浙江省杭州市高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

浙江省杭州市高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com ‎2019学年杭高高一上期中 一、选择题：每小题4分，共40分 ‎1. 已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，则A∩B的元素个数是（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：求出A与B的交集，找出交集元素的个数即可．‎ 解：∵A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，‎ ‎∴A∩B={2，4}，‎ 则A∩B的元素个数是2个．‎ 故选C．‎ 考点：交集及其运算．‎ ‎2.下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数相等的概念逐一判断即可.‎ ‎【详解】A、C、 D三个选项中的两个函数定义域不同，不是同一函数，B选项中函数与三要素相同，是同一函数.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数相等的概念，判断两个函数是否相等主要看函数的三要素是否相同，属基础题.‎ ‎3.下列图象中可以表示以为定义域，为值域的函数图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象判断即可.‎ ‎【详解】由图可知，A选项值域不符合，B、D选项定义域不符合，C选项定义域、值域均符合题意.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查根据函数图象观察函数的定义域、值域等，属基础题.‎ ‎4.若，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，，故选B.‎ 考点：比较大小.‎ ‎5.函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据的图象排除选项，再利用函数的图象排除剩余选项即可.‎ ‎【详解】由函数易知C、D选项不正确，对于A、B选项可知函数为 时的图象，但函数的图象过点，而函数的图象过点，所以B选项不正确，A选项正确.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象问题中的知式选图问题，属常规考题.‎ ‎6.已知函数，则有（ ）‎ A. 是偶函数，递增区间为 B. 是偶函数，递增区间为 C. 是奇函数，递减区间为 D. 是奇函数，递增区间为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性，再分段判断函数的单调性即可.‎ ‎【详解】因为函数的定义域为且 ‎，所以函数为奇函数，此时易知函数在、上单调递增，在上单调递减，C选项正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的奇偶性、单调性问题，属常规考题，难度不大.‎ ‎7.设函数 ，若，则的取值范围是（ ）‎ A. （，1） B. （，）‎ C. （，）（0，） D. （，）（1，）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当时，，则，‎ 当时， ，则 ，‎ 综上：或.选D.‎ ‎【点睛】有关分段函数问题是函数部分的一个重要考点，经常考查分段函数求值、定义域、值域、奇偶性、单调性、解方程、解不等式、函数图像等，是高考的热点之一.‎ ‎8.设偶函数（），则满足的实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断出函数在上的单调递增，再将化为，即，解之即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由已知可得函数在上的单调递增，且，又函数为偶函数，所以不等式化为，则，解之得，实数 的取值范围为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性及单调性解不等式求参数的取值范围问题，属中等难度题.‎ ‎9.函数f（x）=log2（-x2+ax+3）在（2，4）是单调递减的，则a的范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复合函数的单调性可知内层函数在（2，4）上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x＝4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．‎ ‎【详解】令t＝﹣x2+ax+3，则原函数化为y＝log2t，‎ ‎∵y＝log2t为增函数，‎ ‎∴t＝﹣x2+ax+3在（2，4）是单调递减，‎ 对称轴为x，‎ ‎∴且﹣42+4a+3≥0，‎ 解得：．‎ ‎∴a的范围是[，4]．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是中档题．‎ ‎10.不等式的解集是区间的子集，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原不等式等价于，设，则由题意得，解之即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】不等式等价于，设，因为不等式的解集是区间的子集，所以，解之得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.‎ 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 ‎11.函数的定义域为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式组解之即可.‎ ‎【详解】由已知可得，解之得且，所以函数的定义域为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查具体函数的定义域的求法，属基础题.‎ ‎12.函数的值域为___________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则函数可变形为，然后结合其定义域利用单调性即可值域.‎ ‎【详解】易知函数的定义域为，令，则，函数可变形为，此时函数在上单调递增，可得函数的值域为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值域的求法，本题用换元法较合适，属中等难度题.‎ ‎13.设函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的解析式为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用奇函数的定义求出时的解析式，再结合即可求出整个函数的解析式.‎ ‎【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，，，则，综上，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求分段函数的解析式，属常规考题.‎ ‎14.已知幂函数图象经过点，则它的表达式为___________；单调递减区间为___________．‎ ‎【答案】 (1). (2). 、‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，将点代入即可求出函数的解析式及单调递减区间.‎ ‎【详解】设，将点代入可得，即，也即，易知函数的单调递减区间为、.‎ 故答案：；、.‎ ‎【点睛】本题主要考查幂函数解析式求法及判断幂函数的单调性问题，属基础题.‎ ‎15.已知表示，两数中的最大数，若，则的最小值为___________；若关于对称，则___________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于函数，先化简为分段函数，根据指数函数的性质分段求最值即可；对于，利用函数的图象和函数的图象的对称性得的图象关于直线对称即可求出的值.‎ ‎【详解】对于函数，由已知化简得，当时，，且时，有最小值，当时，函数单调递减，此时，综上，最小值为.‎ 对于函数，由函数的图象关于直线对称，函数 的图象关于直线对称，可得函数的图象关于直线对称，所以，即.‎ 故答案：；.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题及函数的对称性，属中等难度题.‎ ‎16.已知函数，则___________；的递减区间为___________．‎ ‎【答案】 (1). ， (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，解得，先求出函数的解析式，即可求出函数的解析式，最后利用复合函数的单调性的判断方法求出的递减区间.‎ ‎【详解】令，解得，则，即，；令，可得当即时函数单调递减，所以函数的递减区间为.‎ 故答案为：，；.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用换元法求函数解析式及复合函数的单调区间的求解问题，属基础题.‎ ‎17.已知函数，当时，___________；若图象与轴恰有两个交点，则实数的取值范围为___________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，的值直接计算即可；若图象与轴恰有两个交点即方程有两个不等实根，分别求出方程、的根，再结合 的情况分类讨论即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时，，；若图象与轴恰有两个交点，则方程有两个不等实根，因为方程的实根为或，方程的实根为，所以当时，方程有两个实根或；当时方程有一个实根；当时，方程有两个实根或；当时，方程有一个实根.综上可得，实数的取值范围为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题及与分段函数有关的方程根的个数问题，试题侧重对分类讨论思想的考查，属中等难度题.‎ 三、解答题：5小题，共74分 ‎18.已知全集，集合，‎ ‎（1）若时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接计算即可；（2）由可得，然后分、、三种情况讨论即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1） 当时，或，‎ 此时；‎ ‎（2）由可得，当时， 或，满足条件；当时，，满足条件；当时，或，要使，则有.综上可得，实数取值范围为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的运算及已知集合间的包含关系求参数的取值范围问题，属常规考题.‎ ‎19.化简求值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用指数、对数的运算性质计算即可.‎ ‎【详解】（1）原式；‎ ‎（2）原式；‎ ‎（3）原式.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数、对数的运算性质，对计算能力要求较高，属基础题.‎ ‎20.已知函数，，为任意实数．‎ ‎（1）求最大值；‎ ‎（2）任意，使得恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时，的最大值为；当时，的最大值为.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，转化为求函数的最大值，然后分类讨论即可；（2）令 ‎，将不等式恒成立问题转化为，求出在上的最大值代入即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）令，则原函数可化为，，当，即时，；当即时，.综上，当时，的最大值为；当时，的最大值为.‎ ‎（2）令，则，不等式可化为在上恒成立，也即，因为在上单调递减，所以当时，得，所以，即实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用换元法求复合函数的最值及将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题从而求参数的取值范围，综合性强，属中等难度题.‎ ‎21.设函数且，，是定义域在上的奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：当时，函数是上的增函数；‎ ‎（3）若且满足的解集为，求定义域为的函数的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由即可求得的值；（2）利用单调性的定义证明即可；（3）先由求出，再利用函数的单调性、奇偶性解不等式求出，最后将函数化简并利用换元法求其值域即可.‎ ‎【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即；‎ 因为 任取、，且，则，‎ 因为，，所以，即，‎ 所以函数是上的增函数.‎ ‎（3）由可得，解之得，此时函数在上单调递增，又函数为奇函数，则不等式可化为，即，解之得，所以，又因为，令，函数可变为，此时在上单调递增，且、，，故函数的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，利用单调性定义证明函数的单调性，利用函数的单调性、奇偶性解不等式，利用换元法求函数的值域等知识，知识面广、综合性强、计算量大，属中等难度题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若，求函数的值域；‎ ‎（2）若函数的定义域、值域都为，且在上单调，求实数b的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接计算即可；（2）当函数在上单调递增时，可得转化为方程在上有两不等实根的问题，，令，则有 解之即可；当函数在上单调递减时，，可得，两式相减得或，代入转化为函数在上的值域问题即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，所以函数的值域为；（2）因为函数的定义域、值域都为，且在上单调，当时，函数在上单调递增，此时，即，等价于方程在上有两不等实根，令，则有，无解；当时，函数在上单调递减，此时，即，两式相减得：，即（舍）或，也即，由可得，将代入可得方程在上有解，即为函数在上的值域问题，因为在上单调递减，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查求二次函数的值域及已知二次函数的定义域、值域并结合二次函数的单调性求参数的取值范围问题，试题综合性强，属中等难度题.‎ ‎ ‎