高一数学（人教A版）必修4能力提升：第二章综合检测题

高一数学（人教A版）必修4能力提升：第二章综合检测题

第二章综合检测题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1．下列等式成立的是(　　)‎ A.＝　　　　　　　 B．a·0＝0‎ C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a＋b|≤|a|＋|b|‎ ‎[答案]　D ‎2．如果a、b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(　　)‎ A．a＝b B．a·b＝1‎ C．a＝－b D．|a|＝|b|‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B不正确；|a|＝|b|＝1，则选项D正确．‎ ‎3．(山东师大附中2012－2013期中)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)‎ A．(－2，－1) B．(－1,2)‎ C．(－2,1) D．(－1,0)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　a－b＝(1,1)－(1，－1)‎ ‎＝(－，＋)＝(－1,2)．‎ ‎4．(哈尔滨三中2012－2013高一期中)已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则向量的模等于(　　)‎ A．5 B. C．3 D. ‎[答案]　A ‎[解析]　||＝＝5.‎ ‎5．(2012北京海淀区期末)如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么＝(　　)‎ A.＋ B．－－ C．－＋ D.－AD ‎[答案]　D ‎[解析]　＝＝(－)．‎ ‎6．(2013诸城模拟)已知a、b、c是共起点的向量，a、b不共线，且存在m、n∈R使c＝ma＋nb成立，若a、b、c的终点共线，则必有(　　)‎ A．m＋n＝0 B．m－n＝1‎ C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　设＝a，＝b，＝c，‎ ‎∵a、b、c的终点共线，‎ ‎∴设＝λ，即－＝λ(－)，‎ ‎∴＝(1－λ)＋λ，‎ 即c＝(1－λ)a＋λb，又c＝ma＋nb，‎ ‎∴∴m＋n＝1.‎ ‎7．如图，M、N分别是AB、AC的一个三等分点，且＝λ(－)成立，则λ＝(　　)‎ A.　　 　B.　　 　C.　　 　D．± ‎[答案]　B ‎[解析]　＝且＝－.‎ ‎8．与向量a＝(1,1)平行的所有单位向量为(　　)‎ A．(，)‎ B．(－，－)‎ C．(±，±)‎ D．(，)或(－，－)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　与a平行的单位向量为±.‎ ‎9．(2013·湖北文)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎[答案]　A ‎[解析]　本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算．‎ 由条件知＝(2,1)，＝(5,5)，·＝10＋5＝15.‎ ‎||＝＝5，则在方向上的投影为 ‎||cos〈，〉＝＝＝，故选A.‎ ‎10．若|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　a·(b－a)＝a·b－a2＝1×6×cosθ－1＝2.‎ cosθ＝，θ∈[0，π]，故θ＝.‎ ‎11．(2012·全国高考浙江卷)设a、b是两个非零向量(　　)‎ A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a、b共线，即存在实数λ，使得a＝λb.如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a、b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．‎ ‎12．已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角为(　　)‎ A．30° B．－150°‎ C．150° D．30°或150°‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由a·b<0可知a，b的夹角θ为钝角，又S△ABC＝|a|·|b|sinθ，∴×3×5×sinθ＝，‎ ‎∴sinθ＝⇒θ＝150°.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－‎5a＋6b，＝‎7a－2b，则A、B、C、D四点中一定共线的三点是____________．‎ ‎[答案]　A，B，D ‎[解析]　＝＋＝(－‎5a＋6b)＋(‎7a－2b)＝‎2a＋4b＝2(a＋2b)＝2.‎ ‎14．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k等于________．‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[解析]　(ka－2b)·a＝0，[k(1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k－4，k＋6)·(1,1)＝0，k－4＋k＋6＝0，‎ ‎∴k＝－1.‎ ‎15．(2013北京东城区模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为____________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，‎ ‎∵(a＋λb)∥c，‎ ‎∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝.‎ ‎16．(2013北京东城区模拟)正三角形ABC边长为2，设＝2，＝3，则·＝________.‎ ‎[答案]　－2‎ ‎[解析]　∵＝＋＝＋，＝－＝－，‎ ‎∴·＝(＋)·(－)＝·＋·－·－2＝×2×2×＋×2×2×＋×2×2×－22＝－2.‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本题满分10分)(山东济南一中12－13期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)‎ ‎(1)若〈a，b〉为锐角，求x的范围；‎ ‎(2)当(a＋2b)⊥(‎2a－b)时，求x的值．‎ ‎[解析]　(1)若〈a，b〉为锐角，则a·b>0且a、b不同向．‎ a·b＝x＋2>0，∴x>－2‎ 当x＝时，a、b同向．‎ ‎∴x>－2且x≠ ‎(2)a＋2b＝(1＋2x,4)，(‎2a－b)＝(2－x,3)‎ ‎(2x＋1)(2－x)＋3×4＝0‎ 即－2x2＋3x＋14＝0‎ 解得：x＝或x＝－2.‎ ‎18．(本题满分12分)(山东师大附中2012－2013期中)设e1、e2是正交单位向量，如果＝2e1＋me2，＝ne1－e2，＝5e1－e2，若A、B、C三点在一条直线上，且m＝2n，求m、n的值．‎ ‎[解析]　以O为原点，e1、e2的方向分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，‎ 则＝(2，m)，＝(n，－1)，＝(5，－1)，‎ 所以＝(3，－1－m)，＝(5－n,0)，‎ 又因为A、B、C三点在一条直线上，所以∥，‎ 所以3×0－(－1－m)·(5－n)＝0，与m＝2n构成方程组 ，解得或 ‎19．(本题满分12分)已知a和b是两个非零的已知向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．‎ ‎(1)求t的值；‎ ‎(2)已知a与b成45°角，求证：b与a＋tb(t∈R)垂直．‎ ‎[解析]　(1)设a与b的夹角为θ，则|a＋tb|2＝|a|2＋t2|b|2＋2t·a·b＝|a|2＋t2·|b|2＋2|a|·|b|·t·cosθ＝|b|2(t＋cosθ)2＋|a|2(1－cos2θ)．‎ ‎∴当t＝－cosθ时，|a＋tb|取最小值|a|sinθ.‎ ‎(2)∵a与b的夹角为45°，∴cosθ＝，从而t＝－·，b·(a＋tb)＝a·b＋t·|b|2＝|a|·|b|·－··|b|2＝0，所以b与a＋tb(t∈R)垂直，即原结论成立．‎ ‎20．(本题满分12分)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b，‎ ‎(1)若c∥d，求k的值，并判断c、d是否同向；‎ ‎(2)若|a|＝|b|，a与b夹角为60°，当k为何值时，c⊥d.‎ ‎[解析]　(1)c∥d，故c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)．‎ 又a、b不共线，‎ ‎∴得 即c＝－d，故c与d反向．‎ ‎(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)‎ ‎＝ka2－ka·b＋a·b－b2‎ ‎＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos60°‎ 又c⊥d，故(k－1)a2＋a2＝0.‎ 即(k－1)＋＝0.‎ 解得k＝1.‎ ‎21．(本题满分12分)向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，‎ a⊥b，若|a|＝1，求|a|2＋|b|2＋|c|2的值．‎ ‎[解析]　由(a－b)⊥c知(a－b)·c＝0.‎ 又c＝－(a＋b)，‎ ‎∴(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝0.‎ 故|a|＝|b|＝1，又c2＝[－(a＋b)]2＝a2＋‎2a·b＋b2＝a2＋b2＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.‎ ‎22．(本题满分12分)已知向量a＝(，－1)，b＝(，)．‎ ‎(1)求证：a⊥b；‎ ‎(2)是否存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y？如果存在，试确定k和t的关系；如果不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)a·b＝(，－1)·(，)＝－＝0，∴a⊥b.‎ ‎(2)假设存在非零实数k，t使x⊥y，则[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，‎ 整理得－ka2＋[t－k(t2－3)]a·b＋t(t2－3)b2＝0.‎ 又a·b＝0，a2＝4，b2＝1.‎ ‎∴－4k＋t(t2－3)＝0，即k＝(t2－3t)(t≠0)，‎ 故存在非零实数k、t，使x⊥y成立，‎ 其关系为k＝(t3－3t)(t≠0)．‎