河北省石家庄市第一中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版

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河北省石家庄市第一中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则为 A．　B．　　C．　　D．‎ ‎2．已知，，则等于 A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎3．已知函数若，则的取值范围是 ‎ A．　B．或　C．　D．-1<或．‎ ‎4．已知，则的大小关系为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：①；②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合．其中不正确的命题个数是 Ａ．1　　Ｂ．2　　Ｃ．3　　Ｄ．4‎ ‎6．直线与圆的公共点的个数为（ ）‎ A．0、1或2 　　B．‎2　‎　C．1　　D．0 ‎ ‎7．设点、为边或内部的两点，且， =+，则的面积与的面积之比为 A．　　B． 　　C． 　　D． ‎ ‎8．在△中，角的对边分别为，已知，且，则△的面积的最大值为 A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎9．已知、、是圆：上三点，且，则 A．　　B．　　C．　　D． ‎ ‎10．设离心率为的双曲线的右焦点为，直线过焦点，且斜率为，则直线与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是 A．　B．　C．　D　‎ ‎11．有下面四个判断：‎ ‎①命题：“设、，若，则”是一个假命题；‎ ‎②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；‎ ‎③命题“、”的否定是：“、”；‎ ‎④若函数的图象关于原点对称，则，‎ 其中正确的个数共有（ ）‎ A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 ‎12．已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为 A．　　B．　　C．或　　D．或 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ＊＊＊ ． ‎ ‎14．执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p 是 ＊＊＊　．‎ ‎15．设，在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为__＊＊＊___．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 设命题：实数满足；命题实数满足，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围？‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知公差不为０的等差数列的前项和为，，且成等比数列． ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和公式．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知为坐标原点，，， （且）．‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）若的定义域为，值域，求的值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且．‎ ‎（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度．‎ D A C E P B ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形， ，，．是的中点．‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，．‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）若过点的直线与椭圆相交于、两点，求使成立的动点的轨迹方程；‎ ‎（3）若点满足条件（2），点是圆上的动点，求的最大值．‎ ‎13. ‎ ‎14.、720‎ ‎15. 3‎ ‎16. ①③④‎ ‎17. 解：由命题得，‎ 由命题得 由此分析，只有才可能，所以对于：‎ 设 是的必要不充分条件 故，‎ 又，故 ‎18. ‎ 所以数列的前项和为. …………………12分 ‎19. 解：（1）‎ ‎ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 ‎ 当时，由，得的单调递增区间为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 当时，，得的单调递增区间 ‎。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 ‎（2），，‎ ‎ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 ‎ 当时，，解得，不满足，舍去。。。。。10分 ‎ 当时，，解得，符合条件，综上，。。12分 ‎20. (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，‎ 由已知得∵P在圆上，‎ ‎∴x2＋2＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，‎ 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎. ‎ ‎21. （Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，ACÌ平面ABCD，∴AC⊥PC，‎ ‎∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，‎ ‎∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，‎ 又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，‎ ‎∵ACÌ平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． …4分 D A C E P B x y z ‎（Ⅱ）如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－ 1，0)．‎ 设P(0，0，a)（a＞0），‎ 则E(，－，)， …6分 ＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，‎ ＝(，－，)，‎ 取m＝(1，－1，0)，则 m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．‎ 设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，‎ 即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，‎ 依题意，|cosám，nñ|＝＝＝，则a＝2． …10分 于是n＝(2，－2，－2)，＝(1，1，－2)．‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，‎ 则sinθ＝|cosá，nñ|＝＝，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为． …12分 ‎22. ‎ 又，且， …………… 4分 解得. ‎ ‎∴椭圆的方程为. …………… 5分 解法2: 抛物线的焦点的坐标为，‎ 设点的坐标为,.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴. ① …………… 1分 ‎ ∵点在抛物线上,‎ ‎ ∴. ② ‎ ‎ 解①②得,.‎ ‎∴点的坐标为. …………… 2分 ‎ ∵点在椭圆上， ∴. …………… 3分 又，且， …………… 4分 解得. ‎ ‎∴椭圆的方程为. …………… 5分 ‎(2)解法1：设点、、，‎ ‎ 则.‎ ‎ ∴.‎ ‎∵ ,‎ ‎∴. ① …………… 6分 ‎∵、在椭圆上， ∴ ‎ 上面两式相减得.② ‎ 把①式代入②式得. ‎ 当时，得. ③ …………… 7分 设的中点为，则的坐标为. ‎ ‎∵、、、四点共线，‎ ‎∴, 即. ④ …………… 8分 把④式代入③式，得，‎ 化简得. …………… 9分 ‎ 当时，可得点的坐标为，‎ 经检验，点在曲线上. ‎ ‎∴动点的轨迹方程为. …………… 10分 解法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ ‎ 由消去，得.‎ ‎ 设点、、，‎ ‎ 则,‎ ‎ ② …………… 7分 ‎①②得， ③ …………… 8分 把③代入②化简得. (*) …………… 9分 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为,‎ 依题意, 可得点的坐标为，‎ 经检验，点在曲线上. ‎ ‎∴动点的轨迹方程为. …………… 10分 ‎ ∴当时,, …………… 13分 ‎ 此时,. ……………‎