2019-2020学年河北省邢台市高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年河北省邢台市高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河北省邢台市高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】全称命题的否定对应特称命题，对照选项即可选出.‎ ‎【详解】‎ 解：全称命题“，”的否定是特称命题“，”.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎2．椭圆：的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的最大值是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出椭圆的，利用椭圆的性质推出结果即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得，，‎ 则.‎ 所以的最大值是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.‎ ‎3．下列说法正确的是（ ）‎ A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况 B．某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有 的区域下雨 C．概率是客观存在的，与试验次数无关 D．若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖 ‎【答案】C ‎【解析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.‎ ‎【详解】‎ 解：对于A，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；‎ 对于B，这是一个随机事件，明天本地降水概率为表示明天有的可能降雨，事先无法预料，错误；‎ 对于C，正确；‎ 对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的意义，属于基础题.‎ ‎4．若椭圆上的一点到其左焦点的距离是6，则点到其右焦点的距离是（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，由椭圆的标准方程可得的值，结合椭圆的定义，可得点到其右焦点的距离 ‎【详解】‎ 解：由椭圆的方程可知，点到两个焦点的距离之和为.‎ 因为点到其左焦点的距离是6，‎ 所以点到其右焦点的距离是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的几何意义，注意利用椭圆的定义分析，是基本知识的考查.‎ ‎5．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（ ）‎ A．“至少一个红球”与“至少一个黄球” B．“至多一个红球”与“都是红球”‎ C．“都是红球”与“都是黄球” D．“至少一个红球”与“至多一个黄球”‎ ‎【答案】B ‎【解析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；‎ C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.‎ ‎【详解】‎ 从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，‎ 各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，‎ ‎“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；‎ ‎“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；‎ ‎“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；‎ ‎“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.‎ ‎6．已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点.若线段的中点的坐标为，则直线的斜率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，，代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到直线的斜率.‎ ‎【详解】‎ 解：设，，则，.‎ 因为，都在椭圆上，‎ 所以，即 ，‎ 整理得，‎ 故直线的斜率是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的中点弦所在直线的斜率，注意运用点差法，考查运算能力，属于中档题.‎ ‎7．从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用列举法从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有16个，其中大于20的偶数有6个，即可求出两位数是大于20的偶数的概率.‎ ‎【详解】‎ 解：从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有：‎ ‎10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，‎ 其中大于20的偶数有24，30，32，34，40，42，共6个，‎ 故所求概率.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（ ）‎ A． B． C．8 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，结合椭圆定义可求出的三边长，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面积，由对称性可知的面积.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得，，则，.‎ 因为，‎ 所以，，‎ 所以，则，‎ 故的面积是，‎ 由对称性可知的面积是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.‎ ‎9．从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是（ ）‎ A．2个都是正品 B．恰有1个是正品 C．至少有1个正品 D．至多有1个正品 ‎【答案】C ‎【解析】由5个产品中3个正品2个次品的分布，5个中产品任取2个有10种取法，取2个次品只有一种取法，概率为，那么其对立事件的概率就是．从而得到结论．‎ ‎【详解】‎ 易得两个都是次品的概率是，故发生概率为的事件是“两个都是次品”的对立事件，即“至少有1个正品”‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型，由概率求事件，因此可从最简单的情况入手，利用对立事件的概率公式求得结论．‎ ‎10．给出下列四个命题：‎ ‎①，；‎ ‎②当时，，；‎ ‎③成立的充要条件是；‎ ‎④“”是“”的必要不充分条件.‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用判定①正确；利用判别式法判定②正确；举例说明③错误；由，在求解一元二次不等式，结合充分必要条件得判定说明④正确.‎ ‎【详解】‎ 解：对于①，由于，所以①正确；‎ 对于②，由于，所以，所以方程有实数根，故②正确；‎ 对于③，由，得，整理得，所以，故③错误；‎ 对于④，因为，所以等价于，‎ 由，可得，所以④正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，属于中档题.‎ ‎11．不等式对恒成立的充要条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，不等式对恒成立等价于，即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 解：设，‎ 不等式对恒成立等价于，‎ 因为在上的最小值为，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数恒成立问题求参数取值范围，属于中档题.‎ ‎12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是（ ）‎ A． B． C．0.6 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，由椭圆的定义得，结合得，借助椭圆的范围得，代入解不等式组即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 设．因为点在椭圆上，所以，所以．‎ 因为，所以，解得．‎ 由题意可知，即．‎ 由，可得，即显然成立．‎ 由，可得，则，解得，‎ 因为，所以，符合条件的只有A选项，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义及离心率的范围，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，根据椭圆性质列出不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据椭圆的标准方程，根据所在焦点求参数取值范围问题，属于基础题.‎ ‎14．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别求出事件发生的概率，再根据事件A与事件B互斥，由互斥事件概率关系，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，事件A与事件B互斥，‎ 则.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查互斥事件并事件发生的概率，解题的关键判断出事件间的关系，属于基础题.‎ ‎15．若点是椭圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线：，根据直线和椭圆相切得到，当时两直线之间的距离即为所求.‎ ‎【详解】‎ 设直线：，联立，整理得，‎ 则，解得.‎ 当时，直线与直线之间的距离 即点到直线的最小距离是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆到直线的距离最值问题，计算切线是解题的关键，本题也可以利用参数方程法计算.‎ ‎16．已知甲袋中有个黑球和个白球，现随机地从甲袋中取出2个球，事件为“取出的2个球至少有1个白球”，事件为”取出的2个球都是黑球”，记事件的概率为，事件的概率为.当取得最小值时，的最小值是______.‎ ‎【答案】3.‎ ‎【解析】根据题意可知，运用基本不等式求出与的值，进而得与的值，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得，则，‎ 当且仅当时，取等号，此时的值最小.‎ 故，，‎ 从而的最小值是2，的最小值是1，‎ 故的最小值是3.‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率有关问题，结合基本不等式求最值问题，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．某幼儿园举办“yue”主题系列活动——“悦”动越健康亲子运动打卡活动，为了解小朋友坚持打卡的情况，对该幼儿园所有小朋友进行了调查，调查结果如下表：‎ 打卡天数 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ 男生人数 ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎2‎ 女生人数 ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎（1）根据上表数据，求该幼儿园男生平均打卡的天数；‎ ‎（2）若从打卡21天的小朋友中任选2人交流心得，求选到男生和女生各1人的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）求出所有男生打卡天数总和再除以男生人数即平均打卡天数；‎ ‎（2）打卡21天的小朋友中男生2人，女生3人，任选2人交流心得，求出基本事件总数和选到男生和女生各1人所包含的基本事件个数即可求解概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）男生平均打卡的天数.‎ ‎（2）男生打卡21天的2人记为，，女生打卡21天的3人记为，，，‎ 则从打卡21天的小朋友中任选2人的情况有，，，，，，，，，，共10种，‎ 其中男生和女生各1人的情况有，，，，，，共6种.‎ 故所求概率.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查求平均数和古典概率，关键在于准确求出打卡天数总和以及根据计数原理求出基本事件个数.‎ ‎18．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.‎ ‎（1）焦点坐标为和，P为椭圆上的一点，且；‎ ‎（2）离心率是，长轴长与短轴长之差为2.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）根据焦点坐标为和，得知，再由，根据椭圆的定义，得到，然后由求解即可.. ‎ ‎（2）根据和 求解，注意两种情况.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为焦点坐标为和，所以. ‎ 因为，所以，即 ‎ 所以. ‎ 故所求椭圆的标准方程为. ‎ ‎（2）由题意可得解得， ‎ 解得，. ‎ 故所求椭圆的标准方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆方程的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎19．已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}．‎ ‎（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）对任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）[3，+∞）；（2）（-∞，4].‎ ‎【解析】（1）根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即可得出a满足的条件．‎ ‎（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，只要，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．‎ 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即B⫋A，‎ 所以，或，‎ 所以，，或，‎ 所以a≥3．‎ 所以，实数a的取值范围是[3，+∞）．‎ ‎（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．‎ 由x2-mx+4≥0，得，‎ 则只要，又，当且仅当，即x=2时等号成立．‎ 实数m的取值范围（-∞，4]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎20．已知椭圆：的离心率为，且经过点，‎ 为椭圆的左焦点.直线：与椭圆交于，两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）直接利用离心率和过点联立方程组计算得到答案.‎ ‎（2）点到直线的距离，，再利用面积公式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，解得，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）因为为椭圆的左焦点，所以的坐标为，‎ 则点到直线的距离.联立，整理得，‎ 则，，，，‎ 从而.‎ 故的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程，三角形的面积，意在考查学生的计算能力.‎ ‎21．某校针对校食堂饭菜质量开展问卷调查，提供满意与不满意两种回答，调查结果如下表（单位：人）：‎ 学生 高一 高二 高三 满意 ‎500‎ ‎600‎ ‎800‎ 不满意 ‎300‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎（1）求从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率；‎ ‎（2）从参与调查的高三学生中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求这两人对校食堂饭菜质量都满意的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）高三人数除以全校总人数即是所求概率；‎ ‎（2）采用分层抽样的6人中结果满意的4人，不满意的2人，分别求出基本事件总数和两人都是满意所包含的基本事件个数，即可得到概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得该校学生总人数为人，‎ 则从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率.‎ ‎（2）依题意可得，从调查结果为满意的高三学生中应抽取人，设为，，，；从调查结果为不满意的高三学生中应抽取人，设为，.‎ 从这6人中任意选取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15种.‎ 设表示事件“两人都满意”，则事件包含的基本事件有，，，，，，共6种.‎ 故所求概率.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件的个数，其中涉及分层抽样，考查概率与统计知识的综合应用.‎ ‎22．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为 ‎，且上的动点到的距离的最大值为4，最小值为2.‎ ‎（1）证明：.‎ ‎（2）若直线：与相交于，两点（，均不与，重合），且，试问是否经过定点？若经过，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.‎ ‎【解析】（1）根据题意，可得，即可解得椭圆的标准方程，设，表示出，，利用坐标法表示，由，即可证明；‎ ‎（2）联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理可得根与系数的关系，由，运用坐标相乘可得，解出与的关系，进行判断即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）证明：由题意可得，解得，‎ 则，故的方程为.‎ 设，则.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）解：设，，联立，得 ‎，‎ 则，即，且，，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，∴，‎ ‎，即，‎ 所以或.‎ 当时，直线为，此时过定点，不合题意；‎ 当时，直线为，此时直线过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆的标准方程，联立方程运用韦达定理根据题意判断直线是否恒过定点问题，属于较难题.‎