数学理卷·2018届黑龙江省五常市雅臣中学高三11月月考（2017

数学理卷·2018届黑龙江省五常市雅臣中学高三11月月考（2017

雅臣学校高三数学试卷（理科）‎ 数学（理）试卷 第I卷（选择题）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（ ）‎ A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎2.等比数列{}中，＞0，则“＜”是“＜”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.若实数x，y满足约束条件 ，则x﹣y的最大值是（ ）‎ A．﹣7 B． C．﹣1 D．7‎ ‎4.在等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0，则当Sn最大时，n的值为（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎5.m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）‎ A．若m∥α，m∥β，则 α∥β B．若m∥α，α∥β，则 m∥β C．若m⊂α，m⊥β，则 α⊥β D．若m⊂α，α⊥β，则 m⊥β ‎6.函数f（x）=（x2﹣2x）ex的图象大致是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7.若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（ ）‎ A．18 B．6 C．2 D．2 ‎ ‎8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，E是边BC的中点，D是边AC上一动点，则•的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[﹣2，0]‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ ‎ ‎ A．4+2 B．4+ C．4+2 D．4+‎ ‎10.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（ ）‎ A． B．2 C．3 D．‎ ‎11.设方程5﹣x=|lgx|的两个根分别为x1，x2，则（ ）‎ A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1‎ ‎12.设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f′（x）=ex，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）（ ）‎ A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ 第II卷（非选择题）‎ ‎13.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是C或D作品获得一等奖”；‎ 乙说：“B作品获得一等奖”；‎ 丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；‎ 丁说：“是C作品获得一等奖”．‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．‎ ‎14.在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且， 若， 则λ+2μ的最大值 ．‎ ‎15.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1=1，Sn+1－Sn=(n∈N*)，则该数列的前2017项和S2017= ．‎ ‎16.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时f（x）=（）1﹣x，则 ‎①2是函数f（x）的周期；‎ ‎②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；‎ ‎③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；‎ ‎④当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3．‎ 其中所有正确命题的序号是 ．‎ 三、解答题共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17.（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．‎ ‎（Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．‎ ‎18.（12分已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2=8，Sn=﹣n﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎19.（12分）已知如图：三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱均相等，AA1⊥平面ABC，E为AA1的中点．‎ ‎（1）求证：平面BC1E⊥平面BCC1B1；‎ ‎（2）求二面角C1﹣BE﹣A1的余弦值．‎ ‎ 20.（12分）各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意． ‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎21.（12分）已知函数且.‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且 ‎22.[（10分）选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2‎ 的方程为 y=x，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．‎ ‎23.（10分）[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数f（x）=|x﹣a|．‎ ‎（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值；‎ ‎（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．‎ 理科数学试题答案 一、选择题 ‎1.C 2. B 3.C 4.B 5.C 6.A ‎7.B 8.B 9.A 10.A 11.D 12.B 二、填空题 ‎13. B 14. 15. 31009﹣2． 16. ①②④‎ 三、解答题 ‎17.【解答】解：（Ⅰ）设 则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC ‎∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC ‎ 方程两边同乘以2R ‎∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c 整理得a2=b2+c2+bc ‎∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA 故cosA=﹣，A=120°‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC ‎=sinB+sin（60°﹣B）‎ ‎=cosB+sinB ‎=sin（60°+B）‎ 故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．‎ ‎18.【解答】解：（I）∵a2=8，Sn=﹣n﹣1．‎ 可得a1=S1=﹣2=2，‎ ‎∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣n﹣1﹣，化为：an+1=3an+2，‎ ‎∴an+1+1=3（an+1），∴数列{an+1}是等比数列，第二项为9，公比为3．‎ ‎∴an+1=9×3n﹣2=3n．对n=1也成立．‎ ‎∴an=3n﹣1．‎ ‎（II）==﹣．‎ ‎∴数列{}的前n项和Tn=++…+‎ ‎=﹣．‎ ‎19.【解答】证明：（1）如图1，连接CB1交BC1于点O，则O为CB1与BC1的中点，‎ 连接EC，EB1 依题意有；EB=EC1=EC=EB1 …‎ ‎∴EO⊥CB1，EO⊥BC1，‎ ‎∴EO⊥平面BCC1B1，OE⊆平面BC1E ‎∴平面EBC1⊥平面BCC1B1．…‎ 解：（2）如图2，由（1）知EO⊥CB1，EO⊥BC1，‎ ‎∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱均相等，‎ ‎∴BC1⊥CB1，即EO、BC1、CB1两两互相垂直，‎ ‎∴可建立如图2所示的空间直角坐标系，令棱长为2a，‎ 则，，，，…‎ ‎=（0，，），=（﹣，，0），‎ 依题意得向量为平面C1BE的一个法向量，‎ 令平面BEA1的一个法向量为，‎ 则，‎ ‎∴，设f=1，则，∴，…‎ 令二面角C1﹣BE﹣A1的平面角为θ 则=‎ 所以二面角C1﹣BE﹣A1的余弦值为…‎ ‎20.【解答】解：（1）由6Sn=an2+3an+2①‎ 得6Sn﹣1=an﹣12+3an﹣1+2②‎ ‎①﹣②得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）=0，‎ ‎∵各项均为正数的数列{an}‎ ‎∴an﹣an﹣1=3，‎ ‎∴数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，‎ ‎∴数列{an}的通项公式是an=3n﹣2‎ ‎（2）Sn=，‎ ‎∴=n•2n，‎ ‎∴Tn=1×21+2×22+…+n•2n，③‎ ‎2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1，④‎ ‎③﹣④，得﹣Tn=21+22+23+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，‎ ‎∴Tn=（n﹣1）2n+1+2．‎ ‎21.【解答】解：（1）的定义域为 设，则等价于 因为 若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故 综上，a=1‎ ‎（2）由（1）知 设 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增 又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.‎ 因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由 由得 因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得 所以 22. 参数方程与极坐标 ‎【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），‎ 转化为普通方程：，‎ 即，‎ 则C1的极坐标方程为，…（3分）‎ ‎∵直线C2的方程为，‎ ‎∴直线C2的极坐标方程．…‎ ‎（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），‎ 将代入，‎ 得：ρ2﹣5ρ+3=0，‎ ‎∴ρ1•ρ2=3，‎ ‎∴|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=3．…（10分）‎ ‎23.不等式选讲【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）≤m，‎ ‎∴|x﹣a|≤m，‎ 即a﹣m≤x≤a+m，‎ ‎∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，‎ ‎∴，解得a=2，m=3．‎ ‎（Ⅱ）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，‎ 则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．‎ 当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．‎ 当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤成立．‎ 当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．‎ 综上不等式的解集为（﹣∞，]．‎