2017-2018学年河北省唐山一中高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年河北省唐山一中高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省唐山一中高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 的实部为，虚部为，‎ 故选 ‎2．已知双曲线（，）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意， ， ∵抛物线的准线方程为 ‎ 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， ‎ ‎ ∴双曲线的方程为 故选B．‎ ‎3．已知x与y之间的一组数据：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y m ‎3‎ ‎5.5‎ ‎7‎ 若求得关于y与x的线性回归方程为：，则m的值为（ ）‎ A. 1 B. 0.85 C. 0.7 D. 0.5‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出，代入回归方程解出，进而解出m的值．‎ 详解：==1.5，∴=2.2×1.5+0.7=4．‎ ‎∴=4，解得m=0.5．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查了线性回归方程的性质，回归直线必过样本中心点，属于基础题．‎ ‎4．若直线被圆所截得的弦长为，则与曲线的公共点个数为( )‎ A. 1个 B. 2个 C. 1个或2个 D. 1个或0个 ‎【答案】C ‎【解析】直线被圆所截得的弦长为 圆心到直线的距离为 直线是圆的切线，‎ 圆内切于 直线与曲线相切或相交 故答案选 ‎5．已知直线，平面，且，给出下列命题：‎ ‎①若，则； ②若，则； ‎ ‎③若，则； ④若，则. ‎ 其中正确的命题是 A. ①④ B. ③④ C. ①② D. ②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确。‎ 若α⊥β,且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确。‎ 若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交。所以③不正确。‎ 若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确。‎ 故选：B.‎ ‎6．在中，，求证：证明：.，其中，画线部分是演绎推理的（ ）‎ A. 大前提 B. 小前提 C. 结论 D. 三段论 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：题目给出了一个典型的三段论推理，推理的大前提是“三角形中，大角对大边”，小前提是上述定理的一种特殊情况即“”，结论是“”，故选B.‎ ‎【考点】三段论推理.‎ ‎7．如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是正方体的外接球的直径（对称轴），且垂直于平面，设垂足为，所以，故当该正方体绕旋转时到与自身重合时，最少要旋转，应选答案C。‎ 点睛：本题在解答时要先搞清楚正方体的对称性，由于该几何体是轴对称图形，且是正方体的外接球的直径，所以从从垂直于对称轴的一个平面入手是解答的关键，也思考与解答本题中的问题的突破口，本题的难度较大，寻找切入点是较难的。‎ ‎8．下列说法：‎ ‎①残差可用来判断模型拟合的效果；‎ ‎②设有一个回归方程：，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；‎ ‎③线性回归直线：必过点；‎ ‎④在一个列联表中，由计算得，则有的把握确认这两个变量间有关系（其中）；‎ 其中错误的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题意，依次对题目中的命题进行分析，判断真假性即可．‎ 详解：对于①，残差可用来判断模型拟合的效果，‎ 残差越小，拟合效果越好，∴①正确；‎ 对于②，回归方程=3﹣5x中，变量x增加一个单位时，‎ y平均减少5个单位，∴②错误；‎ 对于③，线性回归方程=x+必过样本中心点（，），∴③正确；‎ 对于④，在2×2列联表中，由计算得k2=13.079，对照临界值得，‎ 有99%的把握确认这两个变量间有关系，④正确；‎ 综上，其中错误的命题是②，共1个．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查了命题的真假判断，考查了统计的有关知识，属于中档题．‎ ‎9．设函数=在区间上单调递减,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵=，∴，∵函数=在区间上单调递减，∴=在区间上恒成立，∵∴在区间上恒成立,∴,∴,由题意知，∴实数的取值范围是.‎ 点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，函数单调递增，得恒成立；函数单调递减，得恒成立；对于恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎ ‎10．若一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，则半径可求，代入球的表面积公式得答案．‎ 详解：由三视图还原原几何体如图：‎ 该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，‎ 补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，‎ ‎∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．‎ 故选：D．‎ 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.‎ ‎11．如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（ ）‎ A. 点是的垂心 B. 的延长线经过点 C. 垂直平面 D. 直线和所成的角为 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：如下图所示，由正方体的性质可知， 在对角线上， ，所以为直线与所称的角， ，所以，选D.‎ ‎【考点】立体几何点线面位置关系.‎ ‎12．已知函数， ，若对任意，存在使，则实数a的取值范围（　　）‎ A. [1，5] B. [2，5] C. [﹣2，2] D. [5，9]‎ ‎【答案】B ‎【解析】任意的，存在，使得等价于，又，‎ 当时， ，故在为减函数；‎ 当 时， ，故在为增函数；‎ 故， ，而，故，解得，选B．‎ 点睛：一般地，对于函数， ‎ ‎（1）若任意的，任意的，使得，则有；‎ ‎（2）若任意的，存在，使得，则有；‎ ‎（3）若存在，存在，使得，‎ 解题时注意转化．‎ 二、填空题 ‎13．观察下列各式： ， ， ，则的末四位数字为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ， ‎ 观察可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的，‎ 的末四位数字与的后四位数相同 故答案为 ‎14．椭圆在其上一点处的切线方程为．类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由类比，得双曲线在其上一点处的切线方程为.‎ ‎15．直线与圆：的位置关系是_________．‎ ‎【答案】相交 ‎【解析】分析：把直线的方程变形为点斜式，观察得到直线过一个定点，易判定点在圆内，从而明确直线与圆的位置关系．‎ 详解：直线l：mx﹣y+1﹣m=0，‎ 即y﹣1=m（x﹣1）‎ 即直线过（1，1）点，‎ ‎∵把（1，1）点代入圆的方程有1+0，‎ ‎∴点（1，1）在圆的内部，‎ ‎∴过（1，1）点的直线一定和圆相交，‎ 故选：A．‎ 点睛：判断直线与圆的位置关系方法有二：方法一（代数方法）联立方程转化成关于x的二次方程，利用判断位置关系；方法二（几何方法）利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断.本题利用了直线过定点的特色，巧解了此题.‎ ‎16．如图，抛物线和圆，其中，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设抛物线的焦点为F，易得：|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理可知|CD|=x2，从而求出•．‎ 详解：：抛物线C1：y2=2x的焦点为F（，0），‎ ‎∵直线l经过C1的焦点F（），‎ 设直线l的方程为y=k（x﹣），‎ 联立，得=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，‎ 同理|CD|=x2，‎ ‎∴•=||•||•cos＜＞=x1x2=．‎ 故答案为：．‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．‎ ‎2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ 三、解答题 ‎17．已知坐标平面上两个定点，，动点满足：．‎ ‎（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎(2)记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】分析：（1）直接利用，列出方程即可求出点M的轨迹方程，然后说明轨迹的形状；‎ ‎（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．‎ 详解：（1） 由得 化简得：，轨迹为圆 ‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，直线 符合题意； ‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为：‎ 由圆心到直线的距离等于得 此时直线的方程为：.‎ 点睛：直接法求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系；（2）设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；（3）化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程.直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为“建系，设点，列式，化简”.‎ ‎18．如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，，是的三等分点，‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面⊥平面；‎ ‎（3）求多面体的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).‎ ‎【解析】分析：（1）连接BD交AC于点G,连接EG，易证，从而得到平面；‎ ‎（2）推证，从而证得⊥平面，故平面⊥平面；‎ ‎（3）利用割补思想，，转求与.‎ 详解：（1）连接BD交AC于点G,连接EG，因为E为FD的中点，G为BD的中点，‎ 所以,又因为,，‎ 所以平面.‎ ‎(2)平面,,.‎ ‎，,,,‎ ‎. ‎ ‎（3）,因为E为PD的三等分点，,‎ 所以点E到平面ADC的距离是,即,‎ 所以.‎ 点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．‎ ‎19．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：‎ 喜欢统计课程 不喜欢统计课程 合计 男生 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 女生 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？‎ ‎（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率．‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】分析：（1）计算K2的值，与临界值比较，即可得到结论；‎ ‎（2）确定样本中有4个男生，2个女生，利用列举法确定基本事件，即可求得结论．‎ 详解：（1）由公式 ，‎ 所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关．‎ ‎（2）设所抽样本中有m个男生，则人，‎ 所以样本中有4个男生，2个女生， ‎ 从中选出3人的基本事件数有20种 ‎ 恰有两名男生一名女生的事件数有12种 ‎ 所以.‎ 点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.‎ ‎20．已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可了；‎ ‎（2）联立直线和椭圆方程，利用设而不求的思想表示，进而利用均值不等式求最值即可.‎ 详解：（1）∵点在线段的垂直平分线上，∴．‎ 又，∴．‎ ‎∴曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆．‎ 设曲线的方程为．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴曲线的方程为．‎ ‎（2）设．‎ 联立消去，得．‎ 此时有．‎ 由一元二次方程根与系数的关系，得 ‎，．‎ ‎∴ ．‎ ‎∵原点到直线的距离，‎ ‎∴ ．‎ 由，得．又，∴据基本不等式，得 ‎．当且仅当时，不等式取等号．‎ ‎∴面积的最大值为．‎ 点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎21．已知函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（1）若函数在时有极值，求表达式；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：（1）求出导函数，令导函数在0处的值为3，在﹣2处的值为0，函数在1处的值为4，列出方程组求出a，b，c的值；‎ ‎（2）令导函数f′（x）在[﹣2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数在区间的最小值，令最小值大于等于0，求出a的范围．‎ 详解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b ‎∵曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+1．‎ ‎∴‎ 解得a=，b=3，c=1‎ ‎∴.‎ ‎(2)上恒成立 ‎ ‎①当时，解得 ‎ ‎②当时，解得，所以无解 ‎ ‎③当时，解得，所以无解 综上. ‎ 点睛：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论 ‎（1）若在内，则在上单调递增（减）．‎ ‎（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）‎ ‎（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ ‎【答案】(1)f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞);(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）当a=时，求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）构造函数F（x）=x﹣f（x）=ex﹣（a﹣1）x，利用导数证明F（x）≥0即可．‎ 详解：(1)当a=1时，f(x)＝x－ex.‎ 令f′(x)＝1－ex＝0，得x＝0.‎ 当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．‎ ‎(2)证明：令F(x)＝x－f(x)＝ex－(a－1)x.‎ ‎①当a＝1时，F(x)＝ex>0，∴f(x)≤x成立； ‎ ‎②当1ln(a－1)时，F′(x)>0，‎ ‎∴F(x)在(－∞，ln(a－1))上单调递减，在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴F(x)≥F(ln(a－1))＝eln(a－1)－(a－1)ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，‎ ‎∵10，1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，‎ ‎∴F(x)≥0，即f(x)≤x成立．‎ 综上，当1≤a≤1＋e时，有f(x)≤x.‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎