高中数学 1_3_1 函数的单调性与导数同步练习 新人教A版选修2-2

高中数学 1_3_1 函数的单调性与导数同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 ‎1.3.1‎ 函数的单调性与导数 一、选择题 ‎1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是(　　)‎ A．b2－‎4ac>0　　　　　　 B．b>0，c>0‎ C．b＝0，c>0 D．b2－‎3ac<0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵a>0，f(x)为增函数，‎ ‎∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，‎ ‎∴Δ＝(2b)2－4×‎3a×c＝4b2－‎12ac<0，∴b2－‎3ac<0.‎ ‎2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)‎ A．(－∞，2) B．(0,3)‎ C．(1,4) D．(2，＋∞)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　考查导数的简单应用．‎ f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，‎ 令f′(x)>0，解得x>2，故选D.‎ ‎3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)‎ A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]‎ C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．‎ ‎4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　当01时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.‎ ‎5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是(　　)‎ A.和 B.和 C.和 D.和 ‎[答案]　A ‎[解析]　y′＝xcosx，当－π0，‎ 当00，∴y′＝xcosx>0.‎ ‎6．下列命题成立的是(　　)‎ A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0‎ B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数 C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在 D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数 ‎[答案]　B ‎[解析]　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．‎ ‎7．(2007·福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)‎ A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0‎ C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.‎ ‎8．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若a0，f(x)≥0，‎ ‎∴f′(x)≤－，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数，‎ 又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)．‎ ‎9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)‎ A．f(0)＋f(2)<‎2f(1) B．f(0)＋f(2)≤‎2f(1)‎ C．f(0)＋f(2)≥‎2f(1) D．f(0)＋f(2)>‎2f(1)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，‎ 故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.‎ ‎10．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为 ‎(　　)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.‎ 二、填空题 ‎11．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．‎ ‎[答案]　b<－1或b>2‎ ‎[解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，‎ 由题意b＜－1或b＞2.‎ ‎12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．‎ ‎[答案]　a≥1‎ ‎[解析]　由已知a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．‎ 设g(x)＝，则g′(x)＝－＜0　(x＞1)，‎ ‎∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，‎ ‎∴g(x)＜g(1)，‎ ‎∵g(1)＝1，‎ ‎∴＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，‎ ‎∴a≥1.‎ ‎13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．‎ ‎[答案]　(－∞，－1)‎ ‎[解析]　函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，‎ 令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<，‎ ‎∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．‎ ‎14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．‎ ‎[答案]　[3，＋∞)‎ ‎[解析]　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，‎ 即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.‎ 三、解答题 ‎15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．‎ ‎(1)求a、b的值；‎ ‎(2)讨论函数f(x)的单调性．‎ ‎[解析]　(1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.‎ 由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，‎ 即，‎ 解得a＝1，b＝－3.‎ ‎(2)由a＝1，b＝－3得 f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)‎ ‎＝3(x＋1)(x－3)．‎ 令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－10；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．‎ ‎(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．‎ 令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.‎ 若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.‎ 当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.‎ 综合得a的取值范围为(－∞，1]．‎