数学理卷·2018届湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学高三联考（2018

数学理卷·2018届湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学高三联考（2018

长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足，则对应点所在的象限是（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎2.设集合，，则的子集的个数是（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1 ‎ ‎3.已知双曲线（，）的一个焦点为，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.在数列中，，，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）‎ A．23 B．47 C．24 D．48 ‎ ‎7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）‎ A．168种 B．156种 C．172种 D．180种 ‎ ‎8.设，，是半径为1的圆上的三点，，则 的最大值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知，其中，为自然对数的底数，则在的展开式中的系数是（ ）‎ A．240 B．80 C． D． ‎ ‎11.过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线准线交于，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数的图象与直线（）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知实数，满足则的最小值为 ．‎ ‎14.已知点在函数（其中，为自然对数的底数）的图象上，且，，则的最大值为 ．‎ ‎15.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为 ．‎ ‎16.在平面四边形中，，，，，的面积为，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.若数列的前项和满足（，）．‎ ‎（1）证明：数列为等比数列，并求；‎ ‎（2）若，（），求数列的前项和．‎ ‎18.如图1，菱形的边长为12，，与交于点，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．‎ ‎（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0.01）；（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）‎ ‎（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如表关系：‎ 若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？‎ 附：相关系数公式，参考数据，．‎ ‎20.设点为圆：上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设与轴正半轴的交点为，过点的直线的斜率为（），与交于另一点为，若以点为圆心，以线段长为半径的圆与有4个公共点，求的取值范围．‎ ‎21.已知函数（，，为自然对数的底数），若 对于恒成立．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）证明：存在唯一极值点，且．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线的参数方程（为常数）和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与交于、两点，且，求倾斜角的值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围．‎ 长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试试题数学（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.4 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题意可知，即；‎ 当时，，即；‎ 所以数列是首项为，公比为2的等比数列，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）可知当时，从而 为偶数时，；‎ 为奇数时，‎ ‎，‎ 综上，‎ ‎18.（1）证明：∵四边形是菱形，‎ ‎∴，，‎ 中，，，‎ ‎∴，‎ 又是中点，∴，又，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，平面，，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，∴平面平面．‎ ‎（2）解：由题意，，，‎ 又由（1）知，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：，，，‎ 故，，‎ 设平面的法向量，‎ 则即令，则，，‎ ‎∴．‎ 由条件知平面，故取平面的法向量为，‎ 所以，，‎ 由图知二面角为锐二面角，‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎19.解：（1）由已知数据可得，，‎ 因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以相关系数，‎ 因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．‎ ‎（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．‎ ‎①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；‎ ‎②安装2台光照控制仪的情形：‎ 当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润元，‎ 当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润元，‎ 故的分布列为：‎ ‎2000‎ ‎6000‎ ‎0.2‎ ‎0.8‎ 所以元．‎ 综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．‎ ‎20.解：（1）设点，由，得，‎ 由于点在圆：上，则，‎ 即点的轨迹的方程为．‎ ‎（2）由（1）知，的方程为，‎ 因为与轴的正半轴的交点为，所以，‎ 所以故且斜率为的直线的方程为（）．‎ 由得，‎ 设，，因此，，‎ ‎．‎ 由于圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设在轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点，，满足，此时直线斜率，‎ 设直线的斜率为，且，，‎ 则，‎ 故，所以，‎ 即，‎ 所以，‎ 由于，因此，‎ 故．‎ 因为，所以，‎ 因此，又因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以，又因为，解得，‎ 所以，‎ 综上所述，的取值范围为．‎ ‎21.解：（1）由，可得，‎ 因为，所以，‎ 从而是的一个极小值点，‎ 由于，所以，即．‎ 当时，，，‎ ‎∵时，，在上单调递减，‎ 时，，在上单调递增；‎ ‎∴，故．‎ ‎（2）当时，，．‎ 令，则，‎ ‎∵时，，在上为减函数；‎ 时，，在上为增函数，‎ 由于，，所以在上存在满足，‎ ‎∵在上为减函数，‎ ‎∴时，，即，在上为增函数，‎ 时，，即，在上为减函数，‎ 时，，即，在上为减函数，‎ 时，，即，在上为增函数，‎ 因此在上只有一个极小值点0，‎ 综上可知，存在唯一的极大值点，且．‎ ‎∵，∴，‎ 所以，，‎ ‎∵时，，∴；‎ ‎∵，∴；‎ 综上知：．‎ ‎22.解：（1）∵倾斜角为的直线过点，‎ ‎∴直线的参数方程是（是参数），‎ ‎∵曲线的极坐标方程为，∴曲线的直角坐标方程是：．‎ ‎（2）把直线的参数方程代入，得，‎ ‎∴，，‎ 根据直线参数方程的几何意义 ‎，故或，‎ 又∵，‎ ‎∴．　‎ ‎23.解：（1）当时，‎ 由得不等式的解集为．　‎ ‎（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，‎ 因为在处取得最大值，‎ 所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，‎ 只需，即．‎