比为q,则3+3q+3q2=21,解得q=2,故a3+a4+a5=(a1+a2+a3)q2=21×22=84.‎ ‎3.在等差数列{an}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列{an}的前5项的和为(　　)‎ A.15 B.20 ‎ C.25 D.15或25‎ 答案:A 解析:设{an}的公差为d.‎ ‎∵在等差数列{an}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,‎ ‎∴a‎1‎‎+3d=5,‎‎(a‎1‎+2d‎)‎‎2‎=(a‎1‎+d)(a‎1‎+5d),‎解得a‎1‎‎=-1,‎d=2,‎ ‎∴S5=5a1+‎5×4‎‎2‎d=5×(-1)+5×4=15.‎ 5‎ 故选A.‎ ‎4.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足3a1-a‎8‎‎2‎+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=(　　)‎ A.9 B.12 C.16 D.36‎ 答案:D 解析:由3a1-a‎8‎‎2‎+3a15=0,得a‎8‎‎2‎=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,‎ 即a‎8‎‎2‎-6a8=0.因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17=b‎10‎‎2‎=36.‎ ‎5.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=(　　)‎ A.-2 B.-1 C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案:B 解析:∵S2=3a2+2,S4=3a4+2,‎ ‎∴S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q>0,解得q=‎3‎‎2‎,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.‎ ‎6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x).若数列{an}满足a1=‎1‎‎2‎,且an+1=‎1‎‎1-‎an,则f(a11)=(　　)‎ A.2 B.-2 C.6 D.-6‎ 答案:C 解析:设x>0,则-x<0.‎ 因为f(x)是定义在R上的奇函数,‎ 所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).‎ 由a1=‎1‎‎2‎,且an+1=‎1‎‎1-‎an,得a2=‎1‎‎1-‎a‎1‎‎=‎‎1‎‎1-‎‎1‎‎2‎=2,‎ a3=‎1‎‎1-‎a‎2‎‎=‎‎1‎‎1-2‎=-1,‎ a4=‎1‎‎1-‎a‎3‎‎=‎1‎‎1-(-1)‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎……‎ 所以数列{an}是以3为周期的周期数列,‎ 5‎ 即a11=a3×3+2=a2=2.‎ 所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.‎ 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎7.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=2anan+1,则a6=　　　　　. ‎ 答案:‎‎1‎‎11‎ 解析:由an-an+1=2anan+1,得‎1‎an+1‎‎-‎‎1‎an=2,‎ 即数列‎1‎an是以‎1‎a‎1‎=1为首项,2为公差的等差数列.‎ 所以‎1‎a‎6‎‎=‎‎1‎a‎1‎+5×2=11,即a6=‎1‎‎11‎.‎ ‎8.(2019河北衡水高三下学期大联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1,则an=　　　　　. ‎ 答案:-3n-1‎ 解析:令n=1,则2S1=3a1+1,又S1=a1,则a1=-1.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=‎1‎‎2‎(3an-3an-1),整理得an=3an-1,即anan-1‎=3(n≥2).‎ 因此,{an}是首项为a1=-1,公比为q=3的等比数列,‎ 即an=-3n-1.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共44分)‎ ‎9.(14分)在数列{an}和{bn}中,a1=1,an+1=an+2,b1=3,b2=7,等比数列{cn}满足cn=bn-an.‎ ‎(1)求数列{an}和{cn}的通项公式;‎ ‎(2)若b6=am,求m的值.‎ 解:(1)因为an+1=an+2,且a1=1,所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.‎ 所以an=1+(n-1)·2=2n-1.‎ 因为b1=3,b2=7,且a1=1,a2=3,所以c1=b1-a1=2,c2=b2-a2=4.‎ 因为数列{cn}是等比数列,所以数列{cn}的公比q=c‎2‎c‎1‎=2,‎ 所以cn=c1·qn-1=2×2n-1=2n.‎ 5‎ ‎(2)由(1)得bn-an=2n,an=2n-1,‎ 所以bn=2n+2n-1.‎ 所以b6=26+2×6-1=75.‎ 令2m-1=75,解得m=38.‎ ‎10.(15分)已知数列{an}的首项为a1=1,其前n项和为Sn,且数列Snn是公差为2的等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解:(1)∵数列Snn是公差为2的等差数列,且S‎1‎‎1‎=a1=1,‎ ‎∴Snn=1+(n-1)×2=2n-1.‎ ‎∴Sn=2n2-n.‎ ‎∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.‎ ‎∵a1符合an=4n-3,‎ ‎∴an=4n-3.‎ ‎(2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n·(4n-3).‎ 当n为偶数时,‎ Tn=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×n‎2‎=2n;‎ 当n为奇数时,n+1为偶数,‎ Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.‎ 综上所述,‎ Tn=‎‎2n,n=2k,k∈N‎*‎,‎‎-2n+1,n=2k-1,k∈N‎*‎.‎ ‎11.(15分)设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解:(1)由已知,当n≥1时,‎ 5‎ an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1‎ ‎=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.‎ 而a1=2,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=22n-1.‎ ‎(2)由bn=nan=n·22n-1知 Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①‎ 从而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②‎ ‎①-②,得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,‎ 即Sn=‎1‎‎9‎[(3n-1)22n+1+2].‎ 5‎