2018-2019学年内蒙古集宁一中高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古集宁一中高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古集宁一中高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．一元二次不等式的解集是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将不等式左边因式分解，然后利用一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 不等式可因式分解为，对应一元二次方程的两个根为，故不等式的解集为.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查二次三项式的因式分解，属于基础题.‎ ‎2．已知函数，为的导函数，则的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用乘法的求导法则对函数进行求导，将代入导函数，求得正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意，故，所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两个函数相乘的导数的运算，考查基本初等函数的导数，属于基础题.‎ ‎3．等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则（ ）‎ A．7 B．8 C．15 D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设等比数列的公比为， 成等差数列，则 即，解得， ，则；‎ ‎【考点】等比数列；等差中项；‎ ‎4．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以 ‎【考点】1．正弦定理；2．面积公式．‎ ‎5．设，则下列各不等式一定成立的是 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，计算的值，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 令，则故，所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查不等式的基本性质，考查利用特殊值解法比较大小，属于基础题.‎ ‎6．已知为等差数列，且，，则公差（ ）‎ A．-2 B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得 ‎，即，‎ 解得d=﹣，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．‎ ‎7．设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且,,则面积的最大值为 ( )‎ A．6 B．12 C．15 D．20‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据,，以及，计算出的值.由于底边长度一定，故高最高的时候取得最大值，高最高为，由此求得三角形面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 根据,可知，故，所以.由于底边长度一定，故高最高的时候取得最大值，高最高为，所以三角形面积的最大值为.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查三角形面积的最大值的求法.属于基础题.在椭圆的有关概念中，椭圆的定义理解为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为定值，也即是，焦距为，并且椭圆里面，这个条件经常用在求椭圆标准方程的题目上.‎ ‎8．已知数列为等差数列,为等比数列，且满足：，，,为的导函数，则 （　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等差数列的性质求得，根据等比数列的性质求得，求得函数的导函数后，计算出相应的导数值.‎ ‎【详解】‎ 根据等差数列的性质由，根据等比数列的性质有...故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列的性质，考查等比数列的性质，考查基本初等函数的导函数以及导数的计算，属于基础题. 等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则 ‎9．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。‎ 详解：‎ 所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离 故选D 点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。‎ ‎10．若x，y满足 则x + 2y的最大值为 A．1 B．3‎ C．5 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：如图，画出可行域，‎ 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.‎ ‎11．以下判断正确的是 （ ）‎ A．函数为上的可导函数，则是为函数极值点的充要条件 B．若命题为假命题，则命题与命题均为假命题 C．若，则的逆命题为真命题 D．在中，“”是“”的充要条件 ‎【答案】D ‎【解析】根据极值点的定义，判断A选项是否正确.根据含有简单逻辑联结词命题的真假，判断B选项是否正确.写出原命题的逆命题并判断真假，由此得出C选项是否正确.根据三角形大角对大边以及正弦定理，判断D选项是否正确.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，由于导数为零的点不一定是极值点，故A选项错误.对于B选项，由于为假命题，则至少有一个为假命题，故B选项错误.对于C选项，原命题的逆命题为“若，则”，显然，但是，故逆命题为假命题，所以C选项错误.对于D选项，根据三角形中大角对大边，及正弦定理有，所以D选项正确.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查极值点的概念，考查含有简单逻辑联结词命题真假性判断，考查逆命题真假性的判断，考查正弦定理以及充要条件等知识，属于中档题.‎ ‎12．已知抛物线，圆，过点作直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点（如图所示），则的值正确的是 ( )‎ A．等于 B．最小值是 C．等于 D．最大值是 ‎【答案】C ‎【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线和圆的方程，求得A,B,C,D四个点的坐标，由此求得的值.当直线 斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用抛物线的定义和圆的半径求得的表达式，由此求得的取值范围，进而得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程和圆的方程，求得的纵坐标分别为，故.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，.根据抛物线的定义以及圆的半径可知 .故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的几何性质以及圆的性质，考查化归与转化的数学思想方法.属于中档题.由于题目所给直线没有说明直线斜率是否存在，所以首先要对直线斜率分成斜率存在和斜率不存在两种情况来讨论.抛物线的定义在解有关过抛物线焦点的弦问题时，要重点考虑.‎ 二、填空题 ‎13．命题“ ,”的否定是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定.‎ ‎【详解】‎ 原命题是特称命题，故其否定是全称命题，为“”‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题.属于基础题.‎ ‎14．若双曲线的离心率为，则实数__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】， .渐近线方程是.‎ ‎15．若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，当且仅当 时取等号.‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎16．已知直线与曲线相切于点，则的值为____.‎ ‎【答案】2019‎ ‎【解析】将切点代入曲线方程求得，将切点代入直线方程，将切点横坐标代入曲线对应函数的导函数，求得切线的斜率，由此列方程组，解方程组求得的值.‎ ‎【详解】‎ 将点坐标代入曲线方程得，曲线方程为，对应函数的导数为.依题意得，解得，.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数导数与切线方程，考查待定系数法求曲线的解析式，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知是公差不为零的等差数列,成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项; ‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1)(2) ‎ ‎【解析】分析：（1）由题设知公差，由 成等比数列，可 得，解出即可得出．‎ ‎(2) ，利用“裂项求和”即可求得．‎ 详解： ‎ ‎(1)由题设知公差，‎ 由成等比数列得, ‎ 解得d＝1，d＝0(舍去)， ‎ 故的通项. ‎ ‎(2) , ‎ ‎.‎ 点睛：本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 ‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若，求c.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得的大小.（2）利用余弦定理求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，即，即，由于在三角形中，故.（2）由余弦定理得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于基础题.‎ ‎19．设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，求M点的坐标及切线方程.‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】（1）设出直线的方程，代入抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用横坐标和为列方程，求得直线的斜率.（2）令导数等于直线的斜率，解方程求得切点的横坐标，进而求得切点坐标以及切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于直线和开口向上的抛物线相交于两点，故直线的斜率存在，设直线方程为，代入抛物线方程并整理得，所以，即直线斜率为.（1）依题意，代入抛物线方程求得，故切点坐标为，且斜率为，由点斜式得，即.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查利用导数求曲线的切点坐标以及切线方程，属于中档题.‎ ‎20．设函数.‎ ‎（1）当时，求的极值;‎ ‎（2）是否存在，使在上恒为增函数，如存在，求出的范围，如不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）当时取极小值-16，当时取极大值16，（2）不存在 ‎【解析】（1）当时，利用导数求得函数的单调区间，由此求得函数的极值.（2）求得函数的导数，利用判别式判断函数导数必定有减区间，由此判断出不存在相应的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，，故函数在区间上递增，在上递减，所以当时取得极小值为，当时取得极大值.（2）由于，其判别式，故导函数图像与轴有两个交点，原函数必有减区间，故不存在，使得为上递增函数.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用函数导数求函数的单调区间以及极值，考查存在性问题的判断，属于中档题.‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过椭圆左焦点且，求.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）利用离心率和焦距列方程组，结合，解方程组求得的值，即求得椭圆方程.（2）求得直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理，利用弦长公式求得弦长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意得，解得，所以椭圆方程为.（2）由（1）知，椭圆左焦点坐标为，故直线的方程为，代入椭圆方程并化简得，，故.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆相交所得弦长公式的求法，属于中档题.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）求在处的切线方程；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）（2）在上递增，在上递减 ‎【解析】（1）对函数求导后求得函数在点处切线的斜率，根据点斜式写出切线方程.（2）求导后，根据导函数的正负，求得函数的递减区间.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，.（1），由点斜式得切线方程为.（2）当时，，当时.故函数在上递增，在上递减.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查除法的导数，考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.‎