四川省成都市树德中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

四川省成都市树德中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

高2017级高三上期10月阶段性测试数学试题（文科）‎ 一、选择题：（共大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若（为虚数单位），则对应点位于（ ）.‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第二象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数，再计算，确定象限.‎ ‎【详解】‎ 对应点位于第四象限 故答案为D ‎【点睛】本题考查了复数的化简和共轭复数，属于基础题型.‎ ‎2.已知，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算集合A，再计算 ‎【详解】‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题型.‎ ‎3.圆的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的方程化为标准式，得到圆的半径即可得圆的面积.‎ ‎【详解】圆，即，‎ 所以圆的半径，可得圆的面积为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用配方法将圆的一般方程转化为圆的标准方程，得到圆的半径，属于基础题.‎ ‎4.为奇函数，为奇函数，则（ ）.‎ A. B. 1 C. 0 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数性质有，代入函数得到答案.‎ ‎【详解】为奇函数，‎ 为奇函数 故 ‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用奇函数性质得到可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎5.给出下列命题：‎ ‎①“若或，则”的否命题；‎ ‎②“，”的否定；‎ ‎③“菱形的两条对角线相互垂直”的逆命题.其中正确命题有（ ）个.‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误，得到答案.‎ ‎【详解】①“若或，则”否命题为：若且，则，正确 ‎②“，”的否定为：，”，时成立，正确 ‎③“菱形的两条对角线相互垂直”的逆命题为：对角线相互垂直的四边形为菱形，错误 故答案选C ‎【点睛】本题考查了命题的否定，否命题，逆命题，意在考查学生的综合知识能力.‎ ‎6.已知，为第二象限角，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，计算 ，，利用二倍角公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 为第二象限角， ，‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，没有考虑函数值的正负是容易发生的错误.‎ ‎7.已知，，，夹角，且与垂直，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，再利用垂直关系得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】，，，夹角，则 ‎ 与垂直 ‎ ‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 执行程序框图， ，第一次循环， ，第二次循环， ，第三次循环， ，第四次循环， ，第五次循环， 结束循环，输出故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎9.一个几何体三视图如图：（每个小正方形边长为1），则该几何体体积为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三视图还原为立体图像，再把图像分为四棱锥和三棱柱，体积相加得到答案.‎ ‎【详解】如图所示，根据三视图还原立体图形：‎ 将体积分为左右两部分四棱锥和三棱柱体积相加：‎ ‎ ‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了三视图和体积的计算，其中将体积分为两部分体积相加是解题的关键，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎10.中，，，，则（ ）.‎ A. 2 B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到 ，‎ ‎【详解】，‎ 得到 ‎ ‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的灵活运用和计算能力.‎ ‎11.，若，则的范围（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎ ‎ 设，判断为奇函数，为增函数，代入利用函数性质解得答案.‎ ‎【详解】设，则 ‎，为奇函数 易知：，，为增函数，故为增函数 即 即 故解得 ‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，其中构造函数是解题的关键，忽略掉定义域是容易发生的错误.‎ ‎12.若与有两个公共点，则范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得有两个根，等价于有两个根，令，对函数进行求导，判断出函数的单调性，通过和的图象有两个交点即可得出的范围.‎ ‎【详解】若与有两个公共点，即方程有两个根，‎ 等价于，‎ 令，则，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减；‎ 且当时，，，当时，‎ 由于和的图象有两个交点，故，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了已知函数零点的个数求参数的范围，利用导数判断函数的单调性，构造函数是解题的关键，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，，若是的必要条件，则范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义域求出集合，由是的必要条件可得，结合集合的包含关系得出参数的范围.‎ ‎【详解】由，‎ 又∵是的必要条件，∴，‎ ‎∴，解得，即的取值范围是，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数定义域的求法、考查数学中的等价转化能力、集合的包含关系，属于中档题.‎ ‎14.已知，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，利用直线的平移得到最值.‎ ‎【详解】表示的图像如图所示：‎ 根据图像知：当时，有最小值为 故答案为 ‎【点睛】本题考查了线性规划，求线性目标函数的最值:‎ 当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，值最小；‎ 当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.‎ ‎15.、为：左右焦点，，且，，则的离心率______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，根据边关系得到，，化简计算得到答案.‎ ‎【详解】在中，‎ 得到 ‎ ‎ ‎ 故 ‎【点睛】本题考查了离心率的计算，找到的数量关系是解题的关键.‎ ‎16.如图圆锥高为2，侧面积为，为顶点，为底面中心，，在底面圆周上，为中点，，则到面的距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用侧面积计算，再利用体积法得到，代入数据计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：为中点，连接 ‎ 圆锥高为2，侧面积为 即 ‎ 为中点，为中点，，故 ‎ 又，所以平面，故 ‎ 故为等边三角形.‎ ‎ ‎ 在中：，边上的高 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了点到平面的距离，利用体积法可以简化运算，是解题的关键，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）‎ ‎17.如图，为等腰直角三角形，，，、分别为、中点，将沿折起，使到达点，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，通过勾股定理得到，即，结合根据线面垂直判定定理即可得面，进而得线线垂直；（2）先证得为异面直线与所成角平面角，在中通过余弦定理计算出结果.‎ ‎【详解】（1）在中，，，，‎ ‎∴，∴.‎ 又，,‎ ‎∴.∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴为异面直线与所成角平面角.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵BC=2，，∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了通过线线垂直得出线面垂直，再通过线面垂直得到线线垂直的过程，异面直线所成角的求法，属于中档题.‎ ‎18.已知为等差数列，公差，，，，成等比.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意列出关于和的方程组，解出方程即可得数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可得出数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）∵，，，成等比，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列中基本量的计算以及利用错位相减求数列的前项和，考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎19.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程.‎ ‎（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？‎ 优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 ‎250‎ 没有学习大学先修课程 总计 ‎150‎ ‎（Ⅱ）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学生先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0．05‎ ‎0025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 参考公式：，其中 ‎【答案】（1）列联表见解析 有关系（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据优等生的人数、学习大学先修课程的人数，结合等高条形图计算数值，填写好表格，计算出的值，比较题目所给参考数据，得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系”这个结论.（2）利用列举法，求得基本事件的众数为种，其中“没有学生参加大学先修课程学习” 的情况有种，利用对立事件的概率计算方法，求得至少有名参加了大学先修课程学习的概率.‎ ‎【详解】（1）列联表如下：‎ 优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 ‎50‎ ‎200‎ ‎250‎ 没有学习大学先修课程 ‎100‎ ‎900‎ ‎1000‎ 总计 ‎150‎ ‎1100‎ ‎1250‎ 由列联表可得，‎ 因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.‎ ‎（2）在这5名优等生中，记参加了大学先修课程的学习的2名学生为，，记没有参加大学先修课程学习的3名学生为，，.‎ 则所有的抽样情况如下：共10种，‎ ‎，， ，，，‎ ‎，，，，，‎ 其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有1种，为.‎ 记事件为至少有1名学生参加了大学先修课程的学习，则.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等高条形图的识别，考查列联表及独立性检验，考查古典概型等知识，属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：恒成立；‎ ‎（2）若关于的方程至少有两个不相等的实数根，求实数的最小值.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，求导，研究函数单调性，求最值，证明不等式；（2）将方程转化为，构造函数，求导数，研究函数单调性及取值范围，数形结合得的最小值 ‎【详解】（1）证明：当时，，，‎ 令，所以当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 故，所以.‎ ‎（2） 至少有两个根，‎ 记，所以，‎ 记，所以，‎ 令舍）‎ 所以当，，单调递减，时，，‎ 单调递增，所以的最小值为 ‎ ，‎ 又，所以时，，‎ 又当时， ，因此必存在唯一的 ‎，使得 因此时，，单调递増，，，单调递减，时，，单调递増，画出的大致图象，如图所示 因此当时，与至少有两个交点，‎ 所以最小值为.‎ ‎【点睛】利用导数解决方程根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数零点个数问题，可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数 ‎21.已知，动点在：上运动.线段的中垂线与交于.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设、、三点均在曲线上，且，（为原点），求的范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据中垂线性质得到，判断为椭圆，代入数据得到答案.‎ ‎（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，设，联立方程得到，，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）‎ 点轨迹是以、为焦点椭圆.‎ ‎，，，.‎ ‎（2）当斜率存在时，设 ‎，令两根为，.‎ 由.‎ ‎，.‎ 代入，，即.‎ 故.‎ ‎，，.‎ 当轴时，易求，范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长范围，其中忽略掉斜率不存在的情况是容易犯的错误，意在考查学生的应用能力和计算能力.‎ ‎（二）选考题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号）‎ ‎22.极坐标系下，曲线：，曲线：.‎ ‎（1）求曲线围成区域面积；‎ ‎（2）设，，（为极点），求最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将极坐标方程化为直角坐标系方程，再利用圆面积公式的答案.‎ ‎（2）设，则得到，，代入数据得到答案.‎ ‎【详解】（1）得，‎ 即，面积为.‎ ‎（2）设，则.，‎ 当时，最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程，意在考查学生对于极坐标方程的理解掌握和计算能力.‎ ‎23.已知，，；‎ ‎（1）若，，求的解集.‎ ‎（2）若最小值为1，求最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数化简为分段函数，分别解不等式得到答案.‎ ‎（2）将函数化简为分段函数，根据最小值得到，‎ 变形，利用柯西不等式解得答案.‎ ‎【详解】（1），时，，‎ 解不等式： 解得答案为：.‎ ‎（2）‎ 当时，，.‎ ‎.‎ 当即时. 最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式，最大值问题，将绝对值函数化简为分段函数时解题的关键.‎ ‎ ‎