数学理卷·2018届甘肃省民乐一中高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届甘肃省民乐一中高三上学期期中考试（2017

民乐一中2017—2018学年第一学期高三年级期中考试 数学（理科）试卷 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知全集，则( )‎ A． B. C． D．（0,1）‎ ‎2. 已知是虚数单位，则( )‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎3. 等差数列中，，则（）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎4.某校高考数学成绩近似地服从正态分布，且，‎ 则的值为 A.0.49‎‎ B.0.48 C.0.47 D.0.46‎ ‎5.中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为 A．3795000立方尺 B．2024000立方尺 C. 632500立方尺 D．1897500立方尺 ‎6.如果实数满足条件，那么的最大值为（）‎ A．2 B．1 C．-2 D．-3‎ ‎7.某程序框图所示，该程序运行后输出的值是（）‎ A. 3 B.4 C.6 D.8‎ ‎8．向量,均为非零向量，，则,的夹角为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某企业有4个分厂，现有新培训的6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（）‎ A．1080 B．480 C．1560 D．300‎ ‎10.在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则双曲线离心率的取值范围是 ‎ A.B.C.D.‎ ‎12.已知是定义在上的函数，且满足①；②曲线关于点对称；③当时，若在上有5个零点，则实数的取值范围为（）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.知，则的值是．‎ ‎14.在中，，，则的面积为.‎ ‎15.过定点的直线：与圆相切于点，则．‎ ‎16.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点为函数 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，请你根据这一发现，计算　　．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17.（12分）在等差数列中，公差，，且，，成等比数列.‎ ‎⑴求数列的通项公式及其前项和；‎ ‎⑵若，求数列的前项和.‎ ‎18.水是地球上宝贵的资源，某市政府为了提倡低碳 环保的生活理念鼓励居民节约用水，计划调整居民生 活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 ‎（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价 收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水 情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均 用水量（单位：吨），将数据按照，，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；‎ ‎（2）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为和之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设为用水量吨数在中的获奖的家庭数，为用水量吨数在中的获奖家庭数，记随机变量，求的分布列和数学期望．‎ ‎19.（12分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，BC＝CD＝1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C ‎(1)求证：AD1⊥BC；‎ ‎(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值．‎ ‎20.（12分）已知动圆M过定点E（2，0），且在y轴上截得的弦PQ的长为4．‎ ‎（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设A，B是轨迹C上的两点，且，F（1，0），记S=S△OFA+S△OAB，求S的最小值．‎ ‎21.（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点. ‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）记两极值点分别为已知，若不等式恒成立，求的范围.‎ 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知曲线的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设，若与曲线相交于异于原点的两点，‎ 求的面积.‎ 23. ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.‎ 民乐一中2017—2018学年第一学期高三年级期中考试 数学（理科）试卷参考答案 一、 选择题.CDCDD BDACA CB 二、 填空题13. 0 14. 15. 4 16. 2014‎ 三、 解答题 ‎17⑴由成等比数列 ；⑵由⑴可得 .‎ ‎18. 解：（1）由图，不低于3吨人数所占百分 比为，‎ 所以假设全市的人数为（万人），则有 ‎，解得，所以估计全 市人数为30万．‎ ‎（2）由概率统计相关知识，各组频率之和 的值为1，因为频率，‎ 所以，得，‎ 用水量在之间的户数为户，而用水量在吨之间的户数为户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，所以用水量在之间应抽取的户数为户，而用水量在吨之间的户数为户．‎ 据题意可知随机变量的取值为0,2,4．，‎ ‎，‎ ‎，‎ 其分布列为：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 期望为：．‎ ‎19. (1)证明：连接D‎1C，则D‎1C⊥平面ABCD，∴D‎1C⊥BC 在等腰梯形ABCD中，连接AC，∵AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD，‎ ‎∴BC⊥AC，∴BC⊥平面AD1C，∴AD1⊥BC ‎(2)由(1)知AC、BC、D‎1C两两垂直，∵AB∥CD，∴∠D1DC＝，‎ ‎∵CD＝1，∴D1C＝在等腰梯形ABCD中，∵AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD，∴AC＝，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，由得可得平面ABC1D1的一个法向量为n＝(1，，1)．又＝(0,0，)为平面ABCD的一个法向量．因此cos〈，n〉＝＝，∴平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为 ‎20.解：（1）设M（x，y），PQ的中点N，连MN，则：|PN|=2，MN⊥PQ，‎ ‎∴|MN|2+|PN|2=|PM|2．又|PM|=|EM|，∴|MN|2+|PN|2=|EM|2‎ ‎∴x2+4=（x﹣2）2+y，整理得y2=4x．‎ ‎（2）设，，不失一般性，令y1＞0，则，∵，∴，解得y1y2=﹣8③‎ 直线AB的方程为：，（y1≠﹣y2），‎ 即，令y=0得x=2，即直线AB恒过定点E（2，0），‎ 当y1=﹣y2时，AB⊥x轴，，．‎ 直线AB也经过点E（2，0）．∴．由③可得，‎ ‎∴S==．‎ 当且仅当，即时，．‎ ‎21.()依题意得函数得定义域为(0,+)，所以方程在(0,+)有两个不同的根，‎ 即方程在(0,+)有两个不同的根.问题转化为函数与的图象(0,+)有两个不同的交点.‎ 又即当时，；当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.从而又有且只有一个零点是1，且当时，；当时，. 所以，要想函数与函数的图象(0,+)有两个不同的交点，只需. ()因为等价于，由()知是方程的两个根，‎ 即，所以原式等价于，‎ 因为，所以原式等价于. ‎ 又由作差得，即.所以原式等价于，因为时，原式恒成立，即恒成立.‎ 令，则不等式在上恒成立. ‎ 令，又，‎ 当时，可见时，，所以上单调递增,‎ 又上恒成立，符合题意. …………10分 当时，可见当时，，当时，所以上单调递增, 在上单调递减，又上不恒成立，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式恒成立，只需，又，所以.……‎ ‎22.( Ⅰ)曲线的普通方程为，……………………………… 2分 将代入得：………………………4分 ‎（Ⅱ）由，解得……………………… 6分 ‎,解得……………………… 8分 ‎ …………………………………… 10分 ‎23.（1）∵时，.‎ ‎∴当时，，不可能非负，‎ 当时，，由可解得，于是.‎ 当时，恒成立.∴不等式的解集为.‎ ‎（2）由方程可变形为.‎ 令，‎ 作出图象如图所示. -2

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