2017-2018学年山西省运城市高二下学期期中考试数学理试题（Word版）

2017-2018学年山西省运城市高二下学期期中考试数学理试题（Word版）

山西省运城市2017-2018学年高二下学期期中考试 数学（理）调研测试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点；因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点，以上推理中（ ）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎3.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 是复数为纯虚数的（ ）‎ A． 充要条件 B．必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.函数在处切线斜率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？‎ A．正三角形的顶点 B．正三角形的中心 C. 正三角形各边的中点 D．无法确定 ‎8.设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正x y o y x o x y o x y o 确的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.函数在内有极小值，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知定义在上的函数的导函数为，且，则（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边计算所得的项是 ． ‎ ‎14.已知为偶函数，当时，，则曲线在点 处的切线方程是 ． ‎ ‎15.曲线上的点到直线的最短距离是 ．‎ ‎16.设，是的导函数，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （1）设复数和它的共轭复数满足：，求复数；‎ ‎（2）设复数满足：，求复数对应的点的轨迹方程.‎ ‎18. 设函数 ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎19. 观察下列方程并回答问题：①②③④‎ ‎（1）请你根据这列方程的特点写出第个方程；‎ ‎（2）直接写出第2009个方程的根；‎ ‎（3）说出这个方程的根有什么特点？‎ ‎20. 已知函数 ‎（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.‎ ‎21. 已知是定义在上的奇函数，当时，，且曲线在处的切线与直线平行 ‎（1）求的值及函数的解析式；‎ ‎（2）若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围. ‎ ‎22.已知函数 ‎（1）若函数在上减函数，求实数的最小值；‎ ‎（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: AADAC 6-10:CBDAD 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）设，则，‎ 由可得：，所以，‎ ‎（Ⅱ）设复数，由得：，其轨迹是椭圆，此时，，‎ 所求的轨迹方程为：.‎ ‎18.解：的定义域为，‎ ‎（1）求导函数可得：‎ 当时，，当时，，当时，，‎ 从而在和单调递增，在单调递减；‎ ‎（2）由（1）知，在区间的最小值为 又，，最大值为.‎ ‎19.解：（1）①，；②，，③，，由此找出规律，可写出第个方程为：，‎ ‎（2）；‎ ‎（3）这个方程都有一个根是1，一个根是.‎ ‎20. 解：（Ⅰ）当时，，‎ 函数在区间仅有极大值点，故这个极大值点也是最大值点，‎ 故函数在的最大值是，‎ 又，故，‎ 故函数在上的最小值为.‎ ‎（Ⅱ）若既有极大值又有极小值，则必须有两个不同正根，‎ 即有两个不同正根，故应满足：.‎ 函数既有极大值又有极小值，实数的取值范围是.‎ ‎21.解：（1）当时，，因为曲线在处的切线与直线 平行，‎ 所以，所以，则当时，，‎ 因为是定义在上的奇函数，可知，‎ 设，则，，‎ 所以，‎ 综上所述，函数的解析式为：.‎ ‎（2）由得：，令得：‎ 当时，，单调递增，当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，又，，，‎ 函数在区间上有三个零点，‎ 等价于在上的图像与有三个公共点，结合在区间上大致图像可知，实数的取值范围是.‎ ‎22.解：因为在上是减函数，故在上恒成立，‎ 又，‎ 故当，即时，，所以，于是，故的最小值为.‎ ‎（2）命题“若，使成立”‎ 等价于“当时，有”‎ 由（1），当时，，所以.‎ 问题等价于：“当时，有”‎ ① 当时，由（1），在上是减函数，则，故 ② 当时，由于在上为增函数，‎ 于是的值域为，即.‎ ‎.若，即，，在上恒成立，故在上为增函数，‎ 于是，不合题意；‎ ‎.若，即，由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足当时，，为减函数， ‎ 当时，，为增函数， ‎ 所以，‎ 所以，与矛盾，不合题意；‎ 综上：的取值范围为. ‎