数学理·重庆市第十一中学2017届高三9月月考数学（理）试题 Word版含解析

数学理·重庆市第十一中学2017届高三9月月考数学（理）试题 Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！重庆市第八中学2017届高三上学期一调考试 数学（文）试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】A 考点：集合交集，一元二次不等式．‎ ‎【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 注意区间端点的取舍.‎ ‎2.已知复数，则复数的模为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，.‎ 考点：复数运算．‎ ‎3.已知向量均为非零向量，，则的夹角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于，，所以，，化简得 ，两式相减，得到，所以.‎ 考点：向量运算．‎ ‎4.等差数列中，，前11项和，则（ ）‎ A．10 B．12 C. 14 D．16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：.‎ 考点：等差数列的基本概念．‎ ‎5.圆截直线所得弦的长度为2，则实数（ ）‎ A．-4 B．-2 C.4 D．2‎ ‎【答案】A 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎6.某家具厂的原材料费支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部 数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为（ ）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎60‎ ‎55‎ ‎75‎ A．5 B．15 C. 10 D．20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：回归直线方程过样本中心点，，代入，解得.‎ 考点：回归直线方程．‎ ‎7.某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的的值是（ ）‎ A．3024 B． 1007 C. 2015 D．2016‎ ‎【答案】A 考点：算法与程序框图．‎ ‎8.给出下列四个结论：‎ ‎①已知直线，，则的充要条件为；‎ ‎②函数满足，则函数的一个对称中心为；‎ ‎③已知平面和两条不同的直线，满足，，则；‎ ‎④函数的单调区间为.‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A．4 B．3 C. 2 D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：①时，两直线重合，故错误. ②说明周期为，则，即，，故不是对称中心. ③可能含于，故错误. ④单调区间不能写成并集，故错误.综上所述，正确命题个数为.‎ 考点：空间点线面的位置关系．‎ ‎9.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的表面积为（ ）‎ A． B． C. D． ‎【答案】B 考点：三视图．‎ ‎10.已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，‎ 则函数的最小值是（ ）‎ A．3 B．-3 C. 5 D．-5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于函数为奇函数且单调，故等价于，即有唯一解，判别式为零，即，所以.‎ 考点：函数的单调性与奇偶性．‎ ‎11.四面体的四个顶点都在球的球面上，，，，‎ 平面平面，则球的体积为（ ）‎ A． B． C. D． ‎【答案】A 考点：几何题的外接球．‎ ‎【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.‎ ‎12.椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若，‎ 设，且，则该椭圆离心率的最大值为（ ）‎ A．1 B． C. D． ‎【答案】B 考点：直线与圆锥曲线位置关系．‎ ‎【思路点晴】设左焦点为，根据椭圆的定义：，又因为，所以，利用直角三角形和焦距，得到，最后根据的取值范围求出离心率的取值范围.在圆锥曲线的小题中，往往可以向定义去想，如双曲线的定义是，再结合题目的已知条件来求.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.若满足条件，则的最大值为________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.‎ 考点：线性规划．‎ ‎14.是定义在上的函数，且满足，当时，，则 ___________.‎ ‎【答案】 考点：函数的周期性．‎ ‎15.已知，，且，则的值等于__________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：由于，所以，，由于，，.‎ 考点：三角函数恒等变形．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查三角函数恒等变形，主要突破口在，根据两角和与差的正弦公式，只要计算出，就可以得到结果.要注意熟记二倍角公式，对于余弦的二倍角公式变形成降幂公式，也要熟练写出，如.‎ ‎16.已知曲线（且）与直线相交于两点，且 （为原点），则的值为_____________.‎ ‎【答案】 考点：直线与圆锥曲线位置关系，向量运算．‎ ‎【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，向量运算.两个向量的数量积等于零，也就是说这两个向量垂直，转化为代数式子就是，由此可以想到利用根与系数关系求出.联立直线的方程和曲线的方程，消去，写出根与系数关系，然后带入数量积，化简就可以得到.根与系数关系运算量较大，注意检验计算是否正确．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 如图3所示，在四边形中，，，，．‎ ‎（I）求的面积；‎ ‎（II）若，求的长．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ 试题解析：‎ ‎（I）如图2，因为，，，‎ 所以.………………2分 因为，‎ 所以.………………4分 因为，，‎ 所以的面积.………………6分 ‎（II），，‎ ‎∴.‎ ‎∵，………………8分 所以，‎ 所以.………………12分 考点：解三角形．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元．为 了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如下数 据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．‎ ‎（I）先求出的值，再将如图4所示的频率分布直方图绘制完整；‎ ‎（II）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，‎ 购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据 此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？‎ 参考数据：‎ 参考公式：，其中．‎ ‎【答案】（I）；（II）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过的前提下认为网购金额超过元与网龄在年以上有关.‎ 试题解析：‎ ‎（I）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，‎ 所以网购金额在的频率为，‎ 即，且，‎ 从而 ，，相应的频率分布直方图如图3所示：‎ ‎…………………………………………………………5分 ‎（II）相应的列联表为：‎ 由公式，………………10分 因为，‎ 所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关.……………………12分 考点：频率分布直方图，独立性检验．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图5，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，，，分 别是，的中点．‎ ‎（I）证明：平面；‎ ‎（II）取，在线段上是否存在点，使得与平面所成最大角的正切值为，若 存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）存在且.‎ 试题解析：‎ 证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形，‎ 因为为的中点，所以.‎ 又，因此.………………3分 因为平面，平面，‎ 所以.‎ 而平面，平面，，‎ 所以平面.………………6分 ‎（II）解：设线段上存在一点，连接，.‎ 由（I）知，平面，‎ 则为与平面所成的角.………………8分 在中，，‎ 所以当最短时，即当时，最大，‎ 此时，因此.………………11分 所以，线段上存在点，‎ 当时，使得与平面所成最大角的正切值为.………………12分 考点：立体几何．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知为坐标原点，抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为，在点处 的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴．‎ ‎（I）求线段的长；‎ ‎（II）设不经过点和的动直线交于点和，交于点，若直线的 斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由．‎ ‎【答案】（I）；（II）定点.‎ 试题解析：‎ ‎（I）由抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为，‎ 得，，‎ 抛物线的方程为，.………………2分 在第一象限的图象对应的函数解析式为，则，‎ 故在点处的切线斜率为，切线的方程为，‎ 令得，所以点的坐标为.‎ 故线段的长为2.………………5分 ‎（II）恒过定点，理由如下：‎ 由题意可知的方程为，因为与相交，故.‎ 由，令，得，故.‎ 设，，‎ 由消去得：，‎ 则，.………………7分 直线的斜率为，同理直线的斜率为，‎ 直线的斜率为.‎ 因为直线的斜率依次成等差数列，‎ 所以.‎ 即.………………10分 整理得：，‎ 因为不经过点，所以，‎ 所以，即.‎ 故的方程为，即恒过定点.………………12分 考点：直线与圆锥曲线位置关系．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查直线与抛物线的位置关系.第一问考查的是抛物线的定义，抛物线的定义是动点到定点的距离等于到定直线的距离，根据已知条件“到焦点的距离为”可以求出，进而得到抛物线的方程和点的坐标.第二问主要的条件是“直线的斜率依次成等差数列”先假设存在，然后联立方程，由根与系数关系和等差中项的性质列方程，可求得定点坐标.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知，．‎ ‎（I）若，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（II）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（III）令，（是自然对数的底数），求当实数等于多少时，可以使函数 取得最小值为3．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）.‎ 试题解析：‎ ‎（I）当时，，∴，∴，，‎ ‎∴函数在点处的切线方程为.………………3分 ‎（II）函数在上是增函数，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立.‎ 令，则，当且仅当时，取“=”号.‎ ‎∴，‎ ‎∴的取值范围为.………………6分 ‎（III）∵，∴.‎ ‎（1）当时，，∴在上单调递减，‎ ，（舍去）.………………8分 考点：函数导数与不等式．‎ ‎【方法点晴】求函数图象在某点的切线方程，主要通过导数得到斜率，结合切点的坐标，利用点斜式方程来求.函数在某个区间上单调递增，那么它在这个区间上的导函数恒大于或等于零，反之，如果函数在某个区间上单调递减，则它在这个区间上的导数恒小于或等于零.往往等号容易漏掉，求解时要特别注意.‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图6，的半径垂直于直径，为上一点，的延长线交于点，过点的 切线交的延长线于点.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若的半径为，，求的长．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）连接，根据切线的性质有，所以，.因为于，，所以，.所以；（II）根据相交弦定理有，从而求得.‎ 试题解析：‎ ‎（I）证明：连接，‎ ‎∵切于，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵于，‎ ‎∴，‎ 故，.‎ ‎∴.‎ 考点：几何证明选讲．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知曲线，将曲线上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标 轴伸长到原来的2倍，得到曲线，又已知直线（是参数），且直线与曲线交 于两点．‎ ‎（I）求曲线的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；‎ ‎（II）设定点，求．‎ ‎【答案】（I），是椭圆；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）对曲线两边乘以化为直角坐标为，经过平移和伸缩变换后得到曲线的直角坐标方程为，这是焦点在轴上的椭圆；（II）将直线的参数方程代入曲线的方程中，化简得，写出根与系数关系，，，结合点的几何意义可求得.‎ ‎（II）直线（是参数）‎ 将直线的方程代入曲线的方程中，‎ 得.‎ 设对应的参数方程为，‎ 则，，‎ 结合的几何意义可知，‎ .……………………10分 考点：坐标系与参数方程．‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（I）求不等式的解集；‎ ‎（II）设，证明：．‎ ‎【答案】（I）或；（II）证明见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（I）解：，即.‎ 当时，原不等式可化为，‎ 解得，此时原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式可化为，‎ 解得，此时原不等式无解；‎ 当时，原不等式可化为，‎ 解得，此时原不等式的解集为；‎ 综上， 或.………………5分 ‎（II）证明：因为，‎ 所以，要证，只需证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，即证.‎ ‎∵，∴，，∴成立，‎ 所以原不等式成立.………………10分 考点：坐标系与参数方程．‎ ‎ ‎