高考文科数学复习：夯基提能作业本 (9)

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第三节　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 A组　基础题组 ‎1.下面给出的四个点中,位于x+y-1<0,‎x-y+1>0‎表示的平面区域内的点是(　　)‎ A.(0,2) B.(-2,0) C.(0,-2) D.(2,0)‎ ‎2.设变量x,y满足约束条件x-y+2≥0,‎‎2x+3y-6≥0,‎‎3x+2y-9≤0,‎则目标函数z=2x+5y的最小值为(　　)‎ A.-4 B.6 C.10 D.17‎ ‎3.(2016浙江,4,5分)若平面区域x+y-3≥0,‎‎2x-y-3≤0,‎x-2y+3≥0‎夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)‎ A.‎3‎‎5‎‎5‎ B.‎2‎ C.‎3‎‎2‎‎2‎ D.‎‎5‎ ‎4.设x,y满足约束条件x+y-7≤0,‎x-3y+1≤0,‎‎3x-y-5≥0,‎则z=2x-y的最大值为(　　)‎ A.10 B.8 C.3 D.2‎ ‎5.已知(x,y)满足x≥0,‎y≥0,‎x+y≤1,‎则k=yx+1‎的最大值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.1 D.‎‎1‎‎4‎ ‎6.x,y满足约束条件x+y-2≤0,‎x-2y-2≤0,‎‎2x-y+2≥0,‎若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎或-1 B.2或‎1‎‎2‎ C.2或1 D.2或-1‎ ‎7.某校今年计划招聘女教师a名,男教师b名.若a、b满足不等式组‎2a-b≥5,‎a-b≤2,‎a<7,‎设这所学校今年计划招聘教师最多x名,则x=(　　)‎ A.10 B.12 C.13 D.16‎ ‎8.(2015北京,13,5分)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为　　　　. ‎ ‎9.若x,y满足不等式组x+y≥1,‎‎2y-x≤2,‎y≥mx,‎且y+‎1‎‎2‎x的最大值为2,则实数m的值为　　　　. ‎ ‎10.若x,y满足约束条件x+y≥1,‎x-y≥-1,‎‎2x-y≤2.‎ ‎(1)求目标函数z=‎1‎‎2‎x-y+‎1‎‎2‎的最值;‎ ‎(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.‎ B组　提升题组 ‎11.(2016四川德阳模拟)已知P(x,y)为区域y‎2‎‎-x‎2‎≤0,‎‎0≤x≤a内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=2x-y的最大值是(　　)‎ A.6 B.0 C.2 D.2‎‎2‎ ‎12.(2016河北石家庄质检)已知x,y满足约束条件x≥1,‎y≥-1,‎‎4x+y≤9,‎x+y≤3,‎若目标函数z=y-mx(m>0)的最大值为1,则m的值是(　　)‎ A.-‎20‎‎9‎ B.1 C.2 D.5‎ ‎13.(2016贵州黔东南州模拟)若变量x、y满足约束条件x-y+1≤0,‎y≤1,‎x>-1,‎则(x-2)2+y2的最小值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎‎2‎ B.‎5‎ C.‎9‎‎2‎ D.5‎ ‎14.(2016江西高安中学联考)已知实数x,y满足x-2y+1≥0,‎x<2,‎x+y-1≥0,‎z=|2x-2y-1|,则z的取值范围是(　　)‎ A.‎5‎‎3‎‎,5‎ B.[0,5) C.[0,5] D.‎‎5‎‎3‎‎,5‎ ‎15.(2015四川,9,5分)设实数x,y满足‎2x+y≤10,‎x+2y≤14,‎x+y≥6,‎则xy的最大值为(　　)‎ A.‎25‎‎2‎ B.‎49‎‎2‎ C.12 D.16‎ ‎16.设关于x,y的不等式组‎2x-y+1>0,‎x+m<0,‎y-m>0‎表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范围是　　　　. ‎ ‎17.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:‎ ‎　　　原料 肥料　　　‎ A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.‎ ‎(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能够产生最大的利润?并求出最大利润.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.C　将四个点的坐标分别代入不等式组x+y-1<0,‎x-y+1>0,‎满足条件的是点(0,-2).‎ ‎2.B　由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分).‎ 当直线2x+5y-z=0过点A(3,0)时,zmin=2×3+5×0=6,故选B.‎ ‎3.B　作出可行域如图.‎ 由‎2x-y-3=0,‎x+y-3=0‎得A(2,1),‎ 由x+y-3=0,‎x-2y+3=0‎得B(1,2).‎ 斜率为1的平行直线l1,l2分别过A,B两点时它们之间的距离最小.过A(2,1)的直线l1:y=x-1,过B(1,2)的直线l2:y=x+1,此时两平行直线间的距离d=‎2‎‎2‎=‎2‎.故选B.‎ ‎4.B　作出可行域如图中阴影部分所示,由z=2x-y得y=2x-z,观察可知,当直线经过点A(5,2)时,对应的z值最大.故zmax=2×5-2=8.‎ ‎5.C　如图,不等式组x≥0,‎y≥0,‎x+y≤1‎表示的平面区域为△AOB及其内部,k=yx+1‎=y-0‎x-(-1)‎表示点(x,y)和(-1,0)的连线的斜率.由图知,点(0,1)和点(-1,0)连线的斜率最大,所以kmax=‎1-0‎‎0-(-1)‎=1.‎ ‎6.D　由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=-1或a=2.‎ ‎7.C　如图所示,画出约束条件所表示的区域,即可行域,作直线b+a=0,并平移,结合a,b∈N,可知当a=6,b=7时,a+b取最大值,故x=6+7=13.‎ ‎8.答案　7‎ 解析　由题意可知直线z=2x+3y经过点A(2,1)时,z取得最大值,即zmax=2×2+3×1=7.‎ ‎9.答案　‎‎3‎‎2‎ 解析　设z=y+‎1‎‎2‎x,当y+‎1‎‎2‎x取最大值2时,有y+‎1‎‎2‎x=2,如图,可知直线y=mx经过直线y+‎1‎‎2‎x=2与2y-x=2的交点A.‎ 由y+‎1‎‎2‎x=2,‎‎2y-x=2,‎解得x=1,‎y=‎3‎‎2‎,‎ ‎∴A点坐标为‎1,‎‎3‎‎2‎,代入直线方程y=mx,得m=‎3‎‎2‎(经检验满足题意).‎ ‎10.解析　(1)作出可行域如图,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).‎ 由图可知当目标函数线过A(3,4)时z取最小值-2,过C(1,0)时z取最大值1.所以z的最大值为1,最小值为-2.‎ ‎(2)由图可知-1<-a‎2‎<2,解得-40,∴当直线z=y-mx经过点A时,z取最大值,由x=1,‎x+y=3‎解得x=1,‎y=2,‎即A(1,2),‎ ‎∴2-m=1,解得m=1.故选B.‎ ‎13.D　作出不等式组对应的平面区域如图,‎ 设z=(x-2)2+y2,则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,‎ 由图知C、D间的距离最小,此时z最小.‎ 由y=1,‎x-y+1=0‎得x=0,‎y=1,‎即C(0,1),‎ 此时zmin=(x-2)2+y2=4+1=5,故选D.‎ ‎14.B　作出可行域如图所示:‎ 易求得A‎2,‎‎3‎‎2‎,B‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎,C(2,-1),令μ=2x-2y-1,则y=x-μ+1‎‎2‎,当直线y=x-μ+1‎‎2‎过点C(2,-1)时,μ有最大值5,过点B‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎时,μ有最小值-‎5‎‎3‎,因为可行域不包括直线x=2,所以z=|2x-2y-1|的取值范围是[0,5).故选B.‎ ‎15.A　解法一:作出可行域,如图.设z=xy,则y=zx.‎ ‎∵y=zx关于y=x对称,‎ ‎∴当y=zx与2x+y=10相切时,z有最大值.‎ 把y=10-2x代入xy=z,得x(10-2x)=z,‎ 即2x2-10x+z=0,由Δ=100-4×2×z=0,‎ 得z=‎25‎‎2‎.此时切点为‎5‎‎2‎‎,5‎,满足线性约束条件.∴xy的最大值为‎25‎‎2‎.‎ 解法二:作出可行域,如图.‎ 易求得A(2,6),B(4,2).‎ 设z=xy,若xy有最大值,则点(x,y)在第一象限,xy的几何意义为以可行域中的点对应的横坐标x,纵坐标y为邻边长的矩形面积,所以z=xy的最大值在上边界或右边界取得.‎ 当00,解得m<-‎2‎‎3‎.‎ ‎17.解析　(1)由已知,x,y满足的数学关系式为‎4x+5y≤200,‎‎8x+5y≤360,‎‎3x+10y≤300,‎x≥0,‎y≥0.‎ 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:‎ 图1‎ ‎(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.‎ 考虑z=2x+3y,将它变形为y=-‎2‎‎3‎x+z‎3‎,这是斜率为-‎2‎‎3‎,随z变化的一族平行直线.z‎3‎为直线在y轴上的截距,当z‎3‎取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距z‎3‎最大,即z最大.‎ 图2‎ 解方程组‎4x+5y=200,‎‎3x+10y=300,‎得点M的坐标为(20,24).‎ 所以zmax=2×20+3×24=112.‎ 答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.‎