2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练33　数列求和

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练33　数列求和

课时分层训练(三十三)　数列求和 ‎(对应学生用书第260页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)‎ A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ A　[该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，‎ 则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋ ‎＝n2＋1－.]‎ ‎2．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为(　　)‎ A．100 B．110 ‎ C．120 D．130‎ C　[{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.]‎ ‎3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”‎ 其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)‎ ‎【导学号：79140183】‎ A．192里 B．96里 ‎ C．48里 D．24里 B　[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]‎ ‎4．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于(　　)‎ A．5 B．6 ‎ C．7 D．16‎ C　[根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.‎ 又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝xa的图像过点(4,2)，令an＝，n∈N＋，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 019＝(　　)‎ A.－1 B．－1‎ C.－1 D．＋1‎ C　[由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.‎ 所以an＝＝＝－，‎ S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.]‎ 二、填空题 ‎6．设数列{an }的前n项和为Sn，且an＝sin，n∈N＋，则S2 018＝__________.‎ ‎1　[an＝sin，n∈N＋，显然每连续四项的和为0.‎ S2 018＝S4×504＋a2 017＋a2 018＝0＋1＋0＝1.]‎ ‎7．计算：3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________.‎ ‎4－　[设S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×，‎ 则S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×.‎ 两式相减得S＝3×＋－.‎ 所以S＝3＋－ ‎＝3＋－ ‎＝4－.]‎ ‎8．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________.‎ 　[设等差数列{an}的公差为d，则 由得 ‎∴Sn＝n×1＋×1＝，‎ ＝＝2.‎ ‎∴ ＝＋＋＋…＋ ‎＝2 ‎＝2＝.]‎ 三、解答题 ‎9．(2018·南京、钦州第二次适应性考试)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝n2＋2n，n∈N＋.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和. ‎ ‎【导学号：79140184】‎ ‎[解]　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，‎ a1＝S1＝3也满足an＝2n＋1，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.‎ ‎(2)由(1)知＝，‎ 则Tn＝ ‎＝＝－＝.‎ ‎10．(2018·太原模拟(二))已知数列{an}的前n项和Sn＝，数列{bn}满足bn＝an＋an＋1(n∈N＋)．‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若cn＝2·(bn－1)(n∈N＋)，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n，‎ 当n＝1时，a1＝1，符合上式，‎ ‎∴an＝n(n∈N＋)，‎ ‎∴bn＝an＋an＋1＝2n＋1.‎ ‎(2)由(1)得an＝n，bn＝2n＋1，‎ ‎∴cn＝2·(bn－1)＝n×2n＋1，‎ ‎∴Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，　①‎ ‎①×2得 ‎2Tn＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋n×2n＋2，　②‎ ‎①－②得－Tn＝22＋23＋…＋2n＋1－n×2n＋2‎ ‎＝(1－n)×2n＋2－4，‎ ‎∴Tn＝(n－1)×2n＋2＋4.‎ B组　能力提升 ‎11．(2018·石家庄一模)已知函数f(x)的图像关于x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则{an}的前100项的和为(　　)‎ A．－200 B．－100‎ C．0 D．－50‎ B　[因为函数f(x)的图像关于x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100，故选B.]‎ ‎12．(2017·合肥二次质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝__________. ‎ ‎【导学号：79140185】‎ n·2n(n∈N＋)　[由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N＋)．]‎ ‎13．(2017·广州综合测试(二))设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N＋)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3得an＝2Sn－1＋3，‎ 两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，‎ ‎∴an＋1＝3an，∴＝3.‎ 当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.‎ ‎∴数列{an}是以a1＝3为首项，公比为3的等比数列．‎ ‎∴an＝3×3n－1＝3n.‎ ‎(2)法一：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n，‎ ‎∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，①‎ ‎3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1，②‎ ‎①－②得－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)·3n＋1‎ ‎＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1‎ ‎＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1‎ ‎＝－6－(2n－2)·3n＋1.‎ ‎∴Tn＝(n－1)·3n＋1＋3.‎ 法二：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n.‎ ‎∵(2n－1)·3n＝(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ‎＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n]‎ ‎＝(n－1)·3n＋1＋3.‎