数学文·湖南省衡阳市第八中学2017届高三上学期第二次月考文数试题 Word版含解析

数学文·湖南省衡阳市第八中学2017届高三上学期第二次月考文数试题 Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知集合，则下列关系式错误的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为 ，而，即B、C正确，又因为且，所以，即D正确，故选A. ‎ 考点：集合与元素的关系.‎ ‎2．已知命题，则为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D 考点：全称命题的否定.‎ ‎3．下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对于A，为增函数，为减函数，故为减函数，对于B，，故为增函数，对于C，函数定义域为，不为，对于D，函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故选B. ‎ 考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.‎ ‎4．集合,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为,,所以，故选B. ‎ 考点：1、对数函数的性质及不等式的解法；2、集合交集的应用.‎ ‎5．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】‎ ‎6．“为真”是“为假”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为假真时，真，此时为真，所以，“ 真”不能得“为假”，而“为假”时为真，必有“ 真”，故选B. ‎ 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.‎ ‎7.若是定义在上的偶函数，，有，则 ‎（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 8．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：A、当时，，所以不正确；B、当时，，所以不正确；D、当时，，所以不正确；综上所述，故选C. ‎ 考点：函数的图象与性质.‎ ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.‎ 解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.本题主要是利用特殊点排除法解答的.‎ ‎9．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则 ‎（ ）‎ A、-12 B、-16 C、-20 D、0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，的周期为，因此 ，故选A. ‎ 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性.‎ ‎10．定义运算：．例如，则函数的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.‎ ‎ ‎ ‎11．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：函数有两个零点等价于与的图象有两个交点，当时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.‎ ‎ （1） （2）‎ 考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.‎ ‎12．设函数是的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数 都有对称中心，其中满足.已知函数 ‎，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎，故选D. ‎ 考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.‎ ‎【方法点睛】本题通过 “三次函数都有对称中心”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出的对称中心后再利用对称性和的.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13．已知函数则______．‎ ‎【答案】‎ 考点：1、分段函数的解析式；2、指数函数、对数函数的性质.‎ ‎14．函数在点处的切线的斜率是 .‎ ‎【答案】【解析】‎ 试题分析：，则，故答案为. ‎ 考点：利用导数求曲线上某点切线斜率.‎ ‎15．幂函数在区间上是增函数，则 ．‎ ‎【答案】【解析】‎ ‎【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：(1)若幂函数是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；(2)若幂函数在上单调递增，则，若在上单调递减，则；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. ‎ ‎16．函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定 ‎（为线段AB的长度）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给 出以下命题：‎ ‎①函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则；‎ ‎②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；‎ ‎③设点A,B是抛物线上不同的两点，则；‎ ‎④设曲线（e是自然对数的底数）上不同两点，若 恒成立，则实数t的取值范围是.‎ 其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）‎ ‎【答案】②③【解析】‎ 试题分析：①错：‎ ‎②对：如；③对；；‎ ‎④错；，‎ 因为恒成立，故.故答案为②③.‎ 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.‎ ‎【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设集合．‎ ‎（1）若，判断集合与的关系；‎ ‎（2）若，求实数组成的集合．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 考点：1、集合的表示；2、子集的性质.‎ ‎18．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中 随机抽取100名后按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第 ‎5组，得到的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组 各抽取多少名志愿者？‎ ‎（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组 至少有一名志愿者被抽中的概率.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有种情况，其中第组的名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. ‎ ‎（2）记第3组的3名志愿者为，第4组的2名志愿者为，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有，，，，，，，，，，共10种，其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有，，，，，，，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为.‎ 考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式.‎ ‎19．如图，在三棱柱中，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）有线面垂直的性质可得，再由菱形的性质可得 ‎，进而有线面垂直的判定定理可得结论；（2）先证三角形为正三角形，再由于勾股定理求得的值，进而的三角形的面积，又知三棱锥的高为，利用棱锥的体积公式可得结果.‎ 考点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式.‎ ‎20．.‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）在中，角的对边分别为，若，的面积为，求的最小值.‎ ‎ 【答案】（1）（）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据可求得函数的单调递减区间；（2）由可得，再由三角形面积公式可得，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. ‎ 试题解析:（1），‎ 令，解得，，‎ ‎∴的单调递减区间为（）.‎ 考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．‎ ‎21．已知条件，条件，且是的一个必要不充分条件，求实数 的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先化简条件得，分三种情况化简条件，由是的一个必要不充分条件，可分三种情况列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.‎ 试题解析：由得，由得，当时，；当时，；当时， ‎ 由题意得，是 的一个必要不充分条件，‎ 当时，满足条件；当时，得，‎ 当时，得 综上，．‎ 考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,‎ 判断是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件能否推得条件，二是由条件能否推得条件.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当函数在点处的切线方程为，求函数的解析式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若是函数的零点，且，求的值；‎ ‎（3）当时，函数有两个零点，且，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题解析： （1），所以，‎ ‎∴函数的解析式为；‎ ‎（2），‎ 因为函数的定义域为，‎ 令或，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 且函数的定义域为，‎ ‎（3）当时，函数，‎ ‎，，‎ 两式相减可得，．‎ ‎，，因为，‎ 所以 设，，‎ ‎∴，‎ 所以在上为增函数，且，‎ ‎∴，又，所以．‎ 考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ ‎ ‎