陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试 高二数学（理）‎ 一、选择题（共12小题；共60分）‎ ‎1.抛物线y＝4x2的焦点坐标是（　　）‎ A. （0，1） B. （1，0） C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化为标准形式，即可得到焦点坐标.‎ ‎【详解】抛物线的标准方程为，即，开口向上，焦点在轴的正半轴上，‎ 故焦点坐标为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程，把抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎2.已知,且，则x=( )‎ A. 5 B. ‎4 ‎C. -4 D. -5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行，坐标对应成比例可求得x.‎ ‎【详解】由题意可知，因为，所以，所以x=-4,选C.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量平行的坐标关系，两向量平行，坐标对应成比例．‎ ‎3.给出下列命题：‎ ‎①若空间向量满足，则；‎ ‎②空间任意两个单位向量必相等；‎ ‎③对于非零向量，由，则；‎ ‎④在向量的数量积运算中.‎ 其中假命题的个数是（ ）‎ A 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合向量的性质，对四个命题逐个分析，可选出答案.‎ ‎【详解】对于①，空间向量的方向不一定相同，即不一定成立，故①错误；‎ 对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；‎ 对于③，取，，，满足，且，但是，故③错误；‎ 对于④，因为和都是常数，所以和表示两个向量，若和方向不同，则和不相等，故④错误.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的概念与性质，考查向量的数量积，考查学生的推理论证能力，属于基础题.‎ ‎4.下列命题，正确的是（ ）‎ A. 命题“，使得”的否定是“，均有”‎ B. 命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题 C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题 D. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于选项A,正确的是“ 均有”; 对于选项B,命题是真命题,存在四边相等的空间四边形不是正方形,比如正四面体,选项B错;‎ ‎ 对于选项C,由于原命题为假命题,所以其逆否命题为假命题,选项C错; 对于选项D,从否命题的形式上看,是正确的.故选D.‎ 点睛：本题以命题真假判断应用为载体, 考查了四种命题, 特称命题等知识点,属于中档题. 解题时要认真审题, 仔细解答. ‎ ‎5.过抛物线的焦点F作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据抛物线的定义，可以求出点A，B到准线距离，即可求得的长．‎ ‎【详解】抛物线的准线方程是，所以，‎ ‎，，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及过焦点弦的弦长求法．‎ ‎6.设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可.‎ ‎【详解】存在实数，使得，‎ 说明向量共线，当同向时，成立，‎ 当反向时，不成立，所以，充分性不成立.‎ 当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立，‎ 即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7.椭圆的焦距为4，则m等于（ ）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 4或8 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，分别求出、的表达式，结合可求出答案.‎ ‎【详解】因为为椭圆，所以，即，‎ 若椭圆的焦点在轴上，则，，故，解得，符合题意；‎ 若椭圆的焦点在轴上，则，，故，解得，符合题意.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎8.（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为 A. B. ‎ C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由已知可得，故选A.‎ 考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.‎ ‎【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.‎ ‎9.已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)‎ A. (1,0，－2) B. (1,0,2)‎ C. (－1,0,2) D. (2,0，－1)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用⊥，⊥⇔．即可得出．‎ ‎【详解】∵，，．‎ ‎∵⊥，⊥，∴．‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴P(－1,0,2) ．‎ 故选C ．‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积与垂直的关系，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎10.已知是椭圆的两焦点，P是椭圆上任意一点，过一焦点引的外角平分线的垂线，垂足为Q，则动点Q的轨迹为（ ▲ ）‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】不妨设过焦点引的外角平分线的垂线，垂足为Q，延长F1Q交F2P与M点,连OQ，则,所以动点Q的轨迹为圆，选A.‎ ‎11.如图所示，直三棱柱的侧棱长为，底面边长，且，点在棱上且，点在棱上，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题易知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，可知，进而可得的坐标，然后求得的表达式，求出最小值即可.‎ ‎【详解】由题意可知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，设，则，‎ 所以，，‎ 则，‎ 当时，取得最小值.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查两个向量的数量积的应用，考查向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎12.已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．‎ 考点：椭圆的几何性质．‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．‎ 二、填空题（共4小题；共20分）‎ ‎13.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四点共面的充要条件即可求出t的值.‎ ‎【详解】P，A，B，C四点共面，且，‎ ‎，解得.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查四点共面，掌握向量共面的充要条件是解题的关键，属于基础题.‎ ‎14.设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果．‎ ‎【详解】椭圆，‎ 可得，设，，‎ 可得，‎ 化简可得：，‎ ‎，故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎15.如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长．‎ ‎【详解】∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，‎ 又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于120°，且AB＝AC＝BD＝1，‎ ‎∴，60°，‎ ‎∴‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键．‎ ‎16.已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为_______‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的，，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接，交双曲线于，圆于，计算可得所求最小值．‎ ‎【详解】解：由题意可得，即，‎ 渐近线方程为，即有，‎ 即，可得双曲线方程为，‎ 焦点为，，，，，‎ 由双曲线的定义可得，‎ 由圆可得，半径，‎ ‎，‎ 连接，交双曲线于，圆于，‎ 可得取得最小值，且为，‎ 则则的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题（共12小题；共70分）‎ ‎17.根据下列条件求曲线的标准方程：‎ ‎（1）准线方程为的抛物线；‎ ‎（2）焦点在坐标轴上，且过点、的双曲线．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设抛物线的标准方程为，利用准线方程为，可求出的值，即可求出抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设所求双曲线的方程为，将点、代入方程，可求出，进而可求出双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】（1）设抛物线的标准方程为．‎ 其准线方程为，所以有，故．‎ 因此抛物线的标准方程为．‎ ‎（2）设所求双曲线的方程为，‎ 因为点、在双曲线上，所以点的坐标满足方程，‎ 由此得，解得，‎ 因此所求双曲线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线与双曲线的标准方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.如图，在正方体中，为棱的中点．求证： ‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明，可得出平面；‎ ‎（2）结合（1），平面的法向量是，然后求出平面的法向量，进而可证明，从而可知平面平面.‎ ‎【详解】（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，‎ 所以，，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得．‎ 因为，所以，所以平面；‎ ‎（2）设平面AEC的法向量，‎ 则，取，得，‎ ‎，‎ 平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，利用空间向量法是解决本题的较好方法，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于基础题.‎ ‎19.如图，在直三棱柱中，已知，，且，M是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设AC与平面的夹角为，求．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）易知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而可证明，又平面，即可证明平面；‎ ‎（2）由（1）可得及平面的法向量为，设和的夹角为，可得，求解即可.‎ ‎【详解】（1）由题易知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，‎ 是的中点，．‎ 由此可得，，，，‎ 设向量为平面的一个法向量，‎ 则，‎ 取，得，，为平面的一个法向量．‎ ‎，，‎ 平面，平面.‎ ‎（2），平面的一个法向量为，‎ AC与平面的夹角为，设和的夹角为，‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，利用空间向量法是解决本题的较好方法，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.‎ ‎20.一个圆经过点，且和直线相切．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）圆心到定点与到定直线的距离相等，可知圆心的轨迹是以点为焦点的抛物线，求出方程即可；‎ ‎（2）易知直线斜率存在且不为零，可设直线，设，，联立直线与抛物线方程，可得关于的一元二次方程，由轴是的角平分线，可得，整理可求得，再结合韦达定理，从而可求得的值，进而可求得直线过定点.‎ ‎【详解】（1）由题意，圆心到定点与到定直线的距离相等，‎ 根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹是以点为焦点的抛物线，其方程为.‎ ‎（2）由题可知，直线与C有两个交点且不垂于于轴，‎ 所以直线斜率存在且不为零，设直线，，，‎ 联立，可得，‎ 则，且，，‎ 又，，轴是的角平分线，‎ 所以，整理可得，‎ 所以，即，此时满足，故：，‎ 所以，直线PQ过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查直线恒过定点问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点．‎ ‎（1）求证:;‎ ‎（2）求二面角的余弦值;‎ ‎（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 在线段EC上存在点P,理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，从而平面ABCD，由此能证明．‎ ‎（2）推导出，，从而MB、MC、ME两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．‎ ‎（3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且．‎ ‎【详解】证明：Ⅰ，M是AB的中点，，‎ 平面平面ABCD，‎ 平面平面，平面ABE，‎ 平面ABCD，平面ABCD，‎ 解：（2） 平面ABCD，，是正三角形，‎ ‎、MC、ME两两垂直．‎ 建立如图所示空间直角坐标系 则0，，0，，0，，，0，，‎ ‎，0，，‎ 设y，是平面BCE的一个法向量，‎ 则，‎ 令，得，‎ 轴与平面ABE垂直，1，是平面ABE一个法向量 ‎，‎ 二面角的余弦值为 ‎（3）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为．‎ ‎0，，，‎ 设，，‎ 则，‎ 直线AP与平面ABE所成的角为，‎ ‎，‎ 由，解得，‎ 在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且 ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．‎ ‎22.已知是椭圆：左焦点，O为坐标原点，为椭圆上的点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上，求面积的最大值，及此时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）面积的最大值为1，  此时直线的方程为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意可得，求出，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设，，，易知直线AB的斜率存在，设为k，将两点坐标分别代入椭圆方程，所得两式相减，可得到，进而可求出k的值，从而设出直线的方程，并与椭圆方程联立，得到关于 的一元二次方程，分别表示出弦长及点O到直线AB的距离，从而可求得面积的表达式，进而求出最大值，并求得此时直线的方程.‎ ‎【详解】（1）依题意可得，‎ 即，解得，则．‎ 故椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）设，，，‎ 依题意可知，直线AB的斜率存在，设为k，‎ 则，所以，‎ 即，‎ 又，，，所以，‎ 又直线OP：，M在线段OP上，所以，所以．‎ 设直线AB的方程为，‎ 联立方程，可得，‎ ‎，，， ‎ 且，即，解得，‎ 所以，‎ ‎，‎ 又点O到直线AB的距离，‎ 所以，‎ 当且仅当，即舍去时，等号成立，此时直线方程为.‎ 所以面积的最大值为1，此时直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于难题.‎ ‎ ‎