专题46 椭圆（押题专练）-2018年高考数学（文）一轮复习精品资料

专题46 椭圆（押题专练）-2018年高考数学（文）一轮复习精品资料

‎1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)‎ A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．5‎ 答案：A ‎2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋y2＝1‎ 解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1.‎ 答案：C ‎3．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由＋＝1⇒⇒c2＝a2－b2＝.‎ ‎∴e2＝，e＝.‎ 答案：B ‎4．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为(　　)‎ A. B．1 C．2 D．4‎ 解析：圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，‎ 则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，‎ ‎∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1，0)．‎ 由题意知直线l的方程为x＝－c，‎ 又∵直线l与圆M相切，‎ ‎∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.‎ 答案：C ‎5．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ 答案：C ‎6．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，设直线PF2与椭圆交于M、N两点，若|MN|＝16，则椭圆的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：因为点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，所以＝2c，‎ 整理得2e2＋e－1＝0，所以e＝，所以a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，‎ 直线PF2的方程为y＝(x－c)，代入椭圆方程，消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x＝0或c，得M(0，－c)，N，所以|MN|＝c＝16，所以c＝5，‎ 所以椭圆方程为＋＝1。‎ 答案：B ‎7．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A、B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于__________。‎ 解析：由题意知F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对 解得e＝(e＝－舍去)。‎ 答案： ‎8．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则此椭圆的离心率为__________。‎ 解析：cosα＝⇒sinα＝，‎ 所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝·±·，‎ ‎∴sinβ＝或－(舍去)。‎ 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，‎ 由正弦定理，得＝＝⇒＝⇒e＝＝。‎ 答案： ‎9．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合。若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________。‎ 解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12。‎ 答案：12‎ ‎10．已知椭圆C：x2＋2y2＝4。‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点。若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值。‎ 解析：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1。‎ ‎＝x＋y＋＋4 ‎ ‎＝x＋＋＋4‎ ‎＝＋＋4(0＜x≤4)。‎ 因为＋≥4(0＜x≤4)，且当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8。‎ 故线段AB长度的最小值为2。‎ ‎11．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c。‎ ‎(1)求椭圆E的离心率；‎ ‎(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程。‎ 解析：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，‎ 则原点O到该直线的距离d＝＝，‎ 由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝。‎ ‎(2)方法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2。①‎ 依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝。‎ 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得 ‎(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0。‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，‎ x1x2＝。‎ 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝。‎ 从而x1x2＝8－2b2。‎ 于是|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝＝。‎ 所以AB的斜率kAB＝＝。‎ 因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0。‎ 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2。‎ 于是|AB|＝|x1－x2|＝‎ ＝。‎ 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3。‎ 故椭圆E的方程为＋＝1。‎ ‎12．图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1。‎ ‎(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e。‎ 求得x0＝±，y0＝±。‎ 由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得x0＞0，从而|PF1|2＝2＋＝2(a2－b2)＋2a＝2。‎ 由椭圆的定义，‎ ‎|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a。‎ 从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，‎ 有|QF1|＝4a－2|PF1|。‎ 又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，‎ 知|QF1|＝|PF1|，‎ 因此(2＋)|PF1|＝4a，‎ 即(2＋)(a＋)＝4a，‎ 于是(2＋)(1＋)＝4，解得 e＝＝－。‎ 由PF1⊥PF2，‎ 知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，‎ 因此e＝＝ ‎＝＝＝－。‎ ‎13．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.‎ ‎(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；‎ ‎(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．‎ 解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，‎ 得|AF1|＝3，|F1B|＝1.‎ 因为△ABF2的周长为16，‎ 所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.‎ 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.‎ ‎(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.‎ 由椭圆定义可得 ‎|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.‎ 在△ABF2中，由余弦定理可得 ‎|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，‎ 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，‎ 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，‎ 而a＋k>0，故a＝3k. ‎ 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.‎ 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，‎ 故△AF1F2为等腰直角三角形．‎ 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.‎