福建省三明第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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福建省三明第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

三明一中2019-2020学年第一学期期中考试高二数学试题 一、单项选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分.‎ ‎1.的焦点到准线的距离为( )‎ A. B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的方程求出即可得到结果.‎ ‎【详解】解: ,‎ 根据抛物线标准方程的几何意义,可知抛物线的焦点到准线的距离为:.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用,属于基础题.‎ ‎2.若函数,则( )‎ A. 0 B. 1 C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先求出导函数,再代入求出的值即可.‎ ‎【详解】解:‎ 故选:‎ ‎【点睛】考查基本初等函数的求导计算,以及函数求值,属于基础题.‎ ‎3.如图,空间四面体的每条边都等于1,点,分别是,的中点,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 试题分析:∵空间四面体D一ABC的每条边都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点 考点:平面向量数量积的运算 ‎【详解】‎ 请在此输入详解!‎ ‎【点睛】‎ 请在此输入点睛!‎ ‎4.条件,条件,则是的( )‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中条件,条件,我们可以求出对应的集合,,然后分析两个集合间的包含关系,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致得到答案.‎ ‎【详解】解:条件,‎ ‎, ‎ 条件,‎ ‎, ‎ 是的充分不必要条件 根据互为逆否命题的两个命题真假性一致可得是的充分不必要条件 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查两命题之间的关系,属于基础题.‎ ‎5.求曲线在点处的切线方程 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导,求得,,再由点斜式求得切线方程.‎ ‎【详解】,所以,,所以切线方程为,化简得,选A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,求切线的方程即函数在处的切线方程为.‎ ‎6.已知,若,则实数的值为 (  )‎ A. -2 B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出的坐标,利用两个向量垂直的坐标运算可得答案.‎ ‎【详解】,‎ 若,则,‎ 解得,‎ 故选D ‎【点睛】本题考查空间两个向量垂直的坐标运算,属于基础题.‎ ‎7.设双曲线的左焦点为,离心率是,是双曲线渐近线上的点,且(为原点),若,则双曲线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据离心率得渐近线方程,再根据,用c表示OM,MF,最后根据面积得结果.‎ ‎【详解】因为离心率是,所以,即渐近线方程为,‎ 不妨设M在上,则由得,‎ 因此,双曲线的方程为,选D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线渐近线、离心率以及标准方程,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎8.在空间直角坐标系中,四面体的顶点坐标分别是, , , .则该四面体的体积( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由图知: 选C.‎ ‎9.已知椭圆,点为左焦点,点为下顶点,平行于的直线交椭圆于两点,且的中点为,则椭圆的离心率为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设A(,),B(,),因为A、B在椭圆上将两式相减可得直线AB的斜率与直线OM的斜率的关系,建立关于a,b,c的方程,从而求出所求;‎ ‎【详解】设A(,),B(,),又的中点为,则 又因为A、B在椭圆上 所以 两式相减,得:‎ ‎∵,‎ ‎∴,∴,平方可得, ∴=,,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了点差法求斜率,以及椭圆的几何性质,同时考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎10.如图1,在等腰中,,分别是上的点,,为的中点,将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,若平面,则与平面所成角的正弦值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:过D作线段BC的垂线,垂足为F,则平面,所以为与平面所成角,又因为,所以 考点:线面夹角 二、多项选择题:本题共2小题,每小题5分,共10分.每小题有多个正确选项,选不全得3分,错选不得分 ‎11.下面选项中错误的有( )‎ A. 命题“若,则”的否命题为:“若,则”‎ B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“,使得”的否定是“,均有”‎ D. 命题“若,则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原命题与它的否命题的关系判断;‎ 根据充分与必要条件的定义判断;‎ 根据特称量词命题的否定是全称命题判断;‎ 根据互为逆否命题的两个命题同真假可判断;‎ ‎【详解】解:对于,命题“若,则”的否命题为:“若,则”‎ 错误;‎ 对于,由“”是得不到“”,即“”是“”不充分条件,‎ 由 “”可知“”,即“”是“”必要条件,故“”是“”必要不充分条件,错误;‎ 对于,命题“,使得”的否定是“,使得”, 错误;‎ 对于,命题“若,则”为真命题,根据互为逆否命题的两个命题同真假,可知,命题“若,则”的逆否命题为真命题,正确;‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用,考查四种命题的逆否关系,命题的否定以及充要条件的判断,是基本知识的综合应用.‎ ‎12.在四面体中,以上说法正确的有( )‎ A. 若,则可知 B. 若Q为的重心,则 C. 若,,则 D. 若四面体各棱长都为2,M,N分别为,中点,则 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的线性运算与数量积一一判断即可.‎ ‎【详解】解:对于,,,‎ ‎ ,,即,故正确;‎ 对于,若Q为的重心,则,‎ 即,故正确;‎ 对于,若,,则 故正确; ‎ 对于,‎ 故错误.‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算,向量的数量积及利用向量的数量积求向量的模,属于中档题.‎ 三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.如图,在直三棱柱中,若,,,则________.(用表示)‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量减法以及加法平行四边形法则可得结果.‎ ‎【详解】.‎ ‎【点睛】本题考查向量减法以及加法平行四边形法则,考查基本求解能力,属基础题.‎ ‎14.与双曲线共焦点,且过点的椭圆方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据双曲线的标准方程,求得焦点坐标,根据点在椭圆上,根据定义求出,从而求出,则椭圆方程可得.‎ 详解】解:由题设知:‎ 所以其焦点为, 焦点在轴上,因为椭圆与双曲线同焦点,‎ 故设椭圆方程为 又椭圆过点 解得,,‎ ‎ 与双曲线共焦点,且过点的椭圆方程为,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握,运用椭圆的定义求出是解题的关键,属于基础题.‎ ‎15.如图,三棱锥中,,,两两垂直,且,,的长度都是2,则点A到平面的距离为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点,连接,,则平面.过作,则平面,所以为点到平面的距离,由等面积可得.‎ ‎【详解】解:取中点,连接,,则平面.‎ 过作,则平面,‎ 所以为点到平面的距离.‎ 因为,,是两两垂直且长度均为2,‎ 所以,,,‎ 所以由等面积可得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查点到平面的距离,考查学生的计算能力,由等面积确定是关键,属于基础题.‎ ‎16.已知,是椭圆和双曲线公共焦点,P是它们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长,焦距.由椭圆及双曲线定义用,表示出,,在△中根据余弦定理可得到,与的关系,转化为离心率,再由基本不等式得结论.‎ ‎【详解】解:如图,设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,‎ 则根据椭圆及双曲线的定义:‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 设,,则:‎ 在△中由余弦定理得,‎ ‎,‎ 化简得:,‎ 即,‎ 又,‎ ‎,即,‎ 即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征,考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长,解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形,求出焦点三角形的边长,属于中档题.‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写岀文字说明,证明过程及演算步骤.其中第17题满分10分,其余各题满分12分.‎ ‎17.已知p:对任意q:存在 若“p或q”为真,“p且q”为假.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】-1≤≤1或>3‎ ‎【解析】‎ 试题分析:先化简 和 ,命题等价于真 假或假真,建立相应不等式组,解之得正解. ‎ 试题解析:‎ 若p真,则对任意即在上恒成立. ‎ ‎,则.若q真,则 又因为“p或q”为真,“p且q”为假,所以p,q中一个为真一个为假.‎ ‎(1)当p真q假时,有,所以-1≤≤1.‎ ‎(2)当p假q真时,有,所以>3.‎ 综上所述,实数的取值范围为-1≤≤1或>3.‎ ‎18.已知向量,,若向量同时满足下列三个条件:①;②;③与垂直.‎ ‎(1)求的模;‎ ‎(2)求向量的坐标.‎ ‎【答案】(1)1;(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出的坐标,即可求出的模;‎ ‎(2)设,则由题可知,解出即可得出.‎ ‎【详解】解:(1)∵,,‎ ‎∴,‎ 所以 ;‎ ‎(2)设,则由题可知 ‎ ‎ 解得或 ‎ 所以或.‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎19.如图,三棱锥中,平面,,,E为中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知条件推导出,平面,从而得到,再由,能证明面.‎ ‎(2)取中点,过作,连结,由已知条件推导出为二面角的平面角,由此能求出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】(1)∵平面,平面,∴, ‎ ‎∵,平面,平面,,‎ ‎∴平面, ‎ 又平面,∴, ‎ ‎∵,E为的中点,∴, ‎ ‎∵平面,平面,,‎ ‎∴平面; ‎ ‎(2)取的中点F,连接,则.‎ 由已知得面,过F作,M为垂足,连接,‎ 由(1)知,平面,∵平面,‎ ‎∴,‎ ‎∵,且,∴面,‎ ‎∵平面,∴,‎ 故为二面角的平面角,‎ 在中,,,‎ 所以,,, ‎ 故二面角的余弦值为; ‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的长轴为直径的圆与直线相切.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)已知过点的动直线与椭圆的两个交点为,求的面积S的取值范围.‎ ‎【答案】(1); (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据直线与圆相切可得,再根据离心率得,(2)设动直线方程,并联立直线和椭圆方程,利用韦达定理与弦长公式得,根据点到直线距离公式得三角形的高,代入三角形面积公式得,最后结合基本不等式求取值范围.‎ ‎【详解】(1)由离心率为,‎ 因为椭圆C的长轴为直径的圆与直线相切,‎ 所以,‎ 即椭圆的标准方程.‎ ‎(2)设动直线方程为,点,且,‎ 联立直线和椭圆方程,‎ 消元得,‎ 则,‎ 因为原点到直线距离为,‎ 则的面积,‎ 令,则,‎ 又(当且仅当时取等号),则,‎ 即的面积S的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ ‎21.如图,在三棱锥中,已知都是边长为的等边三角形,为中点,且平面,为线段上一动点,记.‎ 当时,求异面直线与所成角的余弦值;‎ 当与平面所成角的正弦值为时,求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据向量数量积求向量夹角,最后根据线线角与向量夹角相等或互补得结果,(2)建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求平面的一个法向量,再根据向量数量积求向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余列等量关系,解得结果.‎ ‎【详解】连接CE, 以分别为轴,‎ 建立如图空间直角坐标系,‎ ‎ ‎ 则,‎ 因为F为线段AB上一动点,且,‎ 则, 所以.‎ ‎(1)当时,,,‎ 所以. ‎ ‎(2),‎ 设平面的一个法向量为=‎ 由 , 得,化简得,取 ‎ 设与平面所成角为,‎ 则.‎ 解得或(舍去),所以.‎ ‎【点睛】利用法向量求解空间线面角关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.‎ ‎22.已知椭圆C长轴的两个顶点为A(-2,0),B(2,0),且其离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)若N是直线x=2上不同于点B的任意一点,直线AN与椭圆C交于点Q,设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M(异于点B),求证:直线NM经过定点.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(Ⅰ) ‎ 点的轨迹方程为.‎ ‎(Ⅱ)设点,则直线的方程为,‎ 解方程组,消去得,‎ 设,则,, ‎ 从而,又,‎ 直线与以为直径圆的另一个交点为,,‎ 方程为,即,过定点, ‎ 考点:椭圆方程,直线与椭圆的关系,定点问题.‎ ‎ ‎
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