数学（理）卷·2017届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四）（2016

数学（理）卷·2017届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四）（2016

‎ ‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.某企业生产甲、乙两种产品均需用，两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、1吨乙产品可获利分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为 甲 乙 原料限额 ‎（吨）‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ ‎（吨）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 ‎5.若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知圆：，在圆周上随机取一点，则到直线的距离大于的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．9‎ ‎8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）‎ A．1007 B．2015 C．2016 D．3024‎ ‎9.已知三棱柱的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的2倍，若该三棱柱的各顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.若方程组至少有一解，且所有的解都是整数解，则有序实数对的组数为（ ）‎ A．60 B．66 C．72 D．78‎ ‎11.△的外接圆的圆心为，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.在△中，内角，，所对的边分别是，，，已知，边上的中线长为4，则△面积的最大值是（ ）‎ A．9 B． C． D．12‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约 石．‎ ‎14.若为△内部任意一点，连并延长交对边于，则，同理连，并延长，分别交对边于，，这样可以推出；‎ 类似的，若为四面体内部任意一点，连，，，并延长，分别交相对面于，，，，则 ．‎ ‎15.双曲线：的左、右焦点分别为，，，两点在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16.设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，，若对一切恒成立，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.设数列的前项和，，（，），且，，为等差数列的前三项．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎18.2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：‎ 生二胎 不生二胎 合计 ‎70后 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎80后 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎（1）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且视频率为概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（2）根据调查数据，是否有90%的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．‎ 参考公式：，其中．‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎19.如图，四棱锥的底面是菱形，，，⊥，，二面角的大小为．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎20.已知椭圆：过抛物线的焦点，离心率为，直线交椭圆于，（异于点）两点，且⊥．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求面积的最大值．‎ ‎21.已知函数（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）若，，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，且方程在内有解，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，为曲线上一点，，且．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围．‎ 炎德·英才大联考长郡中学2017届高三月考（四）数学（理）试题答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C D C A A D B C A C 二、填空题 ‎13. 14.3 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为（），所以，‎ ‎∴，即，，‎ 所以，．‎ ‎（2），‎ ‎∴，①‎ 故，②‎ ‎①②得，‎ 整理得．‎ ‎18．解：（1）由已知得70后“生二胎”的概率为，并且，‎ ‎∴（），其分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以．　‎ ‎（2），‎ 所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．‎ ‎19.（1）证明：∵是的中点，，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∵底面是菱形，∴⊥，‎ 又，∴面，‎ 又面，∴．‎ ‎（2）由（1）⊥面，面，∴⊥，‎ 过作⊥于，连接，则⊥面，‎ 又面，则⊥，‎ ‎∴是二面角的平面角．‎ 由（1）知是二面角的平面角，所以，‎ 设，在中，，△是等边三角形，，‎ 是△的中位线，则，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ 即二面角的余弦值为．‎ ‎20.解：（1）依题意，∴，‎ 又，，解得，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）设：，代入，得，‎ 设，，‎ 由，得，‎ ‎，，‎ 由⊥，∴，‎ ‎∴，‎ 整理得，∴或1（舍），‎ 所以直线过定点，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 此时，∴，‎ 即时，△面积的最大值为．‎ ‎21．解：（1）若，，‎ 则，‎ 由，得或，‎ ‎①若，即时，，此时函数单调递减，单调递减区间为，‎ ‎②若，即时，由，得；由，得，或，∴单调增区间为，单调减区间为，．‎ ‎（2）若，∴，则，‎ 若方程在内有解，‎ 即在内有解，即在内有解，‎ 设，则在内有零点，‎ 设是在内的一个零点，‎ ‎∵，，∴在和上不可能单调，‎ 由，‎ 设，则在和上存在零点，‎ 即在上至少有两个零点，∵，‎ 当时，，在上递增，不合题意；‎ 当时，，在上递减，不合题意；‎ 当时，令，得．‎ 则在上递减，在上递增，在上存在最小值．　‎ 若有零个零点，则有，，，‎ ‎∴，，‎ 设（），则，令，得，‎ 当时，，此时函数递增；‎ 当时，，此时函数递减；‎ 则，所以恒成立，‎ 由，，‎ ‎∴，‎ 当时，设的两个零点为，，则在递增，‎ 在上递减，在上递增，‎ 则，，则在内有零点，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎22.解：（1）设，则，，‎ ‎∴；，‎ 故，‎ 由，得，‎ ‎∴的方程为．‎ ‎（2）圆：（为参数），‎ 则，‎ ‎∴．‎ ‎23.解：（1）当时，不等式可化为 或或 解得或或，‎ 故不等式的解集为．　‎ ‎（2）当时，时取等号），‎ 则，不等会的解集为空集等价于，解得，故实数的取值范围是．‎