陕西省西安中学2020届高三仿真考试（一）数学（理）试题

陕西省西安中学2020届高三仿真考试（一）数学（理）试题

西安中学高2020届仿真考试 理科数学 ‎1、已知复数满足，则复数（ ）‎ ‎ ‎ ‎2、已知集合 ，则( )‎ ‎ ‎ ‎3、已知都是实数，那么“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4、已知等比数列中有，数列是等差数列，且，则（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎5、已知 , ， ，则 的大小关系为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐． 齐去长安三千里． 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图． 若输出的的值为350，则判断框中可填（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7、如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、在中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，‎ 若，且，则=（    ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、已知函数与互为反函数，函数的图象与的图象关于轴对称，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10、已知数列的通项公式，则（ ）‎ A．150 B．162 C．180 D．210‎ ‎11、关于函数 有下述四个结论：‎ 函数 的图象把圆的面积两等分；‎ 是周期为的函数 函数在区间上有3个零点；‎ 函数在区间上单调递减；则正确结论的序号为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论错误的是( )‎ ‎ 曲线的方程为； ‎ ‎ 左焦点到一条渐近线距离为；‎ 直线与曲线有两个公共点； ‎ 过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条；‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13、已知一组数据分别是 则这组数据的中位数与众数的等比中项为 ；‎ ‎14、若二项式的展开式中的常数项为，则______．‎ ‎15、已知抛物线的焦点为，准线为，过点斜率为的直线与抛物线交于点（在轴的上方），过作于点，连接交抛物线于点，则_______．‎ ‎16.半径为2的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，则，与 ‎ 面积之和的最大值为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17、（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中， ‎ ‎(1)证明：平面 ； 若 ，，为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎18、（本题满分12分）‎ 的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；（2）若，的面积为，求.‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ ‎ 现在是夏季多雨，是防汛时节，某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，(假设两河流发生洪水与否互不影响).现有一台大型设备正在该地施工，为了保护设备，施工方提出以下三种方案：‎ 方案一：运走设备需要花4000元；‎ 方案二：建一保护围墙，需要花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失56000元；‎ 方案三：不采取措施，此时，当两个河流都发生洪水时损失60000元，只有一条河流发生洪水时，损失10000元。‎ ‎（1）试求方案三中损失费 （随机变量）的分布列；‎ ‎（2）试比较哪一种方案好，说明理由。‎ ‎20、（本题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ， ‎ ‎（1）若 ，求 在区间 上的单调区间；‎ ‎（2）若 ，证明： 时恒有 ‎ ‎21、（本题满分12分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若不经过点的直线与椭圆交于两点，且与圆 相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做按所做的第一题计分 ‎22、[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)‎ ‎ 在平面直角坐标系 中， .以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 ，点 为 上的动点， 为 的中点。‎ ‎（1）求点 的轨迹 的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点 的极坐标为 ，若直线 经过点 与曲线 交于 ，弦 的中点为 ‎ ‎ 求 的取值范围。‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知，，不等式恒成立．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：．‎ 西安中学高2020届仿真考试 理科数学答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B C D B A D A B C C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13、 14、 124 15、 16、 8 ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17、（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中， ‎ ‎(1)证明：平面 ； 若 ，，为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎17、（满分12分）‎ ‎（1）证明：在四棱锥中，，‎ ‎ ，．‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，平面ABCD．‎ 解：，平面ABCD，‎ 以A为原点，AD为x轴，AM为y轴，AB为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，，，E为线段BM上一点，‎ 且，，．‎ ‎，0，，0，，0，，2，，‎ ‎， 0，，2，，‎ 设平面BDM的法向量y，，则 ,，取，得，‎ 设直线EC与平面BDM所成角为，则直线EC与平面BDM所成角的正弦值为：‎ ‎.‎ ‎18、（本题满分12分）‎ 的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；（2）若，的面积为，求.‎ 解：（1）在中， ‎ 即： ，又 ‎ 所以： ， 或 （舍去）,‎ ‎ 分 ‎(2)由的面积为得： ，又由得 ‎ 所以 ，由余弦定理得： ‎ 即分 ‎19、（满分12分）‎ 解：（1）在方案三中，记：甲河流发生洪水的事件为，乙河流发生洪水的事件为 ，则 ，有且只有一条发生洪水的概率为 ‎ ‎ 两河流都发生洪水的概率为 ，两河流都不发生洪水的概率为 ‎ 由题意知： 的取值为：10000,60000，0，则 的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎10000‎ ‎60000‎ ‎ ‎ ‎0.615‎ ‎0.34‎ ‎0.045‎ ‎(2)对于方案一来说，花费4000元 对于方案二来说：建围墙花费1000元，他只能抵御一条河流的洪水，但当两条河流都发生洪水时，损失56000元，而两条河流都发生洪水的概率为 ，所以该方案中可能的花费为 元 对于方案三来说：损失费用为：(元)‎ 比较可知：方案二最好，方案一次之，方案三最差。‎ ‎20、（本题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ， ‎ ‎（1）若 ，求 在区间 上的单调区间；‎ ‎（2）若 ，证明： 时恒有 ‎ 解：（1） ；‎ ‎ ，令 及 ，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递减 极小 单调递增 极大 单调递减 由上述表格可知： 在递减，在递增，在递减分 ‎（2）证明：，, ,设 ‎ 而 在 为增函数，又 ，‎ 所以存在唯一 ,使得 ，在 上， ， 递减， ，在 上，递增， ‎ 因此在 总有 即 在递减，所以有： 分 ‎21、（本题满分12分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若不经过点的直线与椭圆交于两点，且与圆 相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.‎ ‎（1）解：由题可知，，则，又直线的方程为，即，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.分 ‎（2）因为直线与圆相切，‎ 所以，即 分 设，联立，消去整理得，‎ 所以，分；‎ ‎ 分 所以 ‎ 又，所以.分 因为,同理 ‎ 所以，分 所以的周长是;‎ 则的周长为定值.分 ‎22、[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)‎ ‎ 在平面直角坐标系 中， .以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 ，点 为 上的动点， 为 的中点。‎ ‎（1）求点 的轨迹 的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点 的极坐标为 ，若直线 经过点 与曲线 交于 ，弦 的中点为 ‎ ‎ 求 的取值范围。‎ ‎22、解：（1）设 ，因为的极坐标方程为 ,所以的直角坐标坐标方程为 , ,即 ，点 在半圆 上，所以 ，整理得： 分 ‎（2）因为直线 过点 ，所以直线的参数方程为 （ 为参数， 为直线倾斜角， ），代入 方程得： ，则 ，‎ ‎ ，所以分 ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知，，不等式恒成立．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎23、解（1）∵，∴．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．分 ‎（2）∵，，‎ 即两边开平方得．‎ 同理可得，．‎ 三式相加，得．分